2021-2022年高中數(shù)學(xué)第四章圓的方程3.1空間直角坐標(biāo)系1教案新人教版必修2202202262129

PAGEPAGE9空間直角坐標(biāo)系一、教材分析學(xué)生已經(jīng)對(duì)立體幾何以及平面直角坐標(biāo)系的相關(guān)知識(shí)有了較為全面的認(rèn)識(shí),學(xué)習(xí)《空間直角坐標(biāo)系》有了一定的基礎(chǔ).這對(duì)于本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)是很有幫助的.但部分同學(xué)仍然會(huì)在空間思維與數(shù)形結(jié)合方面存在困惑.本節(jié)課的內(nèi)容是非常抽象的,試圖通過教師的講解而讓學(xué)生聽懂、記住、會(huì)用是徒勞的,必須突出學(xué)生的主體地位,通過學(xué)生的自主學(xué)習(xí)與和同學(xué)的合作探究,讓學(xué)生親手實(shí)踐,這樣學(xué)生才能獲得感性認(rèn)識(shí),從而為后續(xù)的學(xué)習(xí)并上升到理性認(rèn)識(shí)奠定基礎(chǔ).通過激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的求知欲望,使學(xué)生主動(dòng)參與教學(xué)實(shí)踐活動(dòng).創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境,營造氛圍,精心設(shè)計(jì)問題,讓學(xué)生在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常有自我展示的機(jī)會(huì),并有經(jīng)常性的成功體驗(yàn),增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心,從學(xué)生已有的知識(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程.通過閱讀教材,并結(jié)合空間坐標(biāo)系模型,模仿例題,解決實(shí)際問題.二、教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能（1）使學(xué)生深刻感受到空間直角坐標(biāo)系的建立的背景（2）使學(xué)生理解掌握空間中點(diǎn)的坐標(biāo)表示2．過程與方法建立空間直角坐標(biāo)系的方法與空間點(diǎn)的坐標(biāo)表示3．情態(tài)與價(jià)值觀通過數(shù)軸與數(shù)、平面直角坐標(biāo)系與一對(duì)有序?qū)崝?shù)，引申出建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，培養(yǎng)學(xué)生類比和數(shù)列結(jié)合的思想.三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：在空間直角坐標(biāo)系中確定點(diǎn)的坐標(biāo).教學(xué)難點(diǎn)：通過建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系確定空間點(diǎn)的坐標(biāo),以及相關(guān)應(yīng)用.四、課時(shí)安排1課時(shí)五、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）導(dǎo)入新課思路1.大家先來思考這樣一個(gè)問題,天上的飛機(jī)的速度非常的快,即使民航飛機(jī)速度也非?？?有很多飛機(jī)時(shí)速都在1000km以上,而全世界又這么多,這些飛機(jī)在空中風(fēng)馳電掣,速度是如此的快,豈不是很容易撞機(jī)嗎？但事實(shí)上,飛機(jī)的失事率是極低的,比火車,汽車要低得多,原因是,飛機(jī)都是沿著國際統(tǒng)一劃定的航線飛行,而在劃定某條航線時(shí),不僅要指出航線在地面上的經(jīng)度和緯度,還要指出航線距離地面的高度.為此我們學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系,教師板書課題:空間直角坐標(biāo)系.思路2.我們知道數(shù)軸上的任意一點(diǎn)M都可用對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)x表示,建立了平面直角坐標(biāo)系后,平面上任意一點(diǎn)M都可用對(duì)應(yīng)一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y)表示.那么假設(shè)我們建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系時(shí),空間中的任意一點(diǎn)是否可用對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)表示出來呢？為此我們學(xué)習(xí)空間直角坐標(biāo)系,教師板書課題:空間直角坐標(biāo)系.（二）推進(jìn)新課、新知探究、提出問題①在初中,我們學(xué)過數(shù)軸,那么什么是數(shù)軸?決定數(shù)軸的因素有哪些?數(shù)軸上的點(diǎn)怎樣表示?②在初中,我們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系,那么如何建立平面直角坐標(biāo)系?決定平面直角坐標(biāo)系的因素有哪些?平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)怎樣表示?③在空間,我們是否可以建立一個(gè)坐標(biāo)系,使空間中的任意一點(diǎn)都可用對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組表示出來呢？④觀察圖1,體會(huì)空間直角坐標(biāo)系該如何建立.⑤觀察圖2,建立了空間直角坐標(biāo)系以后,空間中任意一點(diǎn)M如何用坐標(biāo)表示呢？