高中數(shù)學(xué)北師大版第一章立體幾何初步單元測試 學(xué)業(yè)分層測評1

學(xué)業(yè)分層測評(十一)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1．已知圓錐的母線長是8，底面周長為6π，則它的體積是()A．9eq\r(55)π B．9eq\r(55)C．3eq\r(55)π D．3eq\r(55)【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，則2πr＝6π，∴r＝3.設(shè)圓錐的高為h，則h＝eq\r(82－32)＝eq\r(55)，∴V圓錐＝eq\f(1,3)πr2h＝3eq\r(55)π.【答案】C2．如圖1-7-23所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則三棱錐D1-ACD的體積是()圖1-7-23\f(1,6) \f(1,3)\f(1,2) D．1【解析】三棱錐D1-ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AD×DC×D1D＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6).【答案】A3．某幾何體的三視圖如圖1-7-24所示，則它的體積是()圖1-7-24A．8－eq\f(2π,3)B．8－eq\f(π,3)C．8－2π\(zhòng)f(2π,3)【解析】由幾何體的三視圖，可知幾何體為一個(gè)組合體，即一個(gè)正方體中間去掉一個(gè)圓錐體，所以它的體積是V＝23－eq\f(1,3)×π×12×2＝8－eq\f(2π,3).【答案】A4．某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖1-7-25所示，則該幾何體的體積是()【導(dǎo)學(xué)號：10690032】圖1-7-25A．72cm3 B．90cm3C．108cm3 D．138cm3【解析】該幾何體為一個(gè)組合體，左側(cè)為三棱柱，右側(cè)為長方體，如圖所示．V＝V三棱柱＋V長方體＝eq\f(1,2)×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．【答案】B5．分別以一個(gè)銳角為30°的直角三角形的最短直角邊、較長直角邊、斜邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所形成的幾何體的體積之比是()A．1∶eq\r(2)∶eq\r(3) B．6∶2eq\r(3)∶eq\r(3)C．6∶2eq\r(3)∶3 D．3∶2eq\r(3)∶6【解析】設(shè)Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝1，則AB＝2，AC＝eq\r(3)，求得斜邊上的高CD＝eq\f(\r(3),2)，旋轉(zhuǎn)所得幾何體的體積分別為V1＝eq\f(1,3)π(eq\r(3))2×1＝π，V2＝eq\f(1,3)π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π，V3＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\f(\r(3),2))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(1,2)π.V1∶V2∶V3＝1∶eq\f(\r(3),3)∶eq\f(1,2)＝6∶2eq\r(3)∶3.【答案】C二、填空題6．已知圓錐的母線長為5cm，側(cè)面積為15πcm2，則此圓錐的體積為________cm3.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則有πrl＝15π，知r＝3，∴h＝eq\r(52－32)＝4，∴其體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)×π×32×4＝12π.【答案】12π7．(2023·西安高一檢測)棱臺上、下底面面積之比為1∶9，則棱臺的中截面分棱臺成兩部分的體積之比是______．【解析】設(shè)棱臺高為2h，上底面面積為S，則下底面面積為9S，中截面面積為4S，eq\f(V上,V下)＝eq\f(\f(1,3)S＋\r(S·4S)＋4S·h,\f(1,3)4S＋\r(4S·9S)＋9S·h)＝eq\f(7,19).【答案】eq\f(7,19)8．已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖1-7-26，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸(單位：cm)，可得這個(gè)幾何體的體積是________．圖1-7-26【解析】此幾何體的直觀圖如圖，ABCD為正方形，邊長為20cm，S在底面的射影為CD中點(diǎn)E，SE＝20cm，VS－ABCD＝eq\f(1,3)SABCD·SE＝eq\f(8000,3)cm3.【答案】eq\f(8000,3)cm3三、解答題9.如圖1-7-27所示的幾何體，上面是圓柱，其底面直徑為6cm，高為3cm，下面是正六棱柱，其底面邊長為4cm，高為2cm，現(xiàn)從中間挖去一個(gè)直徑為2cm的圓柱，求此幾何體的體積．圖1-7-27【解】V六棱柱＝eq\f(\r(3),4)×42×6×2＝48eq\r(3)(cm3)，V圓柱＝π·32×3＝27π(cm3)，V挖去圓柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，∴此幾何體的體積：V＝V六棱柱＋V圓柱－V挖去圓柱＝(48eq\r(3)＋22π)(cm3)．10．如圖1-7-28，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).圖1-7-28(1)證明：平面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積．【解】(1)證明：由題設(shè)知，BB1eq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))DD1，∴BB1D1D是平行四邊形，∴BD∥B1D1.又BDeq\o(?,\s\up0(/))平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1.∵A1D1eq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))B1C1eq\o(\s\do5(═),\s\up5(∥))BC，∴A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥D1C.又A1Beq\o(?,\s\up0(/))平面CD1B1，∴A1B∥平面CD1B1.又∵BD∩A1B＝B，∴平面A1BD∥平面CD1B1.(2)∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高．又∵AO＝eq\f(1,2)AC＝1，AA1＝eq\r(2)，∴A1O＝eq\r(AA\o\al(2,1)－OA2)＝1.又∵S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴VABD-A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.[能力提升]1．(2023·全國卷Ⅱ)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖1-7-29，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()圖1-7-29\f(1,8) \f(1,7)\f(1,6) \f(1,5)【解析】由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐．設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，剩余部分的體積V2＝13－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,6),\f(5,6))＝eq\f(1,5)，故選D.【答案】D2．如圖1-7-30，三棱臺ABC-A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，則三棱錐A1-ABC，B-A1B1C，C-A1B1C1的體積之比為()圖1-7-30A．1∶1∶1 B．1∶1∶2C．1∶2∶4 D．1∶4∶4【解析】設(shè)棱臺的高為h，S△ABC＝S，則Seq\s\do10(△A1B1C1)＝4S，∴Veq\s\do10(A1－ABC)＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)Sh，Veq\s\do10(C－A1B1C1)＝eq\f(1,3)Seq\s\do10(△A1B1C1)·h＝eq\f(4,3)Sh.又V臺＝eq\f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq\f(7,3)Sh，∴Veq\s\do10(B－A1B1C)＝V臺－Veq\s\do10(A1－ABC)－Veq\s\do10(C－A1B1C1)＝eq\f(7,3)Sh－eq\f(Sh,3)－eq\f(4Sh,3)＝eq\f(2,3)Sh，∴體積比為1∶2∶4.【答案】C3．如圖1-7-31，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)．若截面△BC1D是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為________．圖1-7-31【解析】設(shè)AC＝a，CC1＝b，則BD2＝DCeq\o\al(2,1)＝a2＋eq\f(1,4)b2，∴eq\b\lc\(\rc\)(a2＋\f(1,4)b2)×2＝a2＋b2，得b2＝2a2，又eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(a2＋\f(1,4)b2)＝6，∴a2＝8，b2＝16，∴V＝eq\f(\r(3),4)×8×4＝8eq\r(3).【答案】8eq\r(3)4．若E，F(xiàn)是三棱柱ABC-A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點(diǎn)，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A-BEFC的體積．【解】如圖所示，連接AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積．又四棱錐A-BEFC的高與四棱錐A-B1EFC1的高相等，∴VA-BEFC＝Veq\s\do10(A-B1EFC1)＝eq\f(1,2)Veq\s\do10(A-BB1C1C).又Veq\s\do10(A-A1B1C1)＝eq\f(1,3)Seq\s\do10(△A1B1C1)·h，Veq