2021-2022學年江蘇省南京市天印中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

2021-2022學年江蘇省南京市天印中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若某幾何體的三視圖如圖1所示，則此幾何體的表面積是（）A.

B.

C.

D.參考答案：B略2.秦九韶算法是南宋時期數(shù)學家秦九韶提出的一種多項式簡化算法，即使在現(xiàn)代，它依然是利用計算機解決多項式問題的最優(yōu)算法，即使在現(xiàn)代，它依然是利用計算機解決多項式問題的最優(yōu)算法，其算法的程序框圖如圖所示，若輸入的a0，a1，a2，…，an分別為0，1，2，…，n，若n=5，根據(jù)該算法計算當x=2時多項式的值，則輸出的結果為（）A．248 B．258 C．268 D．278參考答案：B【考點】程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序，可得程序框圖的功能求出當x=2時的值，即可得解．【解答】解：該程序框圖是計算多項式f（x）=5x5+4x4+3x3+2x2+x當x=2時的值，而f（2）=258，故選：B．3.已知集合,集合,,則（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略4.將一圓的六個等分點分成兩組相間的三點﹐它們所構成的兩個正三角形扣除內部六條線段后可以形成一正六角星﹐如圖所示的正六角星是以原點O為中心﹐其中﹐分別為原點O到兩個頂點的向量﹒若將原點O到正六角星12個頂點的向量﹐都寫成為a+b的形式﹐則a+b的最大值為（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：D【考點】平面向量坐標表示的應用；平面向量的基本定理及其意義．【專題】平面向量及應用．【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，結合圖形，得出求a+b的最大值時﹐只需考慮圖中6個頂點的向量即可，分別求出即得結論．【解答】解：因為想求a+b的最大值﹐所以考慮圖中的6個頂點的向量即可；討論如下﹕（1）因為=﹐所以（a，b）=（1，0）；（2）因為=+=+3=3+﹐所以（a，b）=（3，1）；（3）因為=+=+2=2+﹐所以（a，b）=（2，1）；（4）因為=++=++=++（+2）=3+2﹐所以（a，b）=（3，2）；（5）因為=+=+=+﹐所以（a，b）=（1，1）；（6）因為=﹐所以（a，b）=（0，1）；因此﹐a+b的最大值為3+2=5﹒故選：D﹒【點評】本題考查了平面向量的基本定理的應用問題，也考查了平面向量的坐標表示的應用問題，是基礎題目．5.設，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.設是函數(shù)圖象上的點，則的最小值為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】導數(shù)的應用B12【答案解析】A

∵P（x，y）是函數(shù)y=+lnx圖象上的點，則x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．f′（x）=1-+=，

令f′（x）＞0，解得x＞1，此時函數(shù)f（x）單調遞增；令f′（x）＜0，解得0＜x＜1，此時函數(shù)f（x）單調遞減．且f′（1）=0．∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得最小值，f（1）=3．

故選：A．【思路點撥】P（x，y）是函數(shù)y=+lnx圖象上的點，則x+y=x++lnx=f（x），（x＞0）．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值即可得出．7.在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影外部（曲線C為正態(tài)分布的密度曲線）的點的個數(shù)的估計值為（

）A．3413

B．1193

C．2718

D．6587附：若,則，參考答案：D【知識點】正態(tài)分布幾何概型【試題解析】由題知：陰影的面積為

所以落入陰影的點的個數(shù)為：個，

所以落入陰影外部的點的個數(shù)的估計值為：10000-3413=6587個。

故答案為：D8.（

）A．

B．

C．2

D．不存在

參考答案：B9.一枚硬幣連擲三次至少出現(xiàn)一次正面朝上的概率是（

）.(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D10.記不等式所表示的平面區(qū)域為D，若對任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，則c的取值范圍是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，2] C．[﹣1，4] D．（﹣∞，﹣1]參考答案：D【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】首先畫出平面區(qū)域，由對任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，即求﹣x+2y的最小值，利用其幾何意義求得即可．【解答】解：由已知得到可行域如圖：由圖可知，對任意（x0，y0）∈D，不等式x0﹣2y0+c≤0恒成立，即c≤﹣x+2y恒成立，即c≤（﹣x+2y）min，當直線z=﹣x+2y經過圖中A（1，0）時z最小為﹣1，所以c≤﹣1；故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.某地球儀上北緯30°緯線的長度為12cm,該地球儀的半徑是

cm,表面積是

cm2.參考答案：答案：

19212.已知對于任意實數(shù)，函數(shù)滿足.若方程有2011個實數(shù)解，則這2011個實數(shù)解之和為

參考答案：0略13.若函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f（x）=，則f（）+f（）=

．參考答案：考點：函數(shù)的值．專題：函數(shù)的性質及應用．分析：通過函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的周期性，化簡所求表達式，通過分段函數(shù)求解即可．解答： 解：函數(shù)f（x）（x∈R）是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2]上的解析式為f（x）=，則f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案為：．點評：本題考查函數(shù)的值的求法，分段函數(shù)的應用，考查計算能力．14.已知平面a與平面b交于直線l，P是空間一點，PA⊥a，垂足為A，PB⊥b，垂足為B，且PA=1，PB=2，若點A在b內的射影與點B在a內的射影重合，則點P到l的距離為________.參考答案：答案：

