(整理)第二章 非線性微分方程動(dòng)力系統(tǒng)的一般性研究

第二章非線性微分動(dòng)力系統(tǒng)的一般性研究在對(duì)一個(gè)由非線性微分方程所描述的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算格式之前，在對(duì)該模型所表示的控制系統(tǒng)進(jìn)行鎮(zhèn)定設(shè)計(jì)或其他工作之前，人們往往希望對(duì)該系統(tǒng)可能呈現(xiàn)的動(dòng)態(tài)特性有一個(gè)清楚的了解。特別是當(dāng)系統(tǒng)模型包含若干個(gè)可變參數(shù)時(shí)，人們又希望知道，這些參數(shù)的變化將如何影響整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。本章主要介紹非線性微分方程的一般理論，它將是進(jìn)一步研究和討論以下幾章的基礎(chǔ)。本章中將研究非線性常微分方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)：其中，是定義在某個(gè)開集中的一階連續(xù)可微函數(shù)。首先，介紹系統(tǒng)(2.1)的流在任何常點(diǎn)鄰域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的共同特征。然后，分別介紹非線性微分方程的解的動(dòng)態(tài)特性研究中的三個(gè)主要的內(nèi)容，即方程的平衡點(diǎn)、閉軌以及軌線的漸近性態(tài)分析。2.1常點(diǎn)流、直化定理本節(jié)介紹系統(tǒng)(2.1)的流在任何常點(diǎn)鄰域的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的共同特征，即證明如下的直化定理。定理2.1設(shè)有定義在開集上的動(dòng)力系統(tǒng)(2.1)，是它的一個(gè)常點(diǎn)，則存在的鄰域及其上的微分同胚，它將內(nèi)的流對(duì)應(yīng)為內(nèi)原點(diǎn)鄰域的一族平行直線段。證明：由于是常點(diǎn)，是中的非零向量，通過(guò)非奇異線性變換（坐標(biāo)軸的平移、旋轉(zhuǎn)和拉伸），可將對(duì)應(yīng)為新坐標(biāo)系的原點(diǎn)，且化為列向量（簡(jiǎn)記為），其中表示向量的轉(zhuǎn)置，代表維零向量，而微分系統(tǒng)可化為與此同時(shí)，的鄰域，在線性變換的作用下化為原點(diǎn)參見圖2.1(b)。根據(jù)解的存在唯一性定理及可微性定理可知，存在的鄰域和包含的區(qū)間，使得系統(tǒng)(2.1)從中任何一點(diǎn)出發(fā)的解在上存在，且關(guān)于其變量是連續(xù)可微的。進(jìn)一步，，即對(duì)任意的，其中，系統(tǒng)(2.1)過(guò)點(diǎn)有解曲線滿足。令，則得到映射?？疾鞂?dǎo)算子，因。又由于，故有，其中表示階單位方陣。于是導(dǎo)算子。由反函數(shù)定理知，在的一個(gè)鄰域，為局部微分同胚。取的鄰域。由于均為微分同胚，因而也是微分同胚，且它將中(2.1)的常點(diǎn)的鄰域內(nèi)的流映射為中開集內(nèi)的一族平行于軸的直線段（見圖2.1）。證畢。圖2.1對(duì)于離散系統(tǒng)的常點(diǎn)，有類似結(jié)論。只需改為：在常點(diǎn)鄰近的離散軌道在微分同胚之下，都相應(yīng)分布在一族平行直線段上。2.2平衡點(diǎn)及其動(dòng)態(tài)特性2.2.1基本概念考慮以下非線性常微分方程定義的動(dòng)力系統(tǒng)：定義2.1假設(shè)是系統(tǒng)(2.1)的一個(gè)平衡點(diǎn)，它是“穩(wěn)定的”是指：如果對(duì)的任一個(gè)鄰域，存在—個(gè)子鄰域，使沿系統(tǒng)(2.1)的任何—個(gè)滿足初始條件：的解對(duì)皆在存在且位于之中(圖2.2)。進(jìn)而，如果可選得一個(gè)，使得對(duì)任何都有那么被稱為是浙近穩(wěn)定的平衡點(diǎn)或匯(圖2.3)。圖2.2穩(wěn)定平衡點(diǎn)圖2.3漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)定義2.2假設(shè)是系統(tǒng)(2.1)的一個(gè)平衡點(diǎn)，且沒(méi)有零特征值和純虛數(shù)特征值，那么被稱為是雙曲型的平衡點(diǎn)或非退化平衡點(diǎn)。顯然，對(duì)雙曲型平衡點(diǎn)而言如果所有特征值皆有負(fù)實(shí)部，那么是漸近穩(wěn)定平衡點(diǎn)，而當(dāng)?shù)奶卣髦抵心承┚哂胸?fù)實(shí)部，另一些卻具有正實(shí)部時(shí)，是不穩(wěn)定的，它被稱為鞍點(diǎn)(saddle)；進(jìn)而，如果所有持征值皆有正實(shí)部，那么是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，此時(shí)被稱之為源(source)。例題2.1(Lienard方程)考慮的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性。易推得，Lienard方程的等價(jià)形式為其中，。從定義可知，該方程平衡點(diǎn)是，同時(shí)該系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處Jacobian矩陣為其兩個(gè)特征值沒(méi)分別是所以，當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)是匯；而時(shí)，是源。2.2.2平衡點(diǎn)穩(wěn)定性分析對(duì)于雙曲型平衡點(diǎn)而言，其穩(wěn)定性完全可以由相應(yīng)的線性化系統(tǒng)來(lái)判斷。假設(shè)是系統(tǒng)(1.1)的一個(gè)平衡點(diǎn)，那么在點(diǎn)系統(tǒng)的線性化系統(tǒng)定義為其中是的Jacobian矩陣，。以下定理給出了—個(gè)十分有用的結(jié)論，即雙曲型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與其相應(yīng)的線性近似系統(tǒng)在原點(diǎn)的穩(wěn)定性—樣。定理2.2如果沒(méi)有零或純虛數(shù)特征值，那么存在一對(duì)一連續(xù)可逆變換(稱之為同胚)，它定義于中的某個(gè)鄰域之內(nèi)，將非線性方程的解映射為相應(yīng)線性方程(1.2)的解，并保持解的性態(tài)不變。以上定理的證明可以在HartmanP．在1964年出版的專著中找到。這里不再引述。然而，當(dāng)不是雙曲型不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，就無(wú)法應(yīng)用上述定理，從線性化系統(tǒng)來(lái)判斷其穩(wěn)定性，下面的Liapunov定理給出了—條途徑。定理2.3假設(shè)是系統(tǒng)(2.1)的一個(gè)平衡點(diǎn)，如果存在一個(gè)可微函數(shù)，它定義于的某個(gè)鄰域內(nèi)，且①，當(dāng)時(shí)。②，在中，其中是(2.1)的軌線。那么是穩(wěn)定的。進(jìn)而，如果在中，那么是漸近穩(wěn)