工程數(shù)學(xué)課件概率分布

工程數(shù)學(xué)課件概率分布第一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日在學(xué)習(xí)隨機(jī)事件及其概率時(shí),我們了解了樣本空間的概念1、拋擲一骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)2、拋擲一硬幣正反面出現(xiàn)情況3、某城市120電話臺(tái)一晝夜的呼喚次數(shù)4、一批產(chǎn)品中任取一產(chǎn)品的合格情況一、隨機(jī)變量第二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日實(shí)例1在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球,觀察摸出球的顏色.S={紅色、白色}

非數(shù)量將S數(shù)量化可采用下列方法紅色白色第三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日即有X(紅色)=1,X(白色)=0.這樣便將非數(shù)量的S={紅色，白色}數(shù)量化了.第四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日實(shí)例2

拋擲骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).S={1，2，3，4，5，6}樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換且有則有第五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日1、隨機(jī)變量的定義第六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值,因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律.(2)隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的,而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的(樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)).2.說明(1)隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同第七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日實(shí)例1設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則是一個(gè)隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:第八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日實(shí)例2設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊,直到擊中目標(biāo)為止,則是一個(gè)隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:第九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日實(shí)例3某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則是一個(gè)隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:第十頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日3、隨機(jī)變量的分類(1)離散型隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個(gè)或無限可列個(gè),叫做離散型隨機(jī)變量.(2)連續(xù)型

隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量.第十一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日1、定義二、離散型隨機(jī)變量第十二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為說明：離散型隨機(jī)變量有以下性質(zhì)

第十三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例離散型隨機(jī)變量的分布律如下：試求：(1)常數(shù)c的值；(2)概率(3)概率解：(1)根據(jù)分布律的性質(zhì)，所以，第十四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例離散型隨機(jī)變量的分布律如下：試求：(1)常數(shù)c的值；(2)概率(3)概率解：(2)(3)第十五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例：一只袋中裝有5只球，編號(hào)1，2，3，4，5在袋中同時(shí)取出3只，以X表示取出3只球中的最大的號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律。第十六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日解練第十七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日2、常見離散型隨機(jī)變量的概率分布

貝努利試驗(yàn)：如果隨機(jī)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果與，就稱該試驗(yàn)為貝努利試驗(yàn)．新生兒性別登記；拋擲硬幣正面出現(xiàn)情況；檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格；明天會(huì)不會(huì)下雨；參加英語等級(jí)考試結(jié)果；射手對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊；參加總統(tǒng)競(jìng)選結(jié)果；第十八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例我國新生兒的性別登記情況.隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.其分布律為第十九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值,它的分布律為則稱X服從(0—1)分布或兩點(diǎn)分布.1.(0-1)分布第二十頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日實(shí)例200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件,那么,若規(guī)定取得不合格品,取得合格品.則隨機(jī)變量X服從(0—1)分布.第二十一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日

兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點(diǎn)分布.說明第二十二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日n重貝努利試驗(yàn)（貝努利概型）：將貝努利試驗(yàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重貝努利試驗(yàn)．若在一次貝努利試驗(yàn)中，關(guān)心事件A是否發(fā)生。那么在n重貝努利試驗(yàn)中，則會(huì)關(guān)心事件A的發(fā)生次數(shù)第二十三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日Ａ發(fā)生k次的情形有多少種？Ａ發(fā)生k次的概率？第二十四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布2.二項(xiàng)分布第二十五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日二項(xiàng)分布是常見的一類分布．如：獨(dú)立地進(jìn)行射擊5次，擊中目標(biāo)次數(shù)獨(dú)立地進(jìn)行試驗(yàn)5次，成功次數(shù)k個(gè)燈泡，使用超過1000小時(shí)的燈泡個(gè)數(shù)n個(gè)供水設(shè)備，正在使用的個(gè)數(shù)它們都是服從二項(xiàng)分布的．第二十六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日二項(xiàng)分布是應(yīng)用廣泛的一類重要分布．如：在港口建設(shè)中要了解n年中年最大波高過Ｈ米的次數(shù)；在機(jī)器維修問題中要了解n臺(tái)機(jī)床需要修理的機(jī)床數(shù)；在昆蟲群體問題中要了解n個(gè)蟲卵中能孵化成蟲的個(gè)數(shù)；在高層建筑防火安全通道的設(shè)計(jì)中要了解n層樓中發(fā)生火災(zāi)樓層數(shù)；它們都是服從二項(xiàng)分布的．第二十七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.6,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X的分布律.故X～Ｂ(5,0.6)第二十八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日大學(xué)英語六級(jí)考試（舊）是為全面檢驗(yàn)大學(xué)生英語水平而設(shè)置的一種考試，具有一定的難度。除英文寫作占15分外，其余85道多種答案選擇每題1分，即每一道題附有A，B，C，D四個(gè)選擇答案，要求考生從中選擇最佳答案。這種考試方式使有的學(xué)生產(chǎn)生想碰運(yùn)氣的僥幸心理，那么靠碰運(yùn)氣能通過英語六級(jí)考試嗎？選擇題能考出真實(shí)成績(jī)嗎？第二十九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日分析：按及格計(jì)算，85道選擇題必須答對(duì)51道題以上。如果瞎猜測(cè)的話，則每道題答對(duì)的概率為1/4，答錯(cuò)的概率是3/4。顯然，各道題的解答互不影響，因此，可以將解答85道選擇題看成85重貝努利試驗(yàn)。請(qǐng)問剛好答對(duì)51道選擇題的概率？第三十頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例：現(xiàn)有１０張一百元的人民幣，已知其中混有２張假幣，從中?。矎?，如果正好將２張假幣取出來算是成功一次，某人這樣做了１０次，成功４次，設(shè)各次成功與否相互獨(dú)立，試問此人對(duì)假幣有沒有一定的鑒別能力？解：設(shè)成功為事件A，古典概型P(A)=1/C210=1/45設(shè)Ｘ為成功次數(shù)，據(jù)題意知Ｘ～Ｂ(10,1/45),成功４次的概率為因此，他對(duì)假幣有一定的鑒別能力．小概率原理：概率很小的事件在一次試驗(yàn)中認(rèn)為是不會(huì)發(fā)生的。第三十一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例：某柜臺(tái)上有4位售貨員，只準(zhǔn)備了兩臺(tái)臺(tái)秤，已知每位售貨員在8小時(shí)內(nèi)均有2小時(shí)時(shí)間使用臺(tái)秤，求臺(tái)秤不夠用的概率。解：已知每位售貨員在8小時(shí)內(nèi)均有2小時(shí)時(shí)間使用臺(tái)秤，說明每位售貨員使用臺(tái)秤的概率皆為p=1/4。同時(shí)使用臺(tái)秤的售貨員個(gè)數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它服從參數(shù)為n=4,p=1/4的二項(xiàng)分布，即第三十二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日臺(tái)秤不夠用，意味著同時(shí)使用臺(tái)秤的售貨員超過2個(gè)，因此時(shí)間X>2表示臺(tái)秤不夠用。注意到X>2范圍內(nèi)，離散型隨機(jī)變量X的可能取值只有兩個(gè)，即X=3與X=4，有概率所以，臺(tái)秤不夠用的概率是0.0508。第三十三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日３.泊松分布

