2021-2022學(xué)年山西省忻州市田家炳中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年山西省忻州市田家炳中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，，若有窮數(shù)列（）的前項(xiàng)和等于，則等于(

)A．4

B．5

C．6

D．7參考答案：B，因?yàn)椋?，即函?shù)單調(diào)遞減，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即數(shù)列為首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以，由得，解得，選B.2.某程序框圖如圖所示,當(dāng)程序運(yùn)行后，輸出T的值是

(A)204(B)140(C)91(D)55參考答案：B3.設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(α)＝4，則實(shí)數(shù)α=()A．－4或－2

B．－4或2C．－2或4

D．－2或2參考答案：B當(dāng)α≤0時(shí)，f(α)＝－α＝4，α＝－4；當(dāng)α＞0，f(α)＝α2＝4，α＝2.4.函數(shù)的值域?yàn)锳.[1,] B.[1,2] C.[,2] D.[參考答案：D【分析】因?yàn)楹瘮?shù)，平方求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出的值域.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋海驗(yàn)?，又，所以的值域?yàn)?故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域，此題也可用三角換元求解.求函數(shù)值域常用方法：?jiǎn)握{(diào)性法，換元法，判別式法，反函數(shù)法，幾何法，平方法等.5.在某新型材料的研制中，實(shí)驗(yàn)人員獲得了如下一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：現(xiàn)準(zhǔn)備下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是(

)X1.99345.16.12Y1.54.047.51218.01

A．y=2x﹣1 B．log2x C．y= D．y=（）x參考答案：C考點(diǎn)：歸納推理．專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；推理和證明．分析：由表中的數(shù)據(jù)分析得：自變量基本上是等速增加，相應(yīng)的函數(shù)值增加的速度越來(lái)越快，結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性，利用排除法可得出正確的答案．解答： 解：由表格中的數(shù)據(jù)知，y隨x的變化趨勢(shì)，可得函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)，且y的變化隨x的增大越來(lái)越快，∵A中函數(shù)是線性增加的函數(shù)，B中函數(shù)是比線性增加還緩慢的函數(shù)，D中函數(shù)是減函數(shù)；∴排除A，B、D答案，C中函數(shù)y=比較符合題意，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握各種基本初等函數(shù)，如一次函數(shù)，二次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．6.執(zhí)行如題(7)圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果為A．189

B．381

C．93

D．45參考答案：A7.=（

）

A．1

B．

C．

D．參考答案：D因?yàn)椋蔬x擇D。8.在如圖所示的矩形中隨機(jī)投擲30000個(gè)點(diǎn)，則落在曲線C下方（曲線C為正態(tài)分布N（1，1）的正態(tài)曲線）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為（）附：正態(tài)變量在區(qū)間（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）內(nèi)取值的概率分別是0.683，0.954，0.997．A．4985 B．8185 C．9970 D．24555參考答案：D【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】求出P（0＜X＜3）=0.683+（0.954﹣0.683）=0.8185，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意P（0＜X＜3）=0.683+（0.954﹣0.683）=0.8185，∴落在曲線C下方的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為30000×0.8185=24555，故選：D．9.雙曲線A．

B．

C．

D．參考答案：B 10.以下四個(gè)命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①“若a+b≥2則a，b中至少有一個(gè)不小于1”的逆命題；②存在正實(shí)數(shù)a，b，使得lg（a+b）=lga+lgb；③“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”的否定是“至少有一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)”；④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要條件．A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】①，寫(xiě)出命題“若a+b≥2則a，b中至少有一個(gè)不小于1”的逆命題，可舉例判斷①；②，存在正實(shí)數(shù)a=2，b=2，使得lg（2+2）=lg2+lg2；③，寫(xiě)出“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”的否定，再舉例說(shuō)明，可判斷③；④，在△ABC中，利用大角對(duì)大邊及正弦定理可判斷④．【解答】解：對(duì)于①，“若a+b≥2，則a，b中至少有一個(gè)不小于1”的逆命題為“若a，b中至少有一個(gè)不小于1，則a+b≥2”，錯(cuò)誤，如a=3≥1，b=﹣2，但a+b=1＜2；對(duì)于②，存在正實(shí)數(shù)a=2，b=2，使得lg（2+2）=lg22=2lg2=lg2+lg2成立，故②正確；對(duì)于③，“所有奇數(shù)都是素?cái)?shù)”的否定是“至少有一個(gè)奇數(shù)不是素?cái)?shù)”，如：9是奇數(shù)，但不是素?cái)?shù)，故③正確；對(duì)于④，在△ABC中，A＜B?a＜b?2RsinA＜2RsinB?sinA＜sinB，故△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分必要條件，故④錯(cuò)誤．綜上所述，②③正確，故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量p＝(1，－2)，q＝(x,4)，且p∥q，則p·q的值為_(kāi)_______．參考答案：-1012.（選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．設(shè)直線與曲線C交于，兩點(diǎn)，則=

