2021-2022學(xué)年北京科興實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年北京科興實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，若a10+a11=10，則=（）A．l B．2 C．一l D．一2參考答案：D考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：由已知結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得S20，代入再由換底公式求得答案．解答：解：在等差數(shù)列{an}中，由a10+a11=10，得=10（a10+a11）=100，∴=．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．2.已知拋物線C：y2=16x，焦點(diǎn)為F，直線l：x=﹣1，點(diǎn)A∈l，線段AF與拋物線C的交點(diǎn)為B，若，則|AB|=（）A． B．35 C．28 D．40參考答案：C【考點(diǎn)】K8：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，利用向量共線的坐標(biāo)表示，由，確定A，B的坐標(biāo)，即可求得|AB|．【解答】解：由拋物線C：y2=16x，可得F（4，0），設(shè)A（﹣1，a），B（m，n），且n2=16m，∵，∴﹣1﹣4=5（m﹣4），∴m=3，∴n=±4，∵a=5n，∴a=±20，∴|AB|==28．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問(wèn)題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等．下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的n=（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量S的值，模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，a=，b=4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=2時(shí)，a=，b=8滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=3時(shí)，a=，b=16滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=4時(shí)，a=，b=32不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選C．4.中國(guó)歷法推測(cè)遵循以測(cè)為輔、以算為主的原則．例如《周髀算經(jīng)》和《易經(jīng)》里對(duì)二十四節(jié)氣的晷（guǐ）影長(zhǎng)的記錄中，冬至和夏至的晷影長(zhǎng)是實(shí)測(cè)得到的，其它節(jié)氣的晷影長(zhǎng)則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的．下表為《周髀算經(jīng)》對(duì)二十四節(jié)氣晷影長(zhǎng)的記錄，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）．節(jié)氣冬至小寒（大雪）大寒（小雪）立春（立冬）雨水（霜降）驚蟄（寒露）春分（秋分）清明（白露）谷雨（處暑）立夏（立秋）小滿（大暑）芒種（小暑）夏至晷影長(zhǎng)（寸）135125115.1105.295.375.566.545.735.825.916.0已知《易經(jīng)》中記錄的冬至晷影長(zhǎng)為130.0寸，夏至晷影長(zhǎng)為14.8寸，那么《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)應(yīng)為（）A．72.4寸 B．81.4寸 C．82.0寸 D．91.6寸參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用．【分析】設(shè)晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列{an}，公差為d，a1=130.0，a13=14.8，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：設(shè)晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列{an}，公差為d，a1=130.0，a13=14.8，則130.0+12d=14.8，解得d=﹣9.6．∴a6=130.0﹣9.6×5=82.0．∴《易經(jīng)》中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)是82.0寸．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到g（x）的圖象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，則2x1﹣x2的最大值為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義；3O：函數(shù)的圖象．【分析】由已知可得g（x）=+1，若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，則g（x1）=g（x2）=3，則，結(jié)合x1，x2∈，可得答案．【解答】解：函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得y=的圖象，再向上平移1個(gè)單位，得到g（x）=+1的圖象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈，則g（x1）=g（x2）=3，則，即，由x1，x2∈，得：x1，x2∈{﹣，﹣，，}，當(dāng)x1=，x2=﹣時(shí)，2x1﹣x2取最大值，故選：A6.已知雙曲線﹣y2=1（a＞0）的實(shí)軸長(zhǎng)2，則該雙曲線的離心率為（） A． B． C． D． 參考答案：B7.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中三個(gè)正方形的邊長(zhǎng)均為2，則該幾何體的表面積為（

）A．

B．C．

D．參考答案：D8.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C略9.兩位同學(xué)去某大學(xué)參加自主招生考試，根據(jù)右圖學(xué)校負(fù)責(zé)人與他們兩人的對(duì)話，可推斷出參加考試的人數(shù)為

A.19

B.20

C.21

D.22參考答案：答案：B10.已知都是負(fù)實(shí)數(shù)，則的最小值是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義．B3直接通分相加得，因?yàn)槎际秦?fù)實(shí)數(shù)，所以都為正實(shí)數(shù)，那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值，最小值為為，分母有最小值，即有最大值，那么可得最小值，最小值：，故選B．【思路點(diǎn)撥】把所給的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常數(shù)化，分子和分母同除以分母，把原式的分母變化成具有基本不等式的形式，求出最小值．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列四個(gè)命題：①圓與直線相交，所得弦長(zhǎng)為2；②直線與圓恒有公共點(diǎn)；③若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為；④若棱長(zhǎng)為的正四面體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為。其中，正確命題的序號(hào)為______________（寫出所有正確命題的序號(hào)）。參考答案：答案：②④12.若雙曲線﹣=1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，﹣4），則此雙曲線的離心率為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線的漸近線方程，代入點(diǎn)（3，﹣4），可得b=a，再由c=，e=，即可得到所求值．【解答】解：雙曲線﹣=1的漸近線方程為y=±x，由漸近線過(guò)點(diǎn)（3，﹣4），可得﹣4=﹣，即b=a，c===a，可得e==．故答案為：．13.在四邊形ABCD中，AD∥BC，，AD=5，，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且AE=BE，則__________.參考答案：－1【分析】可利用向量的線性運(yùn)算，也可以建立坐標(biāo)系利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解?！驹斀狻吭斀猓航夥ㄒ唬喝鐖D，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，因?yàn)椋仕倪呅螢榱庑?。因?yàn)?，，所以，?因?yàn)椋?解法二：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則，。因?yàn)椤?，，所以，因?yàn)?，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為。由得，，所以。所以.【點(diǎn)睛】平面向量問(wèn)題有兩大類解法：基向量法和坐標(biāo)法，在便于建立坐標(biāo)系的問(wèn)題中使用坐標(biāo)方法更為方便。

