高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步單元測(cè)試【全國(guó)一等獎(jiǎng)】

1．直線與平面的位置關(guān)系取一塊形狀為平行四邊形ABCD的木板，將平行四邊形ABCD木板的一邊AB緊靠桌面并繞AB轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)AB的對(duì)邊CD轉(zhuǎn)動(dòng)到任意一個(gè)位置時(shí)，是不是都與桌面所在的平面平行？為什么？1．直線與平面的位置關(guān)系：(1)直線a在平面α內(nèi)：直線a和平面α有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，記作a?α；(2)直線a與平面α相交：直線a和平面α有且只有－個(gè)公共點(diǎn)，記作a∩α＝A；(3)直線a與平面α平行：直線a和平面α有0個(gè)公共點(diǎn)，記作a∥α．2．直線與平面平行的判定定理．(1)文字語(yǔ)言：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．該定理常表述為：“線線平行，則線面平行．”(2)符號(hào)語(yǔ)言：若l?α，m?α，且l∥m，則l∥α.3．線面平行的判定定理的作用：證明線面平行．用該定理判斷直線l和平面α平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件：①直線l不在平面α內(nèi)，即l?α；②直線m在平面α內(nèi)，即m?α；③兩直線l、m平行，即l∥m．三個(gè)條件缺一不可．4．直線和平面平行的性質(zhì)定理．(1)文字語(yǔ)言：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行．簡(jiǎn)稱為：“若線面平行，則線線平行”．(2)符號(hào)語(yǔ)言：若l∥α、l?β，α∩β＝m，則l∥m.(3)直線和平面平行的性質(zhì)定理中有三個(gè)條件：①直線l和平面α平行，即l∥α；②平面α和平面β相交于直線m，即α∩β＝m；③直線l在平面β內(nèi)，即l?β.這三個(gè)條件是缺一不可的條件．5．直線與平面垂直的定義：如果一條直線a與一個(gè)平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a與平面α互相垂直．6．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．7．從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．8．直線與平面垂直的判定定理．(1)文字語(yǔ)言：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．(2)符號(hào)語(yǔ)言：若l⊥m、l⊥n、m∩n＝B、m?α、n?α，則l⊥α.9．直線和平面垂直的性質(zhì)定理．(1)文字語(yǔ)言：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．即垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．(2)符號(hào)語(yǔ)言：已知直線a、b和平面α，若a⊥α，b⊥α，那么a∥b.10．直線和平面相交包括直線與平面垂直和直線與平面不垂直兩種，后者叫做這個(gè)平面的斜線，其交點(diǎn)叫斜足，斜線上任意一點(diǎn)與斜足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段．11．直線和平面所成角：平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角．特別地：①當(dāng)一直線垂直于平面，所成的角是直角；②當(dāng)一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0°；③直線和平面所成角的范圍是[0°，90°]；④直線和平面所成角是斜線與該平面內(nèi)直線所成角的最小值．12．求斜線與平面所成角的一般步驟：(1)找出斜線在給定平面內(nèi)的射影；(2)指出并論證斜線與平面所成的角；(3)在含有斜線與平面所成的角的三角形中，利用平面幾何或三角函數(shù)知識(shí)求出這個(gè)角．,一、直線和平面的位置關(guān)系空間的直線與平面有如下三種位置關(guān)系：①直線在平面內(nèi)——有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；②直線與平面相交——有一個(gè)公共點(diǎn)；③直線與平面平行——沒有公共點(diǎn)．為便于掌握三者間的從屬關(guān)系可分類為：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線在平面外\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(直線與平面相交：有且只有一個(gè)公共點(diǎn),直線與平面平行：沒有公共點(diǎn))),直線在平面內(nèi)：有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)))同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要借助于直線與平面的三種位置關(guān)系的畫法和符號(hào)表示加強(qiáng)理解和掌握．判斷直線在平面內(nèi)的常用方法是：①公理1；②反證法．