2021-2022學(xué)年湖南省益陽(yáng)市南灣湖聯(lián)校高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021-2022學(xué)年湖南省益陽(yáng)市南灣湖聯(lián)校高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.【題文】參考答案：B略2.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知f（x）=，若函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．e B． C．﹣ D．﹣e參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】判斷f（x）的奇偶性，根據(jù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可知ex+ax=0在（0，+∞）上只有一解，即直線y=﹣ax與y=ex相切，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組解出a即可．【解答】解：若x＞0，則f（﹣x）=ex+ax=f（x），同理，當(dāng)x＜0時(shí)，f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，又f（0）=0，∴x=0是f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，∵f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，∴f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=0得ex=﹣ax，∴直線y=﹣ax與y=ex相切．設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則，解得x0=1，a=﹣e．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷與性質(zhì)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．4.已知為銳角，，，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈.若圓經(jīng)過(guò)區(qū)域D上的點(diǎn)，則r的取值范圍是A. B.C. D.參考答案：B6.已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為的直線與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn)，則弦PQ的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．5 D．參考答案：D【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】直線PQ的方程是，把代入拋物線y2=4x消y得3x2﹣10x+3=0，利用弦長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：直線PQ的方程是，把代入拋物線y2=4x消y得3x2﹣10x+3=0，設(shè)Q（x1，y1），P（x2，y2），則，所以|PQ|=x1+x2+p==，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的運(yùn)用，考查弦長(zhǎng)公式，屬于中檔題．7.在正三棱錐ABC—A1B1C1中，已知M為底面內(nèi)（含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)M到三個(gè)側(cè)面ABB1A1、BCC1B1、ACC1A1的距離成等差數(shù)列，則點(diǎn)M的軌跡是

（

）

A．一條線段

B．橢圓的一部分

C．雙曲線的一部分

D．拋物線的一部分參考答案：A8.在由四條直線圍成的區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，這點(diǎn)沒(méi)有落在和軸所圍成區(qū)域內(nèi)的概率是A．

B.

C.

D.

參考答案：A略9.已知雙曲線（，）的一條漸近線的方程是，且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知向量、滿足，且，，則向量、的關(guān)系是（

）A.互相垂直 B.方向相同C.方向相反 D.成120°角參考答案：C【分析】設(shè)向量與的夾角為，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求出的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，則，即，得，，.因此，向量、方向相反.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查兩向量位置關(guān)系的判斷，根據(jù)向量的數(shù)量積求出兩向量的夾角是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（1+）6的展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)為

．參考答案：略12.已知函數(shù)且，其中為奇函數(shù),為偶函數(shù)，若不等式對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是

.參考答案：13.如圖，三個(gè)半徑都是10cm的小球放在一個(gè)半球面的碗中，小球的頂端恰好與碗的上沿處于同于水平面，則這個(gè)碗的半徑R是

cm．參考答案：

【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)三個(gè)小球和碗的相切關(guān)系，作出對(duì)應(yīng)的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之間的關(guān)系即可得到碗的半徑．【解答】解：分別作出空間幾何體的正視圖和俯視圖如圖：則俯視圖中，球心O（也是圓心O）是三個(gè)小球與半圓面的三個(gè)切點(diǎn)的中心，∵小球的半徑為10cm，∴三個(gè)球心之間的長(zhǎng)度為20cm，即OA=cm．，在正視圖中，球心B，球心O（同時(shí)也是圓心O），和切點(diǎn)A構(gòu)成直角三角形，則OA2+AB2=OB2，其中OB=R﹣10，AB=10，∴，即，∴，即R=10+=cm．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了球的相切問(wèn)題的計(jì)算，根據(jù)條件作出正視圖和俯視圖，確定球半徑之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．14.已知拋物線與圓有公共點(diǎn)，若拋物線在點(diǎn)處的切線與圓C也相切，則_________．參考答案：

