2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第八十六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

2021-2022學(xué)年黑龍江省哈爾濱市第八十六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過點(diǎn)P（﹣，﹣1）的直線l與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，] C．[0，] D．[0，]參考答案：D【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，根據(jù)直線和圓有交點(diǎn)、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得≤1，由此求得斜率k的范圍，可得傾斜角的范圍．【解答】解：由題意可得點(diǎn)P（﹣，﹣1）在圓x2+y2=1的外部，故要求的直線的斜率一定存在，設(shè)為k，則直線方程為y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根據(jù)直線和圓有交點(diǎn)、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直線l的傾斜角的取值范圍是[0，]，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查用點(diǎn)斜式求直線方程，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．2.若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

參考答案：D略3.根據(jù)下面的結(jié)構(gòu)圖，總經(jīng)理的直接下屬是(A)總工程師、專家辦公室和開發(fā)部

(B)開發(fā)部(C)總工程師和專家辦公室

(D)總工程師、專家辦公室和所有七個(gè)部參考答案：A4.直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B5.過三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)P，作PO⊥平面α，垂足為O，連PA、PB、PC，則下列命題①若PA=PB=PC，∠C=900，則O是ABC的邊AB的中點(diǎn)；②若PA=PB=PC，則O是三角形ABC的外心；③若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則O是三角形ABC的重心。正確命題是(

)A．①②③

B.①②

C.①③

D.②③參考答案：B6.圖2是判斷閏年的流程圖，以下年份是閏年的為（

）A.1995年

B.2000年

C.2100年

D.2005年參考答案：B略7.已知滿足,記目標(biāo)函數(shù)的最大值為，最小值為，則Ａ．1

Ｂ．2

C．7

D．8參考答案：D8.若直線l1：ax+y﹣1=0與l2：3x+（a+2）y+1=0平行，則a的值為（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣ D．1或﹣3參考答案：B【考點(diǎn)】II：直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】利用兩直線平行時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項(xiàng)之比，求出a的值．【解答】解：∵a=﹣2時(shí)，l1不平行l(wèi)2，∴l(xiāng)1∥l2?解得：a=1故選：B．9.用反證法證明“若x+y≤0則x≤0或y≤0”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）A．x＞0或y＞0B．x＞0且y＞0C．xy＞0D．x+y＜0參考答案：B【考點(diǎn)】反證法．【分析】熟記反證法的步驟，直接填空即可．反面有多種情況，需一一否定．【解答】解：用反證法證明“若x+y≤0則x≤0或y≤0”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)x＞0且y＞0．故選：B．10.若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（0，+∞）參考答案：C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】確定函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，即可得到f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）求導(dǎo)函數(shù)可得：f′（x）=2x﹣2﹣，令f′（x）＞0，可得2x﹣2﹣＞0，∴x2﹣x﹣2＞0，∴x＜﹣1或x＞2∵x＞0，∴x＞2∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)

，函數(shù)中的的一次項(xiàng)系數(shù)為10，中的的二次項(xiàng)系數(shù)的最小值是_________________參考答案：20略12.若數(shù)列{an}成等比數(shù)列，其公比為2，則=． 參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式． 【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列． 【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出． 【解答】解：∵數(shù)列{an}成等比數(shù)列，其公比為2， 則===， 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和，若不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12對(duì)任何等差數(shù)列{an}及任何正整數(shù)n恒成立，則λ的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由于不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12對(duì)任何等差數(shù)列{an}及任何正整數(shù)n恒成立，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得+，當(dāng)a1≠0時(shí)，化為λ≤，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【解答】解：∵不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12對(duì)任何等差數(shù)列{an}及任何正整數(shù)n恒成立，，∴+，當(dāng)a1≠0時(shí)，化為+1=，當(dāng)=﹣時(shí)，上式等號(hào)成立．∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．14.正三棱柱ABC-A1B1C1（底面是正三角形，側(cè)棱垂直底面）的各條棱長均相等，D為AA1的中點(diǎn)．M、N分別是BB1、CC1上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足．當(dāng)M、N運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論中正確的是______(填上所有正確命題的序號(hào))．①平面平面；②三棱錐的體積為定值；③△DMN可能為直角三角形；④平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為．參考答案：①②④【分析】由，得到線段一定過正方形的中心，由平面，可得平面平面；由的面積不變，到平面的距離不變，可得三棱錐的體積為定值；利用反證法思想說明不可能為直角三角形；平面與平面平行時(shí)所成角為0，當(dāng)與重合，與重合，平面與平面所成的銳二面角最大.【詳解】如圖：當(dāng)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足，則線段一定過正方形的中心，而平面，平面，可得平面平面，故①正確；當(dāng)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)作邊上的高的長等于的長，所以的面積不變，由于平面，故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，則點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值；所以②正確；由可得:,若為直角三角形，則一定是以為直角的直角三角形，但的最大值為，而此時(shí)，的長都大于，故不可能為直角三角形，所以③不正確；當(dāng)、分別是、的中點(diǎn)，平面與平面平行，所成角為0；當(dāng)與重合，與重合，平面與平面所成銳二面角最大；延長角于，連接，則平面平面，由于為的中點(diǎn)，，所以，且，故在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，故，由于平面，所以平面，則，，所以平面與平面所成銳二面角最大為，故④正確；故答案為①②④【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生空間想象能力和思維能力，屬于中檔題.15.已知雙曲線：的離心率，且它的一個(gè)頂點(diǎn)到較近焦點(diǎn)的距離為，則雙曲線的方程為