判斷直線和平面相交的常用方法是：①證明直線和平面有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；②反證法．二、直線與平面平行的判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行．該定理常表述為：“線線平行，則線面平行．”符號(hào)語(yǔ)言為：若l?α，m?α，且l∥m，則l∥α.這一定理告訴我們“證明線面平行的實(shí)質(zhì)是證明線和平面內(nèi)的一條直線平行”．請(qǐng)同學(xué)們謹(jǐn)記：線線平行具有傳遞性，但線面平行卻沒有傳遞性，即命題“a∥b，b∥α?a∥α”是假命題．直線與平面平行的判定方法：①依定義采用反證法；②判定定理；③利用公理4.三、直線和平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和已知平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和已知平面相交，那么這條直線和交線平行，簡(jiǎn)稱“若線面平行，則線線平行”．該定理的實(shí)質(zhì)是由線面平行推出線線平行，常用于證明線線平行問題．但要謹(jǐn)記“線”的特殊性——是過已知直線的平面與已知平面的“交線”．雖然由線面平行，能得到線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，但并不是和平面內(nèi)的每一條直線都平行，若直線和平面平行，則這條直線與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系包括平行和異面．四、直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面．該定理是證明線面垂直的重要方法，應(yīng)用時(shí)要謹(jǐn)記“兩條相交直線”這一條件．定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．五、直線和平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行．即垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．定理的證明運(yùn)用了“反證法”，同學(xué)們要在老師的指導(dǎo)下完成定理的證明并由此掌握反證法的使用條件及操作過程．該定理給出了證明線線平行的又一方法．因此，利用該定理即可以證明線線垂直，也可以證明線線平行．六、直線和平面所成的角平面的一條斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角．直線和平面所成的面包括0°角、直角、銳角，因此直線和平面所成角的范圍是[0°，90°]．求斜線與平面所成的角一般步驟：①找出斜線在給定平面內(nèi)的射影；②指出并論證斜線與平面所成的角；③在含有斜線與平面所成的角的三角形中，利用平面幾何或三角函數(shù)知識(shí)求出這個(gè)角．直線和平面所成角是通過其相應(yīng)的平面角的大小來表示的，教材中由直線與平面垂直的定義及斜線和射影來定義直線和平面所成的角，在學(xué)習(xí)直線與平面垂直的定義時(shí)要區(qū)分“任意”與“無(wú)數(shù)”兩個(gè)詞的不同含義，命題“如果直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直”是假命題．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)知識(shí)點(diǎn)一直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理1．如果點(diǎn)M是兩條異面直線a、b外的一點(diǎn)，則過點(diǎn)M且與a、b都平行的平面有________個(gè)．解析：過點(diǎn)M分別作直線a、b的平行線，若其中一條平行線與已知直線a或b相交，則這樣的平面不存在．否則兩條相交直線確定的平面與a、b都平行．答案：0或12．一條直線若同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，那么這條直線與這兩個(gè)平面的交線的位置關(guān)系是________．解析：利用線面平行的性質(zhì)定理判斷．答案：平行3．以下命題(其中a，b表示直線，α表示平面)：①若a∥b，b?α，則a∥α；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a∥b，b∥α，則a∥α；④若a∥α，b?α，則a∥b.其中正確命題的個(gè)數(shù)是________．解析：用定理來判定線面平行需滿足三個(gè)條件．答案：0知識(shí)點(diǎn)二直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理4．(2023·浙江卷)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面()A．若m⊥n，n∥α，則m⊥αB．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α解析：根據(jù)條件確定相應(yīng)的位置關(guān)系，再對(duì)照選項(xiàng)確定答案．