15.．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3=0，S5=﹣5，數(shù)列{}的前2016項(xiàng)的和為．參考答案：﹣【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由S3=0，S5=﹣5，可得，解得：a1，d，可得an．再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S3=0，S5=﹣5，∴，解得：a1=1，d=﹣1．∴an=1﹣（n﹣1）=2﹣n．∴==，數(shù)列{}的前2016項(xiàng)的和=+…+==﹣．故答案為：﹣．16.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過(guò)拋物線=4x的焦點(diǎn)F.且與該撇物線相交于A、B兩點(diǎn).其中點(diǎn)A在x軸上方。若直線l的傾斜角為60o.則△OAF的面積為

參考答案：17.在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前11項(xiàng)和S11等于

．參考答案：132

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試推導(dǎo)數(shù)列的前項(xiàng)和的表達(dá)式。參考答案：19.已知，，且直線與曲線相切．（1）若對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）（?。┊?dāng)時(shí)，求最大的正整數(shù)，使得任意個(gè)實(shí)數(shù)（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）都有成立；（ⅱ）求證：．參考答案：（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有．

（*），．

（**）

由（*）、（**）兩式，解得，．

1分由整理，得，，要使不等式恒成立，必須恒成立．

2分設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，，則是增函數(shù)，，是增函數(shù)，，．因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．

4分（2）當(dāng)時(shí)，，，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值，時(shí)不等式右邊取得最小值．，解得．因此，的最大值為．

8分（3）證明：當(dāng)時(shí)，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時(shí)，，即．令，得，

化簡(jiǎn)得，

．

13分20.如圖，在三棱錐P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．點(diǎn)E，F(xiàn)，O分別為線段PA，PB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線段CO的中點(diǎn)．（1）求證：FG∥平面EBO；（2）求證：PA⊥BE．參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）連AF交BE于Q，連QO．由線段長(zhǎng)度間的關(guān)系證明FG∥QO，進(jìn)而證得FG∥平面EBO．（2）先證明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA可得OE⊥PA，從而證得PA⊥平面EBO，即可證出結(jié)論.【詳解】（1）連AF交BE于Q，連QO．因?yàn)镋、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點(diǎn)，所以＝2．又Q是△PAB的重心．于是＝2＝，所以FG∥QO．因?yàn)镕G?平面EBO，QO?平面EBO，所以FG∥平面EBO．（2）由AB＝BC，得△ACB為等腰三角形，因?yàn)镺為邊AC的中點(diǎn)，所以BO⊥AC，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO?平面ABC，所以BO⊥面PAC．因?yàn)镻A?平面PAC，故BO⊥PA．在△PAC內(nèi)，O，E為所在邊的中點(diǎn)，故OE∥PC，且PA⊥PC，∴OE⊥PA，又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO，EB?平面EBO，所以PA⊥BE.【點(diǎn)睛】本題考查證明線線垂直，線面垂直，線面平行的判定定理，證明FG∥QO是線面平行的關(guān)鍵點(diǎn)，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）已知a>3且a≠，命題p：指數(shù)函數(shù)f(x)＝(2a－6)x在R上單調(diào)遞減，命題q：關(guān)于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的兩個(gè)實(shí)根均大于3.若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：若p真，則f(x)＝(2a－6)x在R上單調(diào)遞減，∴0＜2a－6＜1，∴3＜a＜.…3分若q真，令f(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，則應(yīng)滿足…………6分∴解得a＞，又a>3且a≠，∴a>3且a≠………………8分又由題意應(yīng)有p真q假或p假q真．………………9分ks5u①若p真q假，則a無(wú)解．②若p假q真，則a>，…………11分∴a>.…………12分22.已知函數(shù)，，且在點(diǎn)處的切線方程為.(Ⅰ）求的值；(Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

(Ⅲ）設(shè)為兩曲線，的交點(diǎn)，且兩曲線在交點(diǎn)處的切線分別為.若取，試判斷當(dāng)直線與軸圍成等腰三角形時(shí)值的個(gè)數(shù)并說(shuō)明理由.參考答案：解：(Ⅰ），∴，又，∴．

…………………3分(Ⅱ）；∴由得，∴或．

…………………5分∵，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)．

…………………6分若，即，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)，若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值點(diǎn)，綜上，的取值范圍是．

…………………8分(Ⅲ）當(dāng)時(shí)，設(shè)兩切線的傾斜角分別為，則，∵，∴均為銳角，

…………9分當(dāng)，即時(shí)，若直線能與軸圍成等腰三角形，