．參考答案：略16.在數(shù)列中，，，則該數(shù)列的前2014項(xiàng)的和是

．參考答案：704917.已知等差數(shù)列{an}滿足a2=3，S4=14，若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和Sn=，則n=

．參考答案：2014【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式可得an，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a2=3，S4=14，∴，解得a1=2，d=1．∴an=2+（n﹣1）=n+1．∴==．∴Sn=++…+=，∴Sn==，解得n=2014．故答案為：2014．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知矩形的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn),邊所在直線的方程為，點(diǎn)在邊所在直線上。（1）求邊所在直線的方程；（2）求矩形外接圓方程。參考答案：解：（1）因?yàn)檫吽谥本€的方程為，且與垂直，

所以直線的斜率為，

又因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以邊所在直線的方程為即-----------------------------------------------------------------------5分（1）

由

解得點(diǎn)的坐標(biāo)為

因?yàn)榫匦蝺蓷l對(duì)角線相交于點(diǎn)，所以為矩形外接圓的圓心，又從而矩形外接圓方程為---------------------------------------10分19.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）當(dāng)時(shí)，若存在實(shí)數(shù)使得不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（I）由題意得，，∴，①當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)無極值；

②當(dāng)時(shí)，令，則；令，則；∴在上遞減，在上遞增；

∴有極小值，無極大值；

（II）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上遞減，在上遞增，且有極小值.

①當(dāng)時(shí)，，∴，此時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，，使得不等式恒成立；②當(dāng)時(shí)，，在處的切線方程為，令，，則，，令，，則，令，則；令，則；∴，∴，∴，

當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，∴符合題意.

由①，②得實(shí)數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù)，，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：，恒成立.參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【分析】（1）可求得，分別在、、、四種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為：，令，，利用導(dǎo)數(shù)求得和，可證得，從而證得結(jié)論.【詳解】（1），①當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減②當(dāng)時(shí)，和時(shí)，；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減③當(dāng)時(shí)，在上恒成立在上單調(diào)遞增④當(dāng)時(shí)，和時(shí)，；時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）對(duì)，恒成立即為：，等價(jià)于：令，則時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增令，則時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上可得：，即在上恒成立對(duì)，恒成立【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題的求解.解決本題中的恒成立問題的關(guān)鍵是能夠?qū)⑺C不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)之間最值的比較，通過最小值與最大值的大小關(guān)系得到結(jié)論.21.（本小題滿分12分）

已知四棱錐底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分別是線段AB．BC的中點(diǎn)，（1）證明：PF⊥FD；（2）在PA上找一點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD；．（3）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．參考答案：解：（1）證明：連接AF，則AF＝，DF＝，又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，……………4分

（2）過點(diǎn)E作EH∥FD交AD于點(diǎn)H，則EH∥平面PFD且AH＝AD．再過點(diǎn)H作HG∥DP交PA于點(diǎn)G，則HG∥平面PFD且AG＝AP，∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．從而滿足AG＝AP的點(diǎn)G為所求．………………8分

⑶建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以是與平面所成的角．又有已知得，所以，所以．設(shè)平面的法向量為，由得，令，解得：．所以．又因?yàn)?，所以是平面的法向量，易得，所以．由圖知，所求二面角的余弦值為．……12分22.(本小題滿