討論結(jié)果：①在初中,我們學(xué)過數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線.決定數(shù)軸的因素有原點(diǎn)、正方向和單位長度.這是數(shù)軸的三要素.數(shù)軸上的點(diǎn)可用與這個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)x來表示.②在初中,我們學(xué)過平面直角坐標(biāo)系,平面直角坐標(biāo)系是以一點(diǎn)為原點(diǎn)O,過原點(diǎn)O分別作兩條互相垂直的數(shù)軸Ox和Oy,xOy稱平面直角坐標(biāo)系,平面直角坐標(biāo)系具有以下特征：兩條數(shù)軸：①互相垂直;②原點(diǎn)重合;③通常取向右、向上為正方向;④單位長度一般取相同的.平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)用它對(duì)應(yīng)的橫、縱坐標(biāo)表示,括號(hào)里橫坐標(biāo)寫在縱坐標(biāo)的前面,它們是一對(duì)有序?qū)崝?shù)(x,y).③在空間,我們也可以類比平面直角坐標(biāo)系建立一個(gè)坐標(biāo)系,即空間直角坐標(biāo)系,空間中的任意一點(diǎn)也可用對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組表示出來.④觀察圖2,OABC—D′A′B′C′是單位正方體,我們類比平面直角坐標(biāo)系的建立來建立一個(gè)坐標(biāo)系即空間直角坐標(biāo)系,以O(shè)為原點(diǎn),分別以射線OA,OC,OD′的方向?yàn)檎较?以線段OA,OC,OD′的長為單位長度,建立三條數(shù)軸Ox,Oy,Oz稱為x軸、y軸和z軸,這時(shí)我們說建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O—xyz,其中O叫坐標(biāo)原點(diǎn),x軸、y軸和z軸叫坐標(biāo)軸.如果我們把通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,我們又得到三個(gè)坐標(biāo)平面xOy平面,yOz平面,zOx平面.由此我們知道,確定空間直角坐標(biāo)系必須有三個(gè)要素,即原點(diǎn)、坐標(biāo)軸方向、單位長.圖1圖1表示的空間直角坐標(biāo)系也可以用右手來確定.用右手握住z軸,當(dāng)右手的四個(gè)手指從x軸正向以90°的角度轉(zhuǎn)向y軸的正向時(shí),大拇指的指向就是z軸的正向.我們稱這種坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.如無特別說明,我們課本上建立的坐標(biāo)系都是右手直角坐標(biāo)系.注意:在平面上畫空間直角坐標(biāo)系O—xyz時(shí),一般使∠xOy=135°,∠xOy=90°.即用斜二測畫法畫立體圖,這里顯然要注意在y軸和z軸上的都取原來的長度,而在x軸上的長度取原來長度的一半.同學(xué)們往往把在x軸上的長度取原來的長度,這就不符和斜二測畫法的約定,直觀性差.⑤觀察圖2,建立了空間直角坐標(biāo)系以后,空間中任意一點(diǎn)M就可以用坐標(biāo)來表示了.已知M為空間一點(diǎn).過點(diǎn)M作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸,它們與x軸、y軸和z軸的交點(diǎn)分別為P、Q、R,這三點(diǎn)在x軸、y軸和z軸上的坐標(biāo)分別為x,y,z.于是空間的一點(diǎn)M就唯一確定了一個(gè)有序數(shù)組x,y,z.這組數(shù)x,y,z就叫做點(diǎn)M的坐標(biāo),并依次稱x,y,z為點(diǎn)M的橫坐標(biāo).縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).坐標(biāo)為x,y,z的點(diǎn)M通常記為M(x,y,z).圖2反過來,一個(gè)有序數(shù)組x,y,z,我們在x軸上取坐標(biāo)為x的點(diǎn)P,在y軸上取坐標(biāo)為y的點(diǎn)Q,在z軸上取坐標(biāo)為z的點(diǎn)R,然后通過P、Q與R分別作x軸、y軸和z軸的垂直平面.這三個(gè)垂直平面的交點(diǎn)M即為以有序數(shù)組x,y,z為坐標(biāo)的點(diǎn).數(shù)x,y,z就叫做點(diǎn)M的坐標(biāo),并依次稱x,y和z為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo).(如圖2所示)坐標(biāo)為x,y,z的點(diǎn)M通常記為M(x,y,z).我們通過這樣的方法在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)建立了空間的點(diǎn)M和有序數(shù)組x,y,z之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.注意：坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn),其坐標(biāo)各有一定的特征.如果點(diǎn)M在yOz平面上,則x=0；同樣,zOx面上的點(diǎn),y=0；xOy面上的點(diǎn),z=0；如果點(diǎn)M在x軸上,則y=z=0；如果點(diǎn)M在y軸上,則x=z=0；如果點(diǎn)M在z軸上,則x=y=0；如果M是原點(diǎn),則x=y=z=0.空間點(diǎn)的位置可以由空間直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)唯一確定,因此,常稱我們生活的空間為“三度空間或三維空間”.事實(shí)上,我們的生活空間應(yīng)該是四度空間,應(yīng)加上時(shí)間變量t.即(x,y,z,t),它表示在時(shí)刻t所處的空間位置是(x,y,z).