．參考答案：013.已知均為正數(shù)，且，則的最大值為

參考答案：14.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

▲

．參考答案：3當(dāng)時(shí)，由得，設(shè)，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)時(shí)，由，解得。所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)。15.給出下列命題：①已知a，b都是正數(shù)，且，則a＜b；②已知f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若x∈R，f′(x)≥0，則f(1)＜f(2)一定成立；③命題“x∈R，使得x2－2x＋1＜0”的否命題是真命題；④“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要條件．其中正確命題的序號(hào)是__________．(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)參考答案：①16.的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是

(用數(shù)值作答)．參考答案：300317.計(jì)算：=

.參考答案：0【知識(shí)點(diǎn)】定積分的應(yīng)用解析：（x3cosx）dx=x3dsinx=======﹣（﹣3）3sin（﹣3）﹣3?（﹣3）2cos（﹣3）﹣6sin3=﹣27sin3﹣27cos3﹣6sin3=﹣33sin3﹣27cos3．同理,所以=0.故答案為0.【思路點(diǎn)撥】直接利用分步積分求解定積分的值．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18..已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，.（1）若，求證：，，必可以被分為1組或2組，使得每組所有數(shù)的和小于1；（2）若，求證：，，…，必可以被分為m組（），使得每組所有數(shù)的和小于1．參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【分析】（1）先將最大的一個(gè)數(shù)一組，另兩個(gè)一組，利用反證法證明這兩個(gè)較小的數(shù)的和小于1；（2）先將其中介于和1之間的單獨(dú)分一組，再把小于的數(shù)進(jìn)行拼湊成若干組，保證每組都介于和1之間，最后剩余的分成一組，再分析介于和1之間組數(shù)小于等于k即可.【詳解】解：（1）不妨設(shè)假設(shè)，則所以所以與矛盾，因此,所以必可分成兩組、使得每組所有數(shù)的和小于1（2）不妨設(shè)，先將，，…，單獨(dú)分為一組，再對(duì)后面項(xiàng)依次合并分組，使得每組和屬于，最后一組和屬于，不妨設(shè)將，，…，分為，，…，，，共組，且其中組，，…，，，最后一組首先必小于等于，否則，與，矛盾當(dāng)時(shí)，則所以只需將，，…，分為，，…，，，即可滿足條件；當(dāng)時(shí)，可將與合成一組，且，否則，矛盾此時(shí)只需將，，…，分為，，…，，，即可滿足條件，所以，，…，必可以被分為m組(1≤m≤k)，使得每組所有數(shù)的和小于1．【點(diǎn)睛】本題主要考查推理論證能力，抓住題中的關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行分組處理，同時(shí)結(jié)合反證法進(jìn)行論述推理.19..如圖，三棱柱中，側(cè)棱與底面垂直，，，分別是的中點(diǎn)（1）求證：∥平面；（2）求證：⊥平面；（3）求三棱錐的體積的體積．參考答案：略20.（12分）某人在一山坡P處觀看對(duì)面山項(xiàng)上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l且點(diǎn)P在直線l上，l與水平地面的夾角為a，。試問(wèn)此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角∠BPC最大（不計(jì)此人的身高）。參考答案：解析：以O(shè)為原點(diǎn)，OA為軸、OB為軸建立直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)為：（200，0），（0，220），（0，300）直線的方程為：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）（）直線PC的斜率直線PB的斜率由直線PC到直線PB的角的公式，得由均值不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)上式等號(hào)成立，這時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為當(dāng)最大時(shí)，最大。所以，當(dāng)此人距地面60米的時(shí)，觀看鐵塔的視角最大。21.某校在一次期末數(shù)學(xué)測(cè)試中，為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況，從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試成績(jī)，被測(cè)學(xué)生成績(jī)?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿分150分），將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[65，75)，第二組[75，85)，……第八組[135，145]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．（1）求第七組的頻率，并完成頻率分布直方圖；（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值）；（3）若從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，求他們的分差的絕對(duì)值小于10分的概率．參考答案：解：（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為：．完成頻率分布直方圖如下：（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分為：（3）樣本成績(jī)屬于第六組的有人，樣本成績(jī)屬于第八組的有人，從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，基本事件總數(shù)