2022年度江蘇省揚(yáng)州市瓜洲中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022年度江蘇省揚(yáng)州市瓜洲中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）的定義域為[﹣1，5]，部分對應(yīng)值如表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，下列關(guān)于函數(shù)f（x）的命題：x﹣1045f（x）1221（1）函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；（2）函數(shù)f（x）在（0，2）上是減函數(shù)；（3）如果當(dāng)x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；（4）當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）﹣a有4個零點(diǎn)．其中真命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個參考答案：A【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷．【分析】先由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系畫出原函數(shù)的大致圖象，再借助與圖象和導(dǎo)函數(shù)的圖象，對四個命題，一一進(jìn)行驗證，對于假命題采用舉反例的方法進(jìn)行排除即可得到答案．【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域為[﹣1，5]，部分對應(yīng)值如表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示：由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系得，原函數(shù)的大致圖象如圖：由圖得：∵函數(shù)的定義域為閉區(qū)間，而周期函數(shù)的定義域一定是無界的，故①為假命題；②為真命題．因為在[0，2]上導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，故原函數(shù)遞減；由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數(shù)據(jù)可得當(dāng)x=0或x=4時，函數(shù)取最大值2，若x∈[﹣1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即③錯誤；∵函數(shù)f（x）在定義域為[﹣1，5]共有兩個單調(diào)增區(qū)間，兩個單調(diào)減區(qū)間，故函數(shù)y=f（x）﹣a的零點(diǎn)個數(shù)可能為0、1、2、3、4個，即④錯誤，故選：A．2.對于平面α和不重合的兩條直線m、n，下列選項中正確的是（）A．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥nB．如果m?α，n與α相交，那么m、n是異面直線C．如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n∥αD．如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α參考答案：A【考點(diǎn)】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】本題考查的知識點(diǎn)是空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，如果m?α，n∥α，則m∥n或m與n異面，又由m、n共面，那么m∥n；如果m?α，n與α相交，那么m、n相交或m、n是異面直線；如果m?α，n?α，當(dāng)m、n是異面直線時，則n與α可能平行，也可能相交；如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n?α．分析后即可得到正確的答案．【解答】解：A答案中：如果m?α，n∥α，則m∥n或m與n異面，又由m、n共面，那么m∥n，故A正確；B答案中：如果m?α，n與α相交，那么m、n相交或m、n是異面直線，故B答案錯誤；C答案中：如果m?α，n?α，當(dāng)m、n是異面直線時，則n與α可能平行，也可能相交，故C答案錯誤；D答案中：如果m⊥α，n⊥m，那么n∥α或n?α故D答案錯誤；故選A【點(diǎn)評】要判斷空間中直線與平面的位置關(guān)系，有良好的空間想像能力，熟練掌握空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面平行或垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能利用教室、三棱錐、長方體等實例舉出滿足條件的例子或反例是解決問題的重要條件．3.將5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個小組，若甲組至少兩人，乙、丙組每組至少一人，則不同的分配方案的種數(shù)為（）A．50 B．80 C．120 D．140參考答案：B分2種情況討論，①、甲組有2人，首先選2個放到甲組，再把剩下的3個人放到乙和丙兩個位置，每組至少一人，②、甲組含有3個人時，選出三個人，剩下的兩個人在兩個位置排列，由分類計數(shù)原理計算可得答案．解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①、甲組有2人，首先選2個放到甲組，共有C52=10種結(jié)果，再把剩下的3個人放到乙和丙兩個位置，每組至少一人，共有C32A22=6種結(jié)果，∴根據(jù)分步計數(shù)原理知共有10×6=60，②、當(dāng)甲中有三個人時，有C53A22=20種結(jié)果∴共有60+20=80種結(jié)果；故選：B．4.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：D【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)==i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．5.已知O是平面上的一個定點(diǎn)，A，B，C，是平面上不共線三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足：，則動點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的（

） A、內(nèi)心 B、垂心 C、外心 D、重心參考答案：D6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則+++的值為（

