2021-2022年高中數(shù)學(xué)第四章圓的方程1.2圓的一般方程4作業(yè)含解析新人教版必修2202202261103

PAGEPAGE6圓的一般方程A組基礎(chǔ)鞏固1．圓的方程為(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，則圓心坐標(biāo)為()A．(1，－1)B．(eq\f(1,2)，－1)C．(－1,2)D．(－eq\f(1,2)，－1)解析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x＋eq\f(1,2))2＋(y＋1)2＝eq\f(45,4)，所以圓心為(－eq\f(1,2)，－1)．答案：D 2．設(shè)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點(diǎn)，PA是圓的切線且|PA|＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程是()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2xD．y2＝－2x解析：由題意知，圓心(1,0)到P點(diǎn)的距離為eq\r(2)，所以點(diǎn)P在以(1,0)為圓心，以eq\r(2)為半徑的圓上，所以點(diǎn)P的軌跡方程是(x－1)2＋y2＝2.答案：B3．過坐標(biāo)原點(diǎn)，且在x軸和y軸上的截距分別是2和3的圓的方程為()A．x2＋y2－2x－3y＝0B．x2＋y2＋2x－3y＝0C．x2＋y2－2x＋3y＝0D．x2＋y2＋2x＋3y＝0解析：解法一(排除法)：由題意知，圓過三點(diǎn)O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，分別把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入四個選項，只有A完全符合，故選A.解法二(待定系數(shù)法)：設(shè)方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(F＝0，,2D＋F＝－4，,3E＋F＝－9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝－3，,F＝0，))故方程為x2＋y2－2x－3y＝0.解法三(幾何法)：由題意知，直線過三點(diǎn)O(0,0)，A(2,0)，B(0,3)，由弦AB所對的圓心角為90°，知線段AB為圓的直徑，即所求的圓是以AB中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))為圓心，eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(\r(13),2)為半徑的圓，其方程為(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))2，化為一般式得x2＋y2－2x－3y＝0.答案：A4．圓x2＋y2－4x－4y－10＝0上的點(diǎn)到直線x＋y－14＝0的最大距離與最小距離的差是()A．30B．18C．6eq\r(2)D．5eq\r(2)解析：圓心為(2,2)，則圓心到直線距離為d＝eq\f(|2＋2－14|,\r(2))＝5eq\r(2)，R＝3eq\r(2).∴圓上點(diǎn)到直線的距離最大值為d＋R＝8eq\r(2)，最小值為d－R＝2eq\r(2).∴(d＋R)－(d－R)＝8eq\r(2)－2eq\r(2)＝6eq\r(2).答案：C5．若圓x2＋y2－2x－4y＝0的圓心到直線x－y＋a＝0的距離為eq\f(\r(2),2)，則a的值為()A．－2或2B.eq\f(1,2)或eq\f(3,2)C．2或0D．－2或0解析：由圓心(1,2)到直線的距離公式得eq\f(|1－2＋a|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)得a＝0或a＝2.故選C.答案：C6．已知兩定點(diǎn)A(－2,0)，B(1,0)，如果動點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PB|，則點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積等于()A．πB．4πC．8πD．9π解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，由|PA|＝2|PB|得(x＋2)2＋y2＝4(x－1)2＋4y2，即(x－2)2＋y2＝4.故點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積S＝4π.答案：B7．如果圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，且圓的面積為π，則圓心坐標(biāo)為__________．解析：本題考查圓的一般方程及其面積．因為圓x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0的面積為π，所以圓的半徑為1，即eq\f(1,2)eq\r(k2＋22－4k2)＝eq\f(1,2)eq\r(4－3k2)＝1，所以k＝0，所以圓的方程為x2＋y2＋2y＝0，得圓心坐標(biāo)為(0，－1)．答案：(0，－1)8．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l：x－y＋2＝0的對稱點(diǎn)都在圓C上，則a＝________解析：由題意可得圓C的圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))在直線x－y＋2＝0上，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))代入直線方程得－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋2＝0，解得a＝－2.答案：－29．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋eq\f(1,2)m2＝0所確定的圓中，最大面積是__________．解析：所給圓的半徑長為r＝eq\f(\r(1＋m－12－2m2),2)＝eq\f(1,2)eq\r(－m＋12＋3).所以當(dāng)m＝－1時，半徑r取最大值eq\f(\r(3),2)，此時最大面積是eq\f(3π,4).答案：eq\f(3π,4)10．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑長為eq\r(2)，求圓的一般方程．解析：圓心C(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，∵圓心在直線x＋y－1＝0上，∴－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2.①又∵半徑長r＝eq\f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq\r(2)，∴D2＋E2＝20.②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又∵圓心在第二象限，∴－eq\f(D,2)＜0即D＞0.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4.))故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.B組能力提升11．若圓x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上的所有點(diǎn)都在第二象限，則a的取值范圍為A．(－∞，2)B．(－∞，－1)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：本題考查圓的性質(zhì)．由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圓心坐標(biāo)為(－a,2a)，半徑為2，由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＜0,2a＞0,|－a|＞2,|2a|＞2))，解得a＞2，故選D.答案：D12．若圓x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有相異的兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線kx＋2y－4＝0對稱，則直線PQ的斜率kPQ＝__________.解析：本題考查圓的對稱性及兩垂直直線的斜率的關(guān)系．由題意知圓心(－1,3)在直線kx＋2y－4＝0上，所以k＝2，即直線kx＋2y－4＝0的斜率為－eq\f(k,2)＝－1，又直線PQ與直線kx＋2y－4＝0垂直，所以kPQ＝1.答案：113．已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,6)，端點(diǎn)A在圓C：(x＋1)2＋y2＝4上運(yùn)動，求線段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么？解析：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，y0)，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,6)，且P為AB的中點(diǎn)，所以x＝eq\f(x0＋8,2)，y＝eq\f(y0＋6,2).于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.∵點(diǎn)A在圓C上運(yùn)動，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程：(x＋1)2＋y2＝4，即(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0)＝4.∴(2x－8＋1)＋(2y－6)2＝4，整理得，(x－eq\f(7,2))2＋(y－3)2＝1.∴點(diǎn)P的軌跡是以(eq\f(7,2)，3)為圓心，1為半徑的圓．14．已知以點(diǎn)C(t，eq\f(2,t))(t∈R，t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為原點(diǎn)．求證：△OAB的面積為定值．解析：由于圓C過原點(diǎn)，故可設(shè)圓C的方程為x2＋y2＋D