湖南省婁底市坪溪中學2021-2022學年高二數學理模擬試題含解析

湖南省婁底市坪溪中學2021-2022學年高二數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.雙曲線=1的焦點到漸近線的距離為（）A．1 B． C．2 D．參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】直接利用雙曲線方程的焦點坐標，求解漸近線方程，然后求解即可．【解答】解：雙曲線=1的焦點（，0），漸近線，雙曲線=1的焦點到漸近線的距離為：=．故選：B．2.若不等式恒成立，則實數的取值范圍為（

）

A．

B。

C。

D。參考答案：A解析：3.右面程序輸出的結果是(

)

A.66

B.65

C.55

D.54參考答案：D4.如圖，在梯形ABCD中，，，P是BC中點，則（

）A. B.C. D.參考答案：D【分析】由平面向量基本定理及線性運算可得：，得解.【詳解】因為是中點，所以.故選D.【點睛】本題考查了平面向量基本定理，屬基礎題.5.曲線上一點處的切線方程是(

)A.

B.

C.D.參考答案：C6.下列命題正確的是()A．單位向量都相等B．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線C．若|a＋b|＝|a－b|，則a·b＝0D．若a與b都是單位向量，則a·b＝1參考答案：C7.若函數的零點為，若,則f(m)的值滿足（

）A.

B.

C.

D.f(m)的符號不確定參考答案：B，y=在區(qū)間都是減函數，在區(qū)間都是減函數，函數的零點為，即當時，，故選B.

8.設A、B是橢圓C：長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是(

)A．(0,1]∪[4,+∞) B．C．(0,1]∪[9,+∞) D．參考答案：C9.已知過曲線（為參數，且）上一點P和原點O的直線PO的傾斜角為，則點P的坐標是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B10.設曲線在點（1，）處的切線與直線平行，則（）

A．1

B．

C．

D．參考答案：A，于是切線的斜率，∴有二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.復數z=（1+i）+（﹣2+2i）在復平面內對應的點位于第________象限．

參考答案：二【考點】復數的代數表示法及其幾何意義【解析】【解答】解：∵z=（1+i）+（﹣2+2i）=﹣1+3i，

∴z在復平面內對應的點的坐標為（﹣1，3），位于第二象限．

故答案為：二．

【分析】利用復數代數形式的加減運算化簡，求出z的坐標得答案．

12.已知定義在上的奇函數，當時有，則當時

.參考答案：13.為了調查本校高中男生的身高情況，在高中男生中隨機抽取了80名同學作為樣本，測得他們的身高后，畫出頻率分布直方圖如下：估計該高中男生身高的平均數為_____cm，估計該高中男生身高的中位數為_____cm.（精確到小數點后兩位數字）參考答案：174.75

175.31略14.曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標為

.參考答案：15.在未來3天中，某氣象臺預報天氣的準確率為0.8，則在未來3天中，至少連續(xù)2天預報準確的概率是．參考答案：0.768【考點】C9：相互獨立事件的概率乘法公式．【分析】至少連續(xù)2天預報準確包含3種情況：①三天都預報準確；②第一二天預報準確，第三天預報不準確；③第一天預報不準確，第二三天預報準確．由此能求出在未來3天中，至少連續(xù)2天預報準確的概率．【解答】解：至少連續(xù)2天預報準確包含3種情況：①三天都預報準確；②第一二天預報準確，第三天預報不準確；③第一天預報不準確，第二三天預報準確．在未來3天中，某氣象臺預報天氣的準確率為0.8，∴在未來3天中，至少連續(xù)2天預報準確的概率是p=0.83+0.82×0.2+0.2×0.82=0.768．∴在未來3天中，至少連續(xù)2天預報準確的概率是0.768．故答案為：0.768．16.已知函數f(x)=在(－2,+)內單調遞減，則實數a的取值范圍

參考答案：略17.雙曲線y2﹣2x2=8的漸近線方程為

．參考答案：

【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據題意，將雙曲線的方程變形為標準方程，分析可得其焦點位置以及a、b的值，利用雙曲線的漸近線方程計算可得答案．【解答】解：根據題意，雙曲線的方程為：y2﹣2x2=8，變形可得﹣=1，則其焦點在y軸上，且a==2，b==2，則其漸近線方程為，故其答案為：．【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，需要先將雙曲線的方程變形為標準方程．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知為復數，為純虛數，，且，求．參考答案：解：設，則∵為純虛數，∴（3分）且,不同時為0而（5分）ks5u又∵，，∴，即∴．（8分）ks5u當=5時，=15，；當=－5時，=－15，．（10分）略19.（本小題滿分14分）已知數列滿足（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）若數列滿足，證明：是等差數列；（Ⅲ）證明：參考答案：解：本例（1）通過把遞推關系式轉化成等比型的數列；第（2）關鍵在于找出連續(xù)三項間的關系；第（3）問關鍵在如何放縮。解：（1），故數列是首項為2，公比為2的等比數列。，……………4分