）A.0

B.3

C.6

D.-參考答案：A

【知識點(diǎn)】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)解析：由函數(shù)圖象可得：A=2，T=2（6﹣2）=8=，故解得：ω=，可得函數(shù)解析式為：f（x）=2sinx，所以，有：f（1）=f（2）=2f（3）=f（4）=0f（5）=﹣f（6）=﹣2f（7）=﹣f（8）=0f（9）=…觀察規(guī)律可知函數(shù)f（x）的值以8為周期，且f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）=0，由于2015=251*8+7，故可得：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=0．【思路點(diǎn)撥】由已知中的函數(shù)的圖象，我們易求出函數(shù)的解析式，進(jìn)而分析出函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)是一個周期函數(shù)，我們可以將f（1）+f（2）+…+f（2006）轉(zhuǎn)化為一個數(shù)列求和問題，然后利用分組求和法，即可得到答案．7.如圖是一個簡單幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．1參考答案：A【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知：該幾何體為四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=1．【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=1．∴該幾何體的體積==．故選：A．8.設(shè)是奇函數(shù)，則的解集為

A．（－1，0）

B．（0，1）

C．（－，0）

D．（－，0）∪（1，+）參考答案：A略9.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】根據(jù)以及充分不必要條件的定義可得.【詳解】因為，所以?所以”是“”的充分不必要條件.故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)不等式以及充分必要條件,屬基礎(chǔ)題.10.若，，則(

)

參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列{an}的首項為3，等比數(shù)列{bn}滿足，且，則的值為

．參考答案：3

12.．若存在實數(shù)和，使得函數(shù)和對定義域內(nèi)的任意均滿足：，且存在使得，存在使得，則稱直線為函數(shù)和的“分界線”．在下列說法中正確的是__________（寫出所有正確命題的編號）．①任意兩個一次函數(shù)最多存在一條“分界線”；②“分界線”存在的兩個函數(shù)的圖象最多只有兩個交點(diǎn)；③與的“分界線”是；④與的“分界線”是或．參考答案：③①項，任意兩個一次函數(shù)相交時，過交點(diǎn)的直線有無數(shù)條，故任意兩個一次函數(shù)存在無數(shù)條分界線，故①錯誤；②項，當(dāng)，時，滿足是和的分界線，此時與有個交點(diǎn)，故②錯誤；③項，由得，解得：或，此時，，，過的直線為，則與的“分界線”是，故③正確；④項，作出，和和的圖象，由圖象知與和沒有交點(diǎn)，不滿足條件和，故④錯誤．13.已知函數(shù)，若互不相等，且，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C14.為了解一片防風(fēng)林的生長情況，隨機(jī)測量了其中100株樹木的底部周長（單位：cm）、根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣品的頻率分布直方圖（如圖），那么在這100株樹木中，底部周長大于100cm的株數(shù)是__________..參考答案：【知識點(diǎn)】用樣本估計總體I2【答案解析】7000

由圖可知：底部周長小于100cm段的頻率為（0.01+0.02）×10=0.3，

則底部周長大于100cm的段的頻率為1-0.3=0.7

那么在這片樹木中底部周長大于100cm的株樹大約10000×0.7=7000人．

故答案為7000．【思路點(diǎn)撥】在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，頻率的和等于1，每一小組的頻率等于這一組的頻數(shù)除以樣本容量．頻率分布直方圖中，小矩形的面積等于這一組的頻率．底部周長小于100cm的矩形的面積求和乘以樣本容量即可．15.下面給出四種說法：①用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好；②命題P：“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0”；③設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（0，1），若P（x＞1）=p，則P（﹣1＜X＜0）=﹣p④回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心（，）．其中正確的說法有