A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤；B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤；C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正確；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m與α相交或m?α，錯(cuò)誤．答案：C5．若兩條直線滿足條件________(填序號(hào))，則這兩條直線一定平行．①同垂直于一條直線；②同垂直于一個(gè)平面；③同平行于一個(gè)平面；④同在一個(gè)平面內(nèi)．解析：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理．答案：②6．設(shè)三棱錐PABC的頂點(diǎn)P在平面ABC上的射影是H，給出以下命題：①若PA⊥BC，PB⊥AC，則H是△ABC的垂心；②若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則H是△ABC的垂心；③若∠ABC＝90°，H是AC的中點(diǎn)，則PA＝PB＝PC；④若PA＝PB＝PC，則H是△ABC的外心．其中正確命題的序號(hào)是________．解析：根據(jù)線面垂直的定義及有關(guān)垂心、外心的概念來判斷．答案：①②③④7．給出下列命題：①垂直于同一平面的兩條直線互相平行；②垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行；③過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線只有一條；④過一點(diǎn)和已知直線垂直的平面只有一個(gè)．其中正確的命題的序號(hào)是________．解析：由線面垂直的性質(zhì)知①②③④均正確．答案：①②③④8．如圖，四面體PABC中，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為________．解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB.∴△PAC、△PAB均為直角三角形，且底面△ABC也是直角三角形．由BC⊥AB，BC⊥PA知BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB.∴△PBC也是直角三角形，故直角三角形有4個(gè)．答案：4個(gè)知識(shí)點(diǎn)三斜線、射影與線面角9．如圖，△BCD是等腰直角三角形，斜邊CD的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到BC的距離，D是P在平面BCD上的射影．(1)求PB與平面BCD所成的角；(2)求BP與平面PCD所成的角．解析：(1)∵PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD內(nèi)的射影．∴∠PBD為PB與平面BCD所成的角．∵BD⊥BC，由三垂線定理得BC⊥BP，又∵CD的長(zhǎng)等于點(diǎn)P到BC的距離，∴BP＝CD.設(shè)BC＝a，則BD＝a，BP＝CD＝eq\r(2)a，∴在Rt△BPD中，cos∠DBP＝eq\f(\r(2),2).∴∠DBP＝45°，即PB與平面BCD所成角為45°.(2)如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，連接PE.由PD⊥平面BCD得PD⊥BE，又PD∩CD＝D.∴BE⊥平面PCD.∴∠BPE為BP與平面PCD所成的角．在Rt△BEP中，由(1)知：BE＝eq\f(\r(2),2)a，BP＝eq\r(2)a，∴∠BPE＝30°，即BP與平面PCD所成角為30°.eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級(jí))綜合點(diǎn)一直線與平面平行的綜合應(yīng)用10．如果平面α外有兩點(diǎn)A、B，它們到平面α的距離都是a，則直線AB和平面α的位置關(guān)系一定是________．解析：如圖，當(dāng)A、B在平面α同側(cè)時(shí)，直線AB和平面α平行；當(dāng)A、B在平面α異側(cè)時(shí)，直線AB和平面α相交．答案：平行或相交11．如右圖，已知：M、N分別是△ADB和△ADC的重心，點(diǎn)A不在平面α內(nèi)，B、D、C在平面α內(nèi)．求證：MN∥α.證明：如圖，連接AM、AN并延長(zhǎng)分別交BD、CD于點(diǎn)P、Q，連接PQ.∵M(jìn)、N分別是△ADB、△ADC的重心，∴eq\f(AM,MP)＝eq\f(AN,NQ)＝2.∴MN∥PQ.又PQ?α，MN?α，∴MN∥α.綜合點(diǎn)二直線與平面垂直的綜合應(yīng)用12．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列情況：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩邊．不能保證該直線與平面垂直的是(C)A．①②B．②C．②④D．①②④解析：三角形的兩邊及圓的兩條直徑一定相交，而梯形的兩邊及正六邊形的兩邊可能平行，故②④不能保證該直線與平面垂直．13．在三棱錐OABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的正切值大小是________．解析：畫出三棱錐，將OM與平面ABC所成角放在直角三角形中求解．答案：eq\r(2)綜合點(diǎn)三平行關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化和綜合應(yīng)用14．如下圖，在底面是菱形的