（三）應(yīng)用示例思路1例1如圖3,長方體OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4,|OD′|=2,寫出D′,C,A′,B′四點(diǎn)的坐標(biāo).圖3活動(dòng)：學(xué)生閱讀題目,對(duì)照剛學(xué)的知識(shí),先思考,再討論交流,教師適時(shí)指導(dǎo),要寫出點(diǎn)的坐標(biāo),首先要確定點(diǎn)的位置,再根據(jù)各自坐標(biāo)的含義和特點(diǎn)寫出.D′在z軸上,因此它的橫縱坐標(biāo)都為0,C在y軸上,因此它的橫豎坐標(biāo)都為0,A′為在zOx面上的點(diǎn),y=0；B′不在坐標(biāo)面上,三個(gè)坐標(biāo)都要求.解:D′在z軸上,而|OD′|=2,因此它的豎坐標(biāo)為2,橫縱坐標(biāo)都為0,因此D′的坐標(biāo)是(0,0,2).同理C的坐標(biāo)為(0,4,0).A′在xOz平面上,縱坐標(biāo)為0,A′的橫坐標(biāo)就是|OA|=3,A′的豎坐標(biāo)就是|OD′|=2,所以A′的坐標(biāo)就是(3,0,2).點(diǎn)B′在xOy平面上的射影是點(diǎn)B,因此它的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y同點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y相同,在xOy平面上,點(diǎn)B的橫坐標(biāo)x=3,縱坐標(biāo)y=4;點(diǎn)B′在z軸上的射影是點(diǎn)D′,它的豎坐標(biāo)與D′的豎坐標(biāo)相同,點(diǎn)D′的豎坐標(biāo)z=2,所以點(diǎn)B′的坐標(biāo)是(3,4,2).點(diǎn)評(píng):能準(zhǔn)確地確定空間任意一點(diǎn)的直角坐標(biāo)是利用空間直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ),一定掌握如下方法,過點(diǎn)M作三個(gè)平面分別垂直于x軸、y軸和z軸,確定x,y和z,同時(shí)掌握一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)的表示特征.例2講解課本例2.活動(dòng)：學(xué)生閱讀,思考與例1的不同,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法,圖中沒有坐標(biāo)系,這就給我們解題帶來了難度,同時(shí)也給我們的思維提供了空間,如何建立空間直角坐標(biāo)系才能使問題變得更簡單?一般來說,以特殊點(diǎn)為原點(diǎn),我們所求的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或在坐標(biāo)平面上的多為基本原則建立空間直角坐標(biāo)系,這里我們以上底面為xOy平面,其他不變,來看這15個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).解:把圖中的鈉原子分成上、中、下三層,下層的鈉原子全部在xOy平面上,因此其豎坐標(biāo)全部是0,所以這五個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(,,0);中層的鈉原子全部在與xOy平行的平面上,與z軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)是,所以這四個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(,0,)、(1,,)、(,1,)、(0,,);上層的鈉原子全部在與xOy平行的平面上,與z軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)是1,所以這五個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)、(0,1,1)、(,,1).思考：如果把原點(diǎn)取在中間的點(diǎn)(上述兩點(diǎn)的中點(diǎn)氯原子)上,以中層面作為xOy平面,結(jié)果會(huì)怎樣呢？解:把圖中的鈉原子分成上、中、下三層,中層的鈉原子全部在xOy平面上,因此其豎坐標(biāo)全部是0,所以這四個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(,0,0)、(1,,0)、(,1,0)、(0,,0);上層的鈉原子全部在與xOy平行的平面上,與軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)是,所以這五個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(0,0,)、(0,1,)、(1,0,)、(1,1,)、(,,);下層的鈉原子全部在與xOy平行的平面上,與軸交點(diǎn)的豎坐標(biāo)是-,所以這五個(gè)鈉原子所在位置的坐標(biāo)分別為(0,0,-)、(1,0,-)、(1,1,-)、(0,1,-)、(,,-).點(diǎn)評(píng):建立坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵,坐標(biāo)系建立的不同,點(diǎn)的坐標(biāo)也不同,但點(diǎn)的相對(duì)位置是不變的,坐標(biāo)系的不同也會(huì)引起解題過程的難易程度不同.因此解題時(shí)要慎重建立空間直角坐標(biāo)系.思路2例1如圖4,已知點(diǎn)P′在x軸正半軸上,|OP′|=2,PP′在xOz平面上,且垂直于x軸,|PP′|=1,求點(diǎn)P′和P的坐標(biāo).圖4解:顯然,P′在x軸上,它的坐標(biāo)為(2,0,0).若點(diǎn)P在xOy平面上方,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0,1).若點(diǎn)P在xOy平面下方,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0,-1).