2021-2022學年北京小店中學高一數(shù)學理模擬試題含解析

2021-2022學年北京小店中學高一數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.要得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象A．向右平移個單位

B．向左平移個單位C．向右平移個單位

D．向左平移個單位參考答案：B略2.方程=k（x﹣1）+2有兩個不等實根，則k的取值范圍是（）A．（，+∞） B．（，1] C．（0，） D．（，1]參考答案：D【考點】函數(shù)的零點與方程根的關系．【分析】由題意可得，函數(shù)y=的圖象和直線y=k（x﹣1）+2有2個交點，數(shù)形結合求得k的范圍．【解答】解：方程=k（x﹣1）+2有兩個不等實根，即函數(shù)y=的圖象和直線y=k（x﹣1）+2有2個交點．而函數(shù)y=的圖象是以原點為圓心，半徑等于1的上半圓（位于x軸及x軸上方的部分），直線y=k（x﹣1）+2，即kx﹣y+2﹣k=0的斜率為k，且經過點M（1，2），當直線和半圓相切時，由=1，求得k=．當直線經過點A（﹣1，0）時，由0=k（﹣1﹣2）+3求得k=1．數(shù)形結合可得k的范圍為（，1]，故選：D．【點評】本題主要考查方程的根的存在性及個數(shù)判斷，體現(xiàn)了函數(shù)和方程的轉化及數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于中檔題．3.某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）

A.至少有一次中靶

B.兩次都中靶

C.兩次都不中靶

D.只有一次中靶參考答案：B4.使關于x的不等式有解的實數(shù)k的最大值是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D

解析：本題實質上是求的值域的上限.將看成是點和點B（－2，－1）確定的直線的斜率，而A在單位圓周上運動，當BA為圓的切線時斜率取最值，由此容易求得

故選D.5.下列函數(shù)中，與函數(shù)有相同圖象的是（A）

（B） （C） （D）參考答案：C略6.（1）已知，求的值.（2）已知為銳角，，，求的值.參考答案：解：（1）原式=

=

（2）因為為銳角，，所以，---------------

1分由為銳角，，又，---------------1分所以，---------------2分因為為銳角，所以，所以.

---------------1分

略7.給定映射，則在映射下，的原象是（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.若集合A＝｛x｜ax2＋2x＋a＝0，a∈R｝中有且只有一個元素，則a的取值集合是（）A、｛1｝

B、｛－1｝

C、｛0，1｝

D、｛－1，0，1｝參考答案：D略9.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，則下列命題錯誤的是（

）

A．如果直線a⊥α，那么直線a必垂直于平面β內的無數(shù)條直線B．如果直線a∥α，那么直線a不可能與平面β平行C．如果直線a∥α，a⊥l，那么直線a⊥平面βD．平面α內一定存在無數(shù)條直線垂直于平面β內的所有直線參考答案：B10.在平面直角坐標系中，記d為點到直線的距離，當變化時，d的最大值為（

）A.1B.2C.3D.4參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=x2﹣2x，則當x＜0時，f（x）=

．參考答案：﹣x2﹣2x【考點】函數(shù)奇偶性的性質；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】計算題．【分析】要求x＜0時的函數(shù)解析式，先設x＜0，則﹣x＞0，﹣x就滿足函數(shù)解析式f（x）=x2﹣2x，用﹣x代替x，可得，x＜0時，f（﹣x）的表達式，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求出此時的f（x）即可．【解答】解：設x＜0，則﹣x＞0，∵當x≥0時，f（x）=x2﹣2x，∴f（﹣x）=x2+2x，∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣x2﹣2x，∴當x＜0時，f（x）=﹣x2﹣2x故答案為﹣x2﹣2x【點評】本題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式，關鍵是先求x＜0時f（﹣x）的表達式，再根據(jù)奇偶性求f（x）．13.已知｜a｜＝4,｜b｜＝8，a與b的夾角為120°，則｜2a-b｜＝

.參考答案：略13.若的最小值為，則實數(shù)

。

參考答案：略14.函數(shù)的最小值等于

．參考答案：115.在△ABC中，B=60°，AB=1，BC=4，則邊BC上的中線AD的長為

.參考答案：略16.，若，則的值為

．參考答案：-1417.若函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值和最小值之和為6，則實數(shù)a=