第三十四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日泊松分布的背景及應(yīng)用泊松分布是一種比較常見的離散型隨機(jī)變量的分布.第二次世界大戰(zhàn)時(shí)，德軍隔著英吉利海峽用飛彈轟擊倫敦，后來發(fā)現(xiàn)，各區(qū)落下的飛彈數(shù)服從泊松分布。第三十五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí),他們做了2608次觀察(每次時(shí)間為7.5秒)發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),其放射的粒子數(shù)X服從泊松分布.第三十六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中,泊松分布是常見的.它常常用來描述“稀有事件”的數(shù)目.如:某頁書上印刷錯(cuò)誤的字?jǐn)?shù)；某醫(yī)院一天內(nèi)的急診病人數(shù)；某地區(qū)某一時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生的交通事故數(shù)；一年內(nèi)爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)的數(shù)目；腐敗現(xiàn)象的發(fā)生和發(fā)展；等等都服從泊松分布．第三十七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例：某城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)Ｘ服從參數(shù)的泊松分布，求該城市一天發(fā)生３次或３次以上火災(zāi)的概率．解：設(shè)該城市一天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)為Ｘ，則X～P(0.8)第三十八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日0.10.20.30.40.50.60.70.80.9048.8187.7408.6703.6065.5488.4966.44931.0905.1638.2223.2681.3033.3293.3476.35952.0045.0164.0333.0573.0758.0988.1217.14383.0002.0011.0003.0072.0126.0198.0284.03834.00010.0007.0016.0030.0050.007750.0002.0004.0007.001260.0001.0002700第三十九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日公元1500年至1931年這432年間，有223年沒有爆發(fā)戰(zhàn)爭(zhēng)（已爆發(fā)，正繼續(xù)的不算），一年中爆發(fā)1次、2次、3次和4次的總年數(shù)分別是142年、48年、15年和4年，平均每年爆發(fā)0.69次戰(zhàn)爭(zhēng)。把實(shí)際數(shù)據(jù)與參數(shù)為0.69的泊松分布的理論數(shù)據(jù)作比較，見下表。1年中戰(zhàn)爭(zhēng)數(shù)實(shí)際年數(shù)理論年數(shù)0223216.68091142149.509824851.580931511.8636442.0465第四十頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例有一繁忙的汽車站，有大量汽車通過，設(shè)每輛車在一天的某段時(shí)間內(nèi)出事故的概率為0.001.在某天的該時(shí)段內(nèi)有1000輛汽車通過，問出事故車輛數(shù)不小于2的概率是多少？將每輛車通過看成一次試驗(yàn)，設(shè)出事故的車輛數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的服從參數(shù)為n=1000,p=0.001的二項(xiàng)分布，其分布律為：第四十一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日泊松定理注：一般情況下，n>10，p<0.1時(shí)，可以用泊松分布代替二項(xiàng)分布。第四十二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日此題中，n=1000,p=0.001，可用泊松分布（參數(shù)）近似代替。第四十三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例(壽命保險(xiǎn)問題)在保險(xiǎn)公司里有2500名同一年齡和同社會(huì)階層的人參加了人壽保險(xiǎn)，在一年中每人死亡的概率為0.002，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人在1月1日必須交12元保險(xiǎn)費(fèi)，而在死亡時(shí)家屬可從保險(xiǎn)公司里領(lǐng)取2000元賠償金，求(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率；(2)保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元的概率第四十四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第四十五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第四十六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第四十七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日在農(nóng)村尤其是偏遠(yuǎn)地區(qū)和經(jīng)濟(jì)落后地區(qū)，人們“傳宗接代”、“多子多福”、“早生兒子早享?！钡扔^念意識(shí)還很強(qiáng)，一對(duì)夫婦一定要生個(gè)兒子才肯罷休的現(xiàn)象并不少見；假設(shè)生女兒的概率為p，求生到兒子為止，子女?dāng)?shù)目X的分布律。4.幾何分布

第四十八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過,如果某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,則是一個(gè)隨機(jī)變量.且X(e)的所有可能取值為:實(shí)際上“某人等到2分59秒”的這種隨機(jī)事件幾乎不可能發(fā)生，研究[0，5]中一個(gè)點(diǎn)的概率無意義，通常關(guān)注取值落在一個(gè)區(qū)間上的概率。三、連續(xù)型隨機(jī)變量第四十九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日1.概率密度函數(shù)定義第五十頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日12.概率密度函數(shù)的性質(zhì)第五十一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日注意對(duì)于任意可能值a,連續(xù)型隨機(jī)變量取a的概率等于零.即連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān)第五十二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例第五十三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日解第五十四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第五十五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第五十六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日解第五十七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日1.均勻分布常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布第五十八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日解由題意,R的概率密度為故有例設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在~1100．求R的概率密度及R落在950~1050的概率．第五十九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日練：某公共汽車站從上午6時(shí)起，每15分鐘來一輛車，即6:00,6:15,6:30,6:45等時(shí)刻有汽車進(jìn)站。如某乘客到達(dá)此站的時(shí)間是6:00到6:30之間均勻分布隨機(jī)變量，試求該乘客等待時(shí)間少于5分鐘的概率。第六十頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第六十一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日2.指數(shù)分布第六十二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日指數(shù)分布在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常碰到，在排隊(duì)論及可靠性理論中指數(shù)分布常用來表示機(jī)器的維修時(shí)間，尋呼臺(tái)收到服務(wù)到達(dá)的時(shí)間間隔，元器件的使用壽命生物的壽命等。應(yīng)用與背景第六十三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日練：到某服務(wù)單位辦事總要排隊(duì)等待。設(shè)等待時(shí)間T是服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為某人到此處辦事，等待時(shí)間若超過15min，他就憤然離去。設(shè)此人一個(gè)月去該處10次，求（1）正好有兩次憤然離去的概率（2）至少有2次憤然離去的概率第六十四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第六十五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第六十六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日3.正態(tài)分布(或高斯分布)第六十七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征第六十八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第六十九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第七十頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日

正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測(cè)量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景

