2021-2022學(xué)年河北省衡水市棗園中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2021-2022學(xué)年河北省衡水市棗園中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是(

)A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)；函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】利用函數(shù)奇偶性的判斷方法以及零點(diǎn)的判斷方法對(duì)選項(xiàng)分別分析選擇．【解答】解：對(duì)于A，定義域?yàn)镽，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函數(shù)并且有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函數(shù)，由無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于C，定義域?yàn)椋?，+∞），所以是非奇非偶的函數(shù)，有一個(gè)零點(diǎn)；對(duì)于D，定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，都是沒有零點(diǎn)；故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的奇偶性和零點(diǎn)的判斷．①求函數(shù)的定義域；②如果定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，函數(shù)是非奇非偶的函數(shù)；如果關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷f（﹣x）與f（x）的關(guān)系；相等是偶函數(shù)，相反是奇函數(shù)；函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)以及與對(duì)應(yīng)方程的解的個(gè)數(shù)是一致的．2.設(shè)向量,均為單位向量，且|＋|，則與夾角為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.復(fù)數(shù)（1+i）z=i（i為虛數(shù)單位），則=(

)A．﹣ B． C．﹣ D．i參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】由題意可得z=，再利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法法則，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，求得結(jié)果．【解答】解：∵復(fù)數(shù)（1+i）z=i，∴z===，故=，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4.設(shè)常數(shù)，集合，若，則的取值范圍為（

）(A) (B) (C) (D)參考答案：B5.函數(shù)y=的其中一個(gè)對(duì)稱中心為(

)A．B．C．（0，0）D．參考答案：A考點(diǎn)：正切函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：對(duì)于函數(shù)y=，令2x﹣=，求得x的值，可得函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心．解答： 解：對(duì)于函數(shù)y=，令2x﹣=，求得x=π，k∈Z，故函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為（π，0），k∈Z，故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正切函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．6.安徽黃山景區(qū)，每半個(gè)小時(shí)會(huì)有一趟纜車從山上發(fā)車到山下，某人下午在山上，準(zhǔn)備乘坐纜車下山，則他等待時(shí)間不多于5分鐘的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由題意分析在何區(qū)間內(nèi)等待時(shí)間可以控制在5分鐘之內(nèi)，再由概率計(jì)算公式即可求出結(jié)果.【詳解】此人在25分到30分或55分到60分之間的5分鐘內(nèi)到達(dá)，等待時(shí)間不多于5分鐘，所以他等待時(shí)間不多于5分鐘的概率為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型，熟記公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.7.已知,,，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)對(duì)數(shù)B6B7【答案解析】A

>1，<0，0<<1,所以,故選A.【思路點(diǎn)撥】先判斷正負(fù)，再判斷和1的關(guān)系，求出結(jié)果。8.已知函數(shù)，若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A略9.參考答案：B略10.已知一組正數(shù)的方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：A．2

B．3

C．4

D．6參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,將數(shù)列中各項(xiàng)進(jìn)行分組如下。第1組：；第2組：，；……；如果第k組的最后一個(gè)數(shù)為，那么第k+1組的（k+1）個(gè)數(shù)依次排列為：，，……，，則第10組的第一個(gè)數(shù)是___▲_____參考答案：8912.對(duì)給定的正整數(shù)，定義，其中，，則

；當(dāng)時(shí)，

．參考答案：64，

13.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的半徑為_____．參考答案：【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體，設(shè)球心為，根據(jù)外接球的性質(zhì)可知，與和正方形中心的連線分別與兩個(gè)平面垂直，從而可得到四邊形為矩形，求得和后，利用勾股定理可求得外接球半徑.【詳解】由三視圖還原幾何體如下圖所示：設(shè)中心為，正方形中心為，外接球球心為則平面，平面，中點(diǎn)四邊形為矩形，外接球的半徑：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查多面體外接球半徑的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)球的性質(zhì)確定球心的位置，從而根據(jù)長度關(guān)系利用勾股定理求得結(jié)果.14.函數(shù)，又，，且的最小值等于，則正數(shù)的值為

▲

．參考答案：1

15.如圖，三棱錐A-BCD的項(xiàng)點(diǎn)A，B，C，D都在同一球面上，BD過球心O，是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)P，Q分別為線段AO，BC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，則三棱錐P-QOC體積的最大值為______．參考答案：【分析】由題證得AO⊥平面BCD，△BOC也是等腰直角三角形，設(shè)AP=CQ=x，然后利用體積公式求解即可．【詳解】因?yàn)锽D過球心，，所以，又△ABC是邊長為4等邊三角形，所以AO2+CO2=AC2，AO2+BO2=AB2，所以AO⊥CO，AO⊥BO．所以AO⊥平面BCD，且△BOC也是等腰直角三角形，設(shè)AP=CQ=x，則當(dāng)且緊當(dāng)時(shí)成立.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．16.已知,則sina+cosa=______________.參考答案：略17.下列命題中，真命題的有

。（只填寫真命題的序號(hào)）①若則“”是“”成立的充分不必要條件；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為2；③若命題“”與命題“或”都是真命題，則命題一定是真命題；④若命題：，則：．參考答案：①③④略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)0<a<2時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．參考答案：解：（I）定義域?yàn)椋?/p>