．參考答案：2【考點】指數(shù)函數(shù)的圖象與性質．【分析】兩種情況：（1）當a＞1時，函數(shù)y=ax在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，所以ymax=a2

ymin=a，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程a2+a=6解得：a=2或﹣3（負值舍去）（2）0＜a＜1，函數(shù)y=ax在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，所以：ymax=a

ymin=a2，由于最小值和最大值之和6，所以建立方程，即a2+a=6，解得：a=2或﹣3，因為0＜a＜1，所以都舍去．【解答】解：（1）當a＞1時，函數(shù)y=ax在區(qū)間[1，2]上是增函數(shù)，所以ymax=a2

ymin=a，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a=6，解得：a=2或﹣3（負值舍去）；（2）0＜a＜1，函數(shù)y=ax在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，所以：ymax=a

ymin=a2，由于最小值和最大值之和6，即：a2+a=6，解得：a=2或﹣3，而0＜a＜1，故都舍去；故答案為：2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）如圖，在三棱錐S﹣ABC中，SC⊥平面ABC，點P、M分別是SC和SB的中點，設PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°．（1）求證：平面MAP⊥平面SAC．（2）求二面角M﹣AC﹣B的平面角的正切值．參考答案：考點： 平面與平面垂直的判定；與二面角有關的立體幾何綜合題．專題： 計算題；證明題．分析： （1）欲證面MAP⊥面SAC，根據(jù)面面垂直的判定定理可知在平面MAP內一直線與平面SAC垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可知BC⊥平面SAC，而PM∥BC，從而PM⊥面SAC，滿足定理所需條件；（2）易證面MAP⊥面SAC，則AC⊥CM，AC⊥CB，從而∠MCB為二面角M﹣AC﹣B的平面角，過點M作MN⊥CB于N點，連接AN，在△CAN中，由勾股定理求得AN，在Rt△AMN中求出MN，在Rt△CNM中，求出此角即可．解答： 證明：（1）∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，又∵P，M是SC、SB的中點∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，（5分）（2）∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC．（3分）∴AC⊥CM，AC⊥CB，從而∠MCB為二面角M﹣AC﹣B的平面角，∵直線AM與直線PC所成的角為60°∴過點M作MN⊥CB于N點，連接AN，則∠AMN=60°在△CAN中，由勾股定理得．在Rt△AMN中，=．在Rt△CNM中，故二面角M﹣AC﹣B的正切值為．（5分）點評： 本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．19.設函數(shù)，其中＝(－sinx,cosx)，＝(sinx,－3cosx)，＝(－cosx,sinx)，x∈R。(1)求函數(shù)的表達式；

(2)求函數(shù)的最大值和單調遞增區(qū)間。參考答案：解：（1）由題意得f(x)＝＝(－sinx，cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)，＝－sinx（sinx-cosx）+cosx(sinx-3cosx),

（只寫到這里給4分）＝,＝＝＝,.

（4分）（2）由（1）得f(x)，所以，它的最大值為；它的單調遞增區(qū)間由，求得，即為

.

（4分）略20.如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣，0），B（，0），銳角α的終邊與單位圓O交于點P．（Ⅰ）用α的三角函數(shù)表示點P的坐標；（Ⅱ）當?=﹣時，求α的值；（Ⅲ）在x軸上是否存在定點M，使得||=||恒成立？若存在，求出點M的橫坐標；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】向量數(shù)乘的運算及其幾何意義；任意角的三角函數(shù)的定義．【分析】（Ⅰ）用α的三角函數(shù)的坐標法定義得到P坐標；（Ⅱ）首先寫成兩個向量的坐標根據(jù)?=﹣，得到關于α的三角函數(shù)等式，求α的值；（Ⅲ）假設存在M（x，0），進行向量的模長運算，得到三角等式，求得成立的x值．【解答】解：銳角α的終邊與單位圓O交于點P．（Ⅰ）用α的三角函數(shù)表示點P的坐標為（cosα，sinα）；（Ⅱ），，?=﹣時，即（cos）（cos）+sin2α=，整理得到cos，所以銳角α=60°；（Ⅲ）在x軸上假設存在定點M，設M（x，0），，則由||=||恒成立，得到=，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，所以存在x=﹣2時等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．21.設平面向量，（1）證明；（2）當，求.參考答案：