第七十一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第七十二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖形第七十三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日解例第七十四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第七十五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日一般正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的關(guān)系第七十六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例第七十七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第七十八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例:公共汽車車門的高度是按成年男子與車門頂碰頭的概率不大于1%的要求設(shè)計(jì)的.若成年男子的身高X(cm)服從分布,問車門的高度應(yīng)確定為多少?第七十九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第八十頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日某公司在某次招工考試中，準(zhǔn)備招工300名（280名正式工，20名臨時(shí)工），而報(bào)考的人數(shù)是1657名，考試滿分為400分?？荚嚭蟛痪?，通過當(dāng)?shù)匦侣劽浇榈玫饺缦滦畔ⅲ嚎荚嚻骄?66分，360分以上的高分考生31名。某考生A的成績(jī)是256分，問他能否被錄取?如被錄取能否是正式工？第八十一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日解：設(shè)考生考試成績(jī)?yōu)閄，則X是隨機(jī)變量，對(duì)于一次成功的考試來說，X應(yīng)服從正態(tài)分布，本題中，因?yàn)榭荚嚦煽?jī)高于360分的頻率是31/1657,所以第八十二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日下面預(yù)測(cè)該考生的考試名次，他的考分為256分，查表知說明考試成績(jī)高于256分的人數(shù)大約占總認(rèn)識(shí)的16.6%，所以，考試名次排在該生之前的大約有即該考生大約排名276名，所以被錄為正式工的可能性較大。第八十三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日解：因?yàn)樽畹头謹(jǐn)?shù)線x0的確定應(yīng)使高于此線的考生的頻率等于300/1657，即所以能錄取的最低分?jǐn)?shù)線是251分，該考生能被錄取。第八十四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望二、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.數(shù)學(xué)期望第八十五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日引例1分賭本問題(產(chǎn)生背景)

A,B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局B勝1局時(shí),不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?

注:1654年,一個(gè)騎士就此問題求教于帕斯卡,帕斯卡與費(fèi)馬通信討論這一問題,共同建立了概率論的第一個(gè)基本概念------數(shù)學(xué)期望第八十六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日在已賭過的三局(A勝2局B勝1局)的基礎(chǔ)上，若繼續(xù)賭A勝1/2B勝1/2A勝1/2B勝1/2A勝出的概率1/2+1/2*1/2=3/4

B勝出的概率1/2*1/2=1/4

在賭技相同的情況下,A,B最終獲勝的可能性大小之比為即A應(yīng)獲得賭金的而B只能獲得賭金的第八十七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,等于X

的可能值與其概率之積的累加.即為若設(shè)隨機(jī)變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:第八十八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日引例2(射擊問題)射手在同樣條件下進(jìn)行射擊，命中的環(huán)數(shù)為隨機(jī)變量，其分布律如下：求該射手平均每次命中的環(huán)數(shù)。

第八十九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望，均值。離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望第九十頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日關(guān)于定義的幾點(diǎn)說明(1)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),它是一種加權(quán)平均,也稱均值.(2)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性保證了級(jí)數(shù)的和不隨級(jí)數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變.第九十一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日試問哪個(gè)射手技術(shù)較好?例

誰的技術(shù)好?乙射手甲射手比一比第九十二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日解故甲射手的技術(shù)比較好.第九十三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例

投資理財(cái)決策某人現(xiàn)有10萬元現(xiàn)金進(jìn)行為期一年的投資，現(xiàn)有2種投資方案：一是購買股票，二是存入銀行獲利息。若買股票，則一年收益主要取決于全年經(jīng)濟(jì)形式好（概率30%）、中等（概率50%）、和差（概率20%）三種狀態(tài)，形式好就能獲利40000元，形式中等也能獲利10000元，形式差就要損失20000元。若存入銀行，則按8%的年利率獲得利息8000元。第九十四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日解設(shè)X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應(yīng)選擇股票投資.第九十五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日0132p0.40.30.20.1第九十六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日02123222p0.40.30.20.1-1153p0.40.30.20.1第九十七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例3