15.已知隨機變量ξ服從二項分布的值為__________.參考答案：略16.已知F1、F2分別為雙曲線C:-=1的左、右焦點，點A∈C，點M的坐標為(2，0)，AM為∠F1AF2的平分線．則|AF2|=

.參考答案：6.本題主要考查了雙曲線的基本定義和三角形內角平分線定理，難度較高。

由題意得焦點坐標：、，,由角平分線定理得：,①

由雙曲線定義得：②

聯(lián)立得.17.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為．參考答案：2【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出約束條件表示的平面區(qū)域，由線性規(guī)劃的知識求得t=2x﹣y的最大值，由此求出z的最小值．【解答】解：作出約束條件，如圖所示；由解得點B（1，3）；作出直線2x﹣y=0，對該直線進行平移，可以發(fā)現(xiàn)經過點B時t=2x﹣y=2×1﹣3=﹣1，此時取得最小值為2．故答案為：2．【點評】本題考查了線性規(guī)劃中目標函數(shù)的最值問題，是基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.【選修4－4：坐標系與參數(shù)方程】

在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線是圓心在極軸上，且經過極點的圓．已知曲線上的點對應的參數(shù)，射線與曲線交于點．（Ⅰ）求曲線，的方程；（Ⅱ）若點，在曲線上，求的值．參考答案：解：（I）將及對應的參數(shù)，代入，得，即，所以曲線的方程為（為參數(shù)），或.

設圓的半徑為,由題意,圓的方程為,(或).將點代入,得,即.

(或由,得,代入,得),所以曲線的方程為,或.

…6分

（II）因為點，在曲線上,

所以,,

所以.

…10分略19.為降低汽車尾氣的排放量，某廠生產甲乙兩種不同型號的節(jié)排器，分別從甲乙兩種節(jié)排器中各自抽取100件進行性能質量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示．節(jié)排器等級及利潤如表格表示，其中綜合得分k的范圍節(jié)排器等級節(jié)排器利潤率k≥85一級品a75≤k＜85二級品5a270≤k＜75三級品a2（1）若從這100件甲型號節(jié)排器按節(jié)排器等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件節(jié)排器中隨機抽取3件，求至少有2件一級品的概率；（2）視頻率分布直方圖中的頻率為概率，用樣本估計總體，則①若從乙型號節(jié)排器中隨機抽取3件，求二級品數(shù)ξ的分布列及數(shù)學期望E（ξ）；②從長期來看，骰子哪種型號的節(jié)排器平均利潤較大？參考答案：【考點】離散型隨機變量的期望與方差；離散型隨機變量及其分布列．【分析】（1）利用互斥事件概率加法公式能求出至少有2件一級品的概率．（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號節(jié)排器中的一級品的概率為，二級品的概率，三級品的概率為，若從乙型號節(jié)排器隨機抽取3件，則二級品數(shù)ξ所有可能的取值為0，1，2，3，且，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．②由題意分別求出甲型號節(jié)排器的利潤的平均值和乙型號節(jié)排器的利潤的平均值，由此求出投資乙型號節(jié)排器的平均利潤率較大．【解答】解：（1）至少有2件一級品的概率．（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號節(jié)排器中的一級品的概率為，二級品的概率，三級品的概率為，若從乙型號節(jié)排器隨機抽取3件，則二級品數(shù)ξ所有可能的取值為0，1，2，3，且，所以，，所以ξ的分布列為ξ0123P所以數(shù)學期望（或）．②由題意知，甲型號節(jié)排器的利潤的平均值，乙型號節(jié)排器的利潤的平均值，，又，所以投資乙型號節(jié)排器的平均利潤率較大．【點評】本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．20.（本小題滿分12分）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD(I)

求異面直線BF與DE所成的角的大?。?II)

證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。參考答案：解析：方法一：（Ⅰ）解：由題設知，BF//CE，所以∠CED（或其補角）為異面直線BF與DE所成的角。設P為AD的中點，連結EP，PC。因為FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內,故EP⊥PC，EP⊥AD。由AB⊥AD，可得PC⊥AD設FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故∠CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60°（II）證明：因為（III）由（I）可得，方法二：如圖所示，建立空間直角坐標系，點為坐標原點。設依題意得

（I）

所以異面直線與所成的角的大小為.（II）證明：

，（III）又由題設，平面的一個法向量為21.設函數(shù).（1）求f(x)的單調區(qū)間;（2）若，k為整數(shù)，且當時，(x－k)f′(x)+x+1>0，求k的最大值.參考答案：解：（Ⅰ）的定義域為，。若，則，所以在內單調遞增；若，則當時，，當時，，所以，在內單調遞減，在內單調遞增。......5分（Ⅱ）由，有，當時，(x－k)f′(x)+x+1>0等價于，（）......7分令，則。由（Ⅰ）知，在內單調遞增，而，，所以在內存在唯一的零點，故在內存在唯一的零點，設此零點為，則。.....10分當時，；當時，，所以在內的最小值為，又有，可得，所以。所以。整數(shù)的最大取值為2。......12分22.（本小題滿分14分）已知兩圓的圓心分別為，為一個動點，且直線的斜率之積為

（1）求動點的軌跡M的方程；（2）是否存在過點的直線l與軌跡M交于不同的兩點C、D，使得？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由.參考答案：解：（1）兩圓的圓心坐標分別為和

（1分）設動點的坐標為,則直線的斜率分別為和

(3分)由條件得，即

所以動點的軌跡M的方程為

（6分）

注：無“”扣