14.定義在R上的偶函數(shù)在[0,+∞)為單調(diào)遞增，則不等式的解集是_________.參考答案：【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得，再解絕對(duì)值不等式即可得解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)為定義在R上的偶函數(shù)，則由可得，又函數(shù)在為單調(diào)遞增，則，解得，故不等式的解集是：.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)及利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，重點(diǎn)考查了函數(shù)思想，屬基礎(chǔ)題.15.垂直于直線2x－6y+1=0且與曲線y=x3+3x2－5相切的直線方程是_______.參考答案：答案：3x+y+6=016.已知函數(shù)，如果對(duì)任意的，定義，例如：,那么的值為

參考答案：2考點(diǎn)：函數(shù)求值；分段函數(shù)；函數(shù)的周期性.【名師點(diǎn)睛】對(duì)于分段函數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求值問(wèn)題，一定要先求內(nèi)層函數(shù)的值，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)的函數(shù)值就是外層函數(shù)的自變量的值.另外，要注意自變量的取值對(duì)應(yīng)著哪一段區(qū)間，就使用哪一段解析式，體現(xiàn)考綱中要求了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)并能應(yīng)用，來(lái)年需要注意分段函數(shù)的分段區(qū)間及其對(duì)應(yīng)區(qū)間上的解析式，千萬(wàn)別代錯(cuò)解析式.17.2017年1月27日，哈爾濱地鐵3號(hào)線一期開通運(yùn)營(yíng)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定乘坐地鐵去城鄉(xiāng)路、哈西站和哈爾濱大街．每人只能去一個(gè)地方，哈西站一定要有人去，則不同的游覽方案為．參考答案：65【考點(diǎn)】D8：排列、組合的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，先由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得四人選擇3個(gè)地方的全部情況數(shù)目，再計(jì)算哈西站沒人去的情況數(shù)目，分析可得哈西站一定要有人去的游覽方案數(shù)目，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)決定乘坐地鐵去城鄉(xiāng)路、哈西站和哈爾濱大街．每人只能去一個(gè)地方，則每人有3種選擇，則4人一共有3×3×3×3=81種情況，若哈西站沒人去，即四位同學(xué)選擇了城鄉(xiāng)路和哈爾濱大街．每人有2種選擇方法，則4人一共有2×2×2×2=16種情況，故哈西站一定要有人去有81﹣16=65種情況，即哈西站一定有人去的游覽方案有65種；故答案為：65．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿分分）選修4-5：不等式證明選講．已知函數(shù)．(1)求的解集；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的都成立，求的取值范圍．參考答案：（1）∴即∴①或②或③解得不等式①：；②：無(wú)解③：所以的解集為或．………5分（2）即的圖象恒在圖象的上方圖象為恒過(guò)定點(diǎn)，且斜率變化的一條直線作函數(shù)圖象如圖,其中，，∴由圖可知，要使得的圖象恒在圖象的上方∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．

………10分19.成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列．參考答案：20.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且滿足Sn=a+（n∈N*）．（Ⅰ）計(jì)算a1，a2，a3的值，猜想{an}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)Tn是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，證明：Tn＜．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）由已知條件利用遞推導(dǎo)思想求出a1=1，a2=2，a3=3．由此猜想an=n，再用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．（Ⅱ）證法一：由，利用裂項(xiàng)求和法和放縮法進(jìn)行證明．證法二：利用用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．【解答】（Ⅰ）解：當(dāng)n=1時(shí)，，解得a1=1，，解得a2=2，，解得a3=3．猜想an=n….3分，證明：（?。┊?dāng)n=1時(shí)，顯然成立．（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，ak=k….4分，則當(dāng)n=k+1時(shí)，，結(jié)合an＞0，解得ak+1=k+1…..6分，于是對(duì)于一切的自然數(shù)n∈N*，都有an=n…7分．（Ⅱ）證法一：∵，…10分∴．…14分證法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（?。┊?dāng)n=1時(shí)，，，….8分（ⅱ）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，…9分則當(dāng)n=k+1時(shí)，要證：只需證：由于所以…13分于是對(duì)于一切的自然數(shù)n∈N*，都有….14分【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和證明，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．21.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù).（1）證明：存在唯一實(shí)數(shù)，使；（2）定義數(shù)列

①對(duì)（1）中的，求證:對(duì)任意正整數(shù)都有;②當(dāng)時(shí),若,證明:對(duì)任意都有參考答案：(1)解：有令由所以有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使；

………………5分(1)（Ⅰ）(數(shù)學(xué)歸納法)先證：證明:①;②假設(shè)

由遞減性得：

即又所以時(shí)命題成立

所以對(duì)成立.…………9分

(2)(Ⅱ)解：當(dāng)時(shí),為減函數(shù)，且

由

………………14分

略22.有甲乙兩個(gè)班進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下列聯(lián)表．

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10

乙班

30

合計(jì)

105已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為．（1）請(qǐng)完成上面的聯(lián)表；（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按95%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”；（3）若按下面的方法從甲班優(yōu)秀的學(xué)生抽取一人：把甲班10優(yōu)秀的學(xué)生按2到11進(jìn)行編號(hào)，先后兩次拋擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取的序號(hào)．試求抽到6號(hào)或10號(hào)的概率．參考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．概率表P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635參考答案：解：（1）

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班104555乙班203050合計(jì)3075105（2）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到k2=≈6.109＞3.841因此有95%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”．（3）設(shè)“抽到6或10號(hào)”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為（x，y）．所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36個(gè)．事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6