（2），①②②—①得，即③④④—③得，即所以數列是等差數列……………10分（3）設，則…………14分略20.已知f（x）=﹣x2﹣lnx，設曲線y=f（x）在x=t（0＜t＜2）處的切線為l．（1）判斷函數f（x）的單調性；（2）求切線l的傾斜角θ的取值范圍；（3）證明：當x∈（0，2）時，曲線y=f（x）與l有且僅有一個公共點．參考答案：【考點】利用導數研究函數的單調性；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求解定義域，導數f'（x）=﹣x﹣，判斷f'（x）＜0，求解單調區(qū)間．（2）求解導數的取值范圍f'（t）＜﹣1，利用幾何意得出切線的斜率范圍為（﹣∞，﹣1），再根據三角函數判斷即可．（3）構造g（x）=f（x）﹣[f'（t）（x﹣t）+f（t）]，則g'（x）=f'（x）﹣f'（t），二次構造h（x）=，則當x∈（0，2）時，＞0，運用導數判斷單調性求解即可．【解答】解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），由f（x）=﹣lnx，得f'（x）=﹣x﹣，∴f'（x）＜0，于是f（x）在（0，+∞）上是減函數；（2）由（1）知，切線l的斜率為，t＞0，∴≤﹣2=﹣1，（當且僅當，即t=2時取“=”）∵0＜t＜2，∴f'（t）＜﹣1，即切線的斜率范圍為（﹣∞，﹣1），∴l(xiāng)的傾斜角θ的取值范圍為（，）．（3）證明：曲線y=f（x）在x=t處的切線方程為y=f'（t）（x﹣t）+f（t）．設g（x）=f（x）﹣[f'（t）（x﹣t）+f（t）]，則g'（x）=f'（x）﹣f'（t），于是g（t）=0，g'（t）=0．設h（x）=，則當x∈（0，2）時，＞0，∴g'（x）在（0，2）上是增函數，且g'（t）=0，∴當x∈（0，t）時，g'（x）＜0，g（x）在（0，t）上是減函數；當x∈（t，2）時，g'（x）＞0，g（x）在（t，2）上是增函數，故當x∈（0，t）或x∈（t，2），g（x）＞g（t）=0，∴當且僅當x=t時，f（x）=f'（t）（x﹣t）+f（t），即當x∈（0，2）時，曲線y=f（x）與l有且僅有一個公共點．21.（16分）已知直線l為函數y=x+b的圖象，曲線C為二次函數y=（x﹣1）2+2的圖象，直線l與曲線C交于不同兩點A，B（Ⅰ）當b=7時，求弦AB的長；（Ⅱ）求線段AB中點的軌跡方程；（Ⅲ）試利用拋物線的定義證明：曲線C為拋物線．參考答案：【考點】軌跡方程．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（Ⅰ）當b=7時，直線y=x+7代入y=（x﹣1）2+2，求出A，B的坐標，即可求弦AB的長；（Ⅱ）把y=x+b代入y=（x﹣1）2+2，利用韋達定理，即可求線段AB中點的軌跡方程；（Ⅲ）證明：曲線C上的任一點M到點（1，）與到直線y=的距離相等，即可確定曲線C為拋物線．【解答】解：（I）把直線y=x+7代入y=（x﹣1）2+2，得或，即A（﹣1，6），B（4，11），所以|AB|=5；…（II）設A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）把y=x+b代入y=（x﹣1）2+2，得x2﹣3x+3﹣b=0…由韋達定理x1+x2=3，△=32﹣4（3﹣b）＞0，b＞所以，，…所以線段AB中點的軌跡方程；…（III）可以證明曲線C上的任一點M到點（1，）與到直線y=的距離相等．或設曲線C上的任一點M（x，y）到點（1，m）的距離等于到直線y=n的距離，…即，又y=（x﹣1）2+2，整理得（1﹣2m）y+m2﹣2=﹣2ny+n2，所以，解得m=，n=；…（14分）所以曲線C上的