2021-2022學(xué)年廣東省廣州市第九十五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年廣東省廣州市第九十五中學(xué)高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.電流強度I(安)隨時間t(秒)變化的函數(shù)的圖象如圖所示,則當(dāng)秒時,電流強度是(

)A.－5A B.5A C. D.10A參考答案：A由函數(shù)的最值可得：，函數(shù)的最小正周期為：，則，當(dāng)時函數(shù)取得最大值，即：，則，令可得：，函數(shù)的解析式為：，則當(dāng)秒時,電流強度是.本題選擇A選項.點睛：已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.2.設(shè)集合，則A∩B等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A3.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，則（

）A．

B．C．

D．參考答案：D4.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為實數(shù)，則實數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B5.函數(shù)的圖象過一個定點P，且點P在直線上，則的最小值是（

）A．12

B．13

C．24

D．25參考答案：D6.對函數(shù)下列有三個命題①圖像關(guān)于（，0）對稱②在（0，）單調(diào)遞增③若為偶函數(shù),則的最小值為A.②③

B.①②

C.①③

D.①②③

參考答案：C7.執(zhí)行如圖程序框圖，若輸入的等于10，則輸出的結(jié)果是（

）A．2

B．

C．

D．參考答案：C8.已知=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，則a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣2參考答案：B【考點】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【分析】根據(jù)兩向量平行的坐標(biāo)表示，列出方程，求出a的值即可．【解答】解：∵=（a，﹣2），=（1，1﹣a），且∥，∴a（1﹣a）﹣（﹣2）×1=0，化簡得a2﹣a﹣2=0，解得a=2或a=﹣1；∴a的值是2或﹣1．故選：B．9.公差不為零的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且（

）A.2

B.4

C.8

D.16參考答案：D10.定義在R上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)x∈[3，4]時,，則(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知關(guān)于x,y的二元一次不等式組，則x+2y+2的最小值為_________參考答案：-612.直線截圓所得的弦長等于半徑，則k=

。參考答案：答案:

13.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2=1，a8=a6+2a4，則a6的值是

．參考答案：4【考點】等比數(shù)列的通項公式．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q＞0，a1＞0．∵a8=a6+2a4，∴，化為q4﹣q2﹣2=0，解得q2=2．∴a6===1×22=4．故答案為：4．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)x，y為實數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是．參考答案：【考點】基本不等式．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】設(shè)t=2x+y，將已知等式用t表示，整理成關(guān)于x的二次方程，二次方程有解，判別式大于等于0，求出t的范圍，求出2x+y的最大值．【解答】解：∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y則y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案為【點評】本題考查利用換元轉(zhuǎn)化為二次方程有解、二次方程解的個數(shù)由判別式?jīng)Q定．15.在極坐標(biāo)系中，過點作圓的切線，則切線的極坐標(biāo)方程是

。參考答案：ρcosθ=216.若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則=

▲

.參考答案：17.若對任意的則的解析式為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）由已知知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值．（2）由已知得a≤2lnx+x+，x∈[，e]，設(shè)h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，則，x∈[，e]，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值【解答】解：（1）由已知知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，當(dāng)x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（），f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，∵t＞0，∴t+2＞①當(dāng)0＜t＜＜t+2，即0＜t＜時，f（x）min=f（）=﹣；②當(dāng)，即t時，f（x）在[t，t+2]上單調(diào)遞增，f（x）min=f（t）=tlnt．∴．（2）∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣，∴a≤2lnx+x+，x∈[，e]，設(shè)h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，則，x∈[，e]，①x∈[，1）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，②x∈（1，e]時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，∴h（x）max=h（）=﹣2+，對一切x0∈[，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，∴a≤h（x）max=﹣2++3e．【點評】本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．19.（本題滿分12分）（理）已知正方形的邊長為2，分別是邊的中點．（1）在正方形內(nèi)部隨機取一點，求滿足的概率；（2）從這八個點中，隨機選取兩個點，記這兩個點之間的距離為，求隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考答案：（1）所有點構(gòu)成的平面區(qū)域是正方形的內(nèi)部，其面積是．滿足的點構(gòu)成的平面區(qū)域是以為圓心，為半徑的圓的內(nèi)部與正方形內(nèi)部的公共部分，它可以看作是由一個以為圓心、為半徑、圓心角為的扇形的內(nèi)部（即四分之一個圓）與兩個直角邊為1的等腰直角三角形（△和△）內(nèi)部構(gòu)成．其面積是．所以滿足的概率為．（2）從這八個點中，任意選取兩個點，共可構(gòu)成條不同的線段．其中長度為1的線段有8條，長度為的線段有4條，長度為2的線段有6條，長度為的線段有8條，長度為的線段有2條．所以所有可能的取值為．且，，

，，

．所以隨機變量的分布列為：隨機變量的數(shù)學(xué)期望為20.已知.（1）已知是導(dǎo)函數(shù)，求的極值；（2）設(shè)，若有兩個零點，求a的取值范圍.參考答案：(1)極小值為(2)【分析】（1）先求出，再利用導(dǎo)數(shù)求的極值；（2）先求出,再對a分a＞0，a=0，a＜0三種情況，根據(jù)函數(shù)g(x)有兩個零點求出a的取值范圍.【詳解】解：（1）①若，顯然所以在R上遞增，所以沒有極值.②若，則，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。所以在處取極小值，極小值（2）.函數(shù)定義域為R，且.①若，則所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。所以令，則.顯然，所以在上是減函數(shù).又函數(shù)在上是減函數(shù)，取實數(shù)，則又在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。由零點存在性定理，在，上各有一個唯一的零點。所以符合題意。②若，則，顯然僅有一個零點1，所以不符合題意.③若，則.（i）若，則，此時，即在R上遞增，至多只有一個零點，所以不符合題意，（ii）若，則，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以在處取得極大值，且極大值，所以最多有一個零點，所以不符合題意。（iii）若，則，函數(shù)在和上遞增，在上遞減，所以在處取得極大值，且極大值為，所以最多有一個零點，所以不符合題意.綜上所述，a的取值范圍是【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和研究函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.21.如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，M為PD的中點（1）證明：平面PAB（2）若是邊長為2的等邊三角形，求點C到平面PBD的距離參考答案：（1）證明見解析（2）【分析】(1)取AD中點N，連接MN和CN，首先證明、，從而證明平面平面由面面平行的性質(zhì)可推出平面PAB；(2)根據(jù)題意知，證明，從而求出，由等體積法即可求出點C到平面PBD的距離.【詳解】（1）如圖取AD中點N，連接MN和CN，，又平面，平面，∴平面，又，四邊形ABCN是平行四邊形，，又平面，平面，∴平面又因為平面平面PAB，平面平面；（2）是邊長為2的等邊三角形，