最優(yōu)訂購方案某商場(chǎng)訂購下一年的掛歷，零售價(jià)80元/本，進(jìn)價(jià)50元/本，若當(dāng)年賣不出去，則降價(jià)到20元/本全部銷售出去。根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，需求概率如下：在當(dāng)年售出150本、160本、170本和180本的概率分別為0.1，0.4，0.3，0.2。有以下四種訂購方案：(1)訂購150本；(2)訂購160本；(3)訂購170本；(4)訂購180本，請(qǐng)問哪種方案可使期望利潤最大？第九十八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日(1)訂購150本:設(shè)隨機(jī)變量X表示該方案下的利潤(百元)(2)訂購160本:設(shè)隨機(jī)變量Y表示該方案下的利潤(百元)第九十九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日(3)訂購170本:設(shè)隨機(jī)變量Z表示該方案下的利潤(百元)(4)訂購180本:設(shè)隨機(jī)變量R表示該方案下的利潤(百元)選擇方案2或3，可使期望利潤最大。第一百頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例設(shè)由自動(dòng)生產(chǎn)線加工的某種零件的內(nèi)徑X(mm)服從正態(tài)分布，內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品。銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損。已知銷售利潤T(元)與銷售零件內(nèi)徑X有如下關(guān)系：求銷售一個(gè)零件的平均利潤是多少？第一百零一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日注意T是離散型隨機(jī)變量。第一百零二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

第一百零三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例已知隨機(jī)變量在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，求第一百零四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第一百零五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例：對(duì)圓的直徑作近似測(cè)量，其值均勻分布在區(qū)間[a,b]上，求圓的面積的數(shù)學(xué)期望。第一百零六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第一百零七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例設(shè)隨機(jī)變量X~E(1)，求解

X的概率密度為

第一百零八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日例國際市場(chǎng)每年對(duì)我國某種商品的需求量是隨機(jī)變量X(噸),它服從[2000,4000]上的均勻分布.已知每售出1噸,可掙得外匯3千元,但如售不出去而積壓,則每噸需花庫存費(fèi)用及其他損失工1千元,問需組織多少貨源,才能使國家收益期望最大?第一百零九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第一百一十頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日小結(jié)第一百一十一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

性質(zhì)1若C是常數(shù),則E(C)=C.性質(zhì)2若C是常數(shù),則E(C)=CE().第一百一十二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日課堂練習(xí)（口答）第一百一十三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日分布期望第一百一十四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第一百一十五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日3方差一、隨機(jī)變量方差的概念二、隨機(jī)變量方差的計(jì)算三、隨機(jī)變量方差的性質(zhì)第一百一十六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日X2P235781/81/81/21/81/8X1P4561/41/21/4設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：

兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品2的偏差大，如果需要使用直徑為5的產(chǎn)品，則產(chǎn)品1較產(chǎn)品2理想。引例一、隨機(jī)變量方差的概念若需要直徑為5的產(chǎn)品，選哪種產(chǎn)品較理想？第一百一十七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近.

中心中心第一百一十八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日1、方差的定義稱為均方差或標(biāo)準(zhǔn)差.即

方差刻畫了隨機(jī)變量的取值與數(shù)學(xué)期望的偏離程度,它的大小可以衡量隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性.設(shè)是一隨機(jī)變量，如果存在，則稱為的方差，記作或.第一百一十九頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日2.方差的意義(2)若方差

，則隨機(jī)變量

恒取常數(shù)值。(1)方差是一個(gè)常用來體現(xiàn)隨機(jī)變量取值分散程度的量.如果值大,表示

取值分散程度大,

的代表性差;而如果

值小,則表示

取值比較集中,以

作為隨機(jī)變量的代表性好.第一百二十頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日（常用的）計(jì)算方差的簡(jiǎn)化公式:第一百二十一頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日解

P4561/41/21/4例

設(shè)有一種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：求。

第一百二十二頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第一百二十三頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日三、方差的性質(zhì)C為常數(shù)a為常數(shù)第一百二十四頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日第一百二十五頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日一、二元離散型隨機(jī)變量二、二元連續(xù)型隨機(jī)變量3.2.3二元隨機(jī)變量及其分布第一百二十六頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日一、二元隨機(jī)變量的定義

在實(shí)際問題中,一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果w對(duì)應(yīng)的不僅是一個(gè)隨機(jī)變量,常常要考慮多個(gè)隨機(jī)變量.例如:考慮某地區(qū)兒童的健康情況要同時(shí)考慮身高X,體重Y,肺活量Z等.若只研究一個(gè)就是一元的,若同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上,作為整體(X,Y,Z)來研究就是多元隨機(jī)變量.第一百二十七頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日定義實(shí)例1炮彈的彈著點(diǎn)的位置(X,Y)就是一個(gè)二維隨機(jī)變量.第一百二十八頁，共一百四十五頁，2022年，8月28日二維隨機(jī)變量(X,Y)的性質(zhì)不僅與X、Y有關(guān),而