．

………2分

令，則，所以或．

………4分

因?yàn)槎x域?yàn)椋裕?/p>

令，則，所以．………6分因?yàn)槎x域?yàn)?，所以?/p>

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

…7分（II）

（）．．

…8分

因?yàn)?<a<2，所以，．令

可得．所以函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．…………10分①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．…11分所以．

…12分

②當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)．所以．…13分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

…14分略19.（本小題滿分12分）為迎接2012年倫敦奧運(yùn)會(huì),在著名的海濱城市青島舉行了一場(chǎng)奧運(yùn)選拔賽,其中甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員為爭(zhēng)取最后一個(gè)參賽名額進(jìn)行的7輪比賽的得分如莖葉圖所示：（1）若從甲運(yùn)動(dòng)員的每輪比賽的得分中任選3個(gè)不低于80且不高于90的得分，求甲的三個(gè)得分與其每輪比賽的平均得分的差的絕對(duì)值都不超過2的概率；（2）若分別從甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的每輪比賽不低于80且不高于90的得分中任選1個(gè)，求甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員得分之差的絕對(duì)值的分布列與期望.

參考答案：【解析】（1）有莖葉圖可知，甲運(yùn)動(dòng)員七輪比賽的得分情況為：78，81，84，85，84，85，91．所以甲每輪比賽的平均得分為，顯然甲運(yùn)動(dòng)員每輪比賽得分中不低于80且不高于90的得分共有5個(gè)，分別為81，84，85，84，85，其中81分與平均得分的絕對(duì)值大于2，所求概率?！?分（2）設(shè)甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的得分分別為，則得分之差的絕對(duì)值為。顯然，由莖葉圖可知，的可能取值為0，1，2，3，5，6．當(dāng)=0時(shí)，，故當(dāng)=1時(shí)，或，故當(dāng)=2時(shí)，或，故當(dāng)=3時(shí)，或，故當(dāng)=5時(shí)，，故當(dāng)=6時(shí)，，故所以的分布列為：012356………12分20.（本題滿分12分）班主任為了對(duì)本班學(xué)生的考試成績進(jìn)行分析，決定從全班25名女同學(xué)，15名男同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析。（1）如果按性別比例分層抽樣，男、女生各抽取多少名才符合抽樣要求？（2）隨機(jī)抽出8名，他們的數(shù)學(xué)、物理分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)如下表：學(xué)生編號(hào)12345678數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x6065707580859095物理分?jǐn)?shù)y7277808488909395(i)若規(guī)定85分以上（包括85分）為優(yōu)秀，在該班隨機(jī)調(diào)查一名同學(xué)，他的數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率是多少？(ii)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用變量y與x的相關(guān)系數(shù)或散點(diǎn)圖說明物理成績y與數(shù)學(xué)成績x之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱。如果有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，說明理由。參考公式：相關(guān)系數(shù)；回歸直線的方程是：，其中，，是與對(duì)應(yīng)的回歸估計(jì)值。參考數(shù)據(jù)：，，，，，，。參考答案：解：(1)應(yīng)選女生名，男生名。(2)(i)由表中可以看出，所選的8名同學(xué)中，數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的有3人，故所求概率是。(ii)變量y與x的相關(guān)系數(shù)是?？梢钥闯觯锢砼c數(shù)學(xué)成績高度正相關(guān)。也可以數(shù)學(xué)成績x為橫坐標(biāo)，物理成績y為縱坐標(biāo)做散點(diǎn)圖（略）。從散點(diǎn)圖可以看出這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，并且在逐步上升，故物理與數(shù)學(xué)成績高度正相關(guān)。設(shè)y與x的線性回歸方程是，根據(jù)所給數(shù)據(jù)可以計(jì)算出，，所以y與x的線性回歸方程是。21.（12分）如圖1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=AB=2，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，將△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD與平面ABC垂直（如圖2），在圖2所示的幾何體D﹣ABC中．（1）求證：BC⊥平面ACD；（2）點(diǎn)F在棱CD上，且滿足AD∥平面BEF，求幾何體F﹣BCE的體積．參考答案：【考點(diǎn)】：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的判定．【專題】：空間位置關(guān)系與距離；空間角．【分析】：（1）由題意知，AC=BC=2，從而由勾股定理得AC⊥BC，取AC中點(diǎn)E，連接DE，則DE⊥AC，從而ED⊥平面ABC，由此能證明BC⊥平面ACD．（2）取DC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，則EF∥AD，三棱錐F﹣BCE的高h(yuǎn)=BC，S△BCE=S△ACD，由此能求出三棱錐F﹣BCE的體積．（1）證明：在圖1中，由題意知，AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中點(diǎn)E，連接DE，則DE⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DE平面ACD，從而ED⊥平面ABC，∴ED⊥BC又AC⊥BC，AC∩ED=E，∴BC⊥平面ACD．（2）解：取DC中點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF，∵E是AC中點(diǎn)，∴EF∥AD，又EF平面BEF，AD平面BEF，∴AD∥平面BEF，由（1）知，BC為三棱錐B﹣ACD的高，∵三棱錐F﹣BCE的高h(yuǎn)=BC=2=，S△BCE=S△ACD=×2×2=1，所以三棱錐F﹣BCE的體積為：VF﹣BCE==×1×=．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查線面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．22.數(shù)列首項(xiàng)，前項(xiàng)和與之間滿足

（1