點(diǎn)評(píng):注意點(diǎn)P有兩種可能的位置情況,不要漏解.例2如圖5,在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,F分別是BB1和D1B1圖5解:方法一:從圖中可以看出E點(diǎn)在xOy平面上的射影為B,而B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,0),E點(diǎn)的豎坐標(biāo)為,所以E點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1,);F點(diǎn)在xOy平面上的射影為G,而G點(diǎn)的坐標(biāo)為(,,0),F點(diǎn)的豎坐標(biāo)為1,所以F點(diǎn)的坐標(biāo)為(,,1).方法二:從圖中條件可以得到B1(1,1,1),D1(0,0,1),B(1,1,0).E為BB1的中點(diǎn),F為D1B1的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得E點(diǎn)的坐標(biāo)為()=(1,1,),F點(diǎn)的坐標(biāo)為()=(,,1).點(diǎn)評(píng):(1)平面上的中點(diǎn)坐標(biāo)公式可以推廣到空間,即設(shè)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則AB的中點(diǎn)P(,,);(2)熟記坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)和坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示的特征.變式訓(xùn)練1.在上題中求B1(1,1,1)點(diǎn)關(guān)于平面xoy對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).解:設(shè)所求的點(diǎn)為B0(x0,y0,z0),由于B為B0B1的中點(diǎn),所以解之,得.所以B0(1,1,-1).2.在上題中求B1(1,1,1)點(diǎn)關(guān)于z軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).解:設(shè)所求的點(diǎn)為P(x0,y0,z0),由于D1為PB1的中點(diǎn),因?yàn)镈1(0,0,1),所以解之,得所以P(-1,-1,1).3.在上題中求B1(1,1,1)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)D對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).解:設(shè)所求的點(diǎn)為M(x0,y0,z0),由于D為MB1的中點(diǎn),因?yàn)镈(0,0,0),所以.解之,得所以M(-1,-1,-1).（四）知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí)1、2、3.（五）拓展提升1.在空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于①坐標(biāo)原點(diǎn);②橫軸(x軸);③縱軸(y軸);④豎軸(z軸);⑤xOy坐標(biāo)平面;⑥yOz坐標(biāo)平面;⑦zOx坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么?解:根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的點(diǎn)的對(duì)稱方法結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知:點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P1(-x,-y,-z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)為P2(x,-y,-z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱點(diǎn)為P3(-x,y,-z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱點(diǎn)為P4(-x,-y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P5(x,y,-z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P6(-x,y,z);點(diǎn)P(x,y,z)關(guān)于zOx坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P7(x,-y,z).點(diǎn)評(píng):其中記憶的方法為:關(guān)于誰誰不變,其余的相反.如關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn),橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù);關(guān)于xOy坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn),橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變,豎坐標(biāo)相反.變式訓(xùn)練在空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P(a,b,c),有下列敘述:①點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)是P1(a,-b,c);②點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)為P2(a,-b,-c);③點(diǎn)P(a,b,c)關(guān)于縱軸(