（請將你認(rèn)為正確的說法的序號全部填寫在橫線上）參考答案：②③④【考點(diǎn)】BS：相關(guān)系數(shù)．【分析】①用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果時，R2越大，模型的擬合效果越好；②根據(jù)特稱命題的否定的全稱命題，寫出P的否定￢P即可；③根據(jù)正態(tài)分布N（0，1）的性質(zhì)，由P（X＞1）=p求出P（﹣1＜X＜0）的值；④回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心（，）．【解答】解：對于①，用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果時，R2越大，說明模型的擬合效果越好，∴①錯誤；對于②，命題P：“?x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”的否定是￢P：“?x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，②正確；對于③，根據(jù)正態(tài)分布N（0，1）的性質(zhì)可得，若P（X＞1）=p，則P（X＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜X＜1）=1﹣2p，∴P（﹣1＜X＜0）=﹣p，③正確；對于④，回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心（，），正確；綜上，正確的說法是②③④．故答案為：②③④．16.已知、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，的平分線交軸于點(diǎn)，則

.參考答案：217.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，則直線和曲線的公共點(diǎn)有_______個.參考答案：【知識點(diǎn)】點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；參數(shù)方程化成普通方程.N3

【答案解析】

解析：直線的普通方程為，圓的普通方程為，圓心到直線的距離為，所以直線和曲線相切，公共點(diǎn)只有個.故答案為1.【思路點(diǎn)撥】把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程分別化成普通方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式得出圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系即可得出。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù).（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，證明:切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.參考答案：解:（Ⅰ）時,，，

……………1分，的減區(qū)間為,增區(qū)間.

……………3分（Ⅱ）在區(qū)間上是減函數(shù)，對任意恒成立，即對任意恒成立，

……………5分對任意恒成立，令，，

……………7分易知在單調(diào)遞減，..

……………8分（Ⅲ）設(shè)切點(diǎn)為，，切線的斜率，又切線過原點(diǎn)，，存在性：滿足方程，所以，是方程的根.

……………11分再證唯一性：設(shè)，，在單調(diào)遞增，且，所以方程有唯一解.綜上，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

……………13分

略19.已知△PDQ中，A，B分別為邊PQ上的兩個三等分點(diǎn)，BD為底邊PQ上的高，AE∥DB，如圖1，將△PDQ分別沿AE，DB折起，使得P，Q重合于點(diǎn)C．AB中點(diǎn)為M，如圖2．（Ⅰ）求證：CM⊥EM；（Ⅱ）若直線DM與平面ABC所成角的正切值為2，求二面角B﹣CD﹣E的大小．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出△ABC是等邊三角形，從而CM⊥AB，再由DB⊥AB，DB⊥BC，知DB⊥平面ABC，又EA∥DB，從而EA⊥平面ABC，進(jìn)而CM⊥EA．由此CM⊥平面EAM．進(jìn)而能證明CM⊥EM．（Ⅱ）以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MC所在直線為x軸，MB所在直線為y軸，過M且與直線BD平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系M﹣xyz．利用向量法能求出二面角B﹣CD﹣E的平面角．【解答】證明：（Ⅰ）因為A，B是PQ的三等分點(diǎn)，所以PA=AB=BQ=CA=CB，所以△ABC是等邊三角形，又因為M是AB的中點(diǎn)，所以CM⊥AB．因為DB⊥AB，DB⊥BC，AB∩BC=B，所以DB⊥平面ABC，又EA∥DB，所以EA⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以CM⊥EA．因為AM∩EA=A，所以CM⊥平面EAM．因為EA?平面EAM，所以CM⊥EM．解：（Ⅱ）以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MC所在直線為x軸，MB所在直線為y軸，過M且與直線BD平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系M﹣xyz．因為DB⊥平面ABC，所以∠DMB為直線DM與平面ABC所成角．由題意得tan，即BD=2MB，從而BD=AC．不防設(shè)AC=2，又AC+2AE，則CM=，AE=1．故B（0，1，0），C（，0，0），D（0，1，2），E（0，﹣1，1）．于是=（，﹣1，0），=（0，0，2），=（﹣），=（﹣，1，2），設(shè)平面BCD與平面CDE的法向量分別為=（x，y，z），=（a，b，c），由，令x=1，得=（1，，0）．由，令a=1，得=（1，﹣，），所以cos＜＞=0．所以