第三講函數(shù)的極限無(wú)窮小與無(wú)窮大

高等數(shù)學(xué)Ⅰ

函數(shù)的極限無(wú)窮小與無(wú)窮大

2023/2/4函數(shù)與極限2/42幾何解釋:復(fù)習(xí)：2023/2/4函數(shù)與極限3/42

第一章二、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié)自變量變化過(guò)程的六種形式:一、自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容:函數(shù)的極限2023/2/4函數(shù)與極限4/42播放一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/2/4函數(shù)與極限5/42通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.2023/2/4函數(shù)與極限6/422023/2/4函數(shù)與極限7/422.另兩種情形:2023/2/4函數(shù)與極限8/423.幾何解釋:2023/2/4函數(shù)與極限9/42例1證2023/2/4函數(shù)與極限10/42二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限2023/2/4函數(shù)與極限11/422023/2/4函數(shù)與極限12/422.幾何解釋:注意：2023/2/4函數(shù)與極限13/42例2證例3證2023/2/4函數(shù)與極限14/42例4證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.2023/2/4函數(shù)與極限15/42例5證2023/2/4函數(shù)與極限16/42例6證2023/2/4函數(shù)與極限17/423.單側(cè)極限:例如,2023/2/4函數(shù)與極限18/42左極限右極限2023/2/4函數(shù)與極限19/42左右極限存在但不相等,例7證2023/2/4函數(shù)與極限20/42三、函數(shù)極限的性質(zhì)2.函數(shù)極限的局部有界性1.唯一性2023/2/4函數(shù)與極限21/42推論

3.函數(shù)極限的局部保號(hào)性2023/2/4函數(shù)與極限22/425.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定理推論4.保序性定理2023/2/4函數(shù)與極限23/42證2023/2/4函數(shù)與極限24/42例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.2023/2/4函數(shù)與極限25/42例8證2023/2/4函數(shù)與極限26/42二者不相等,2023/2/4函數(shù)與極限27/42

第一章二、無(wú)窮大三、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系一、無(wú)窮小第四節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大2023/2/4函數(shù)與極限28/42四、無(wú)窮小1.定義:極限為零的變量稱為無(wú)窮小.2023/2/4函數(shù)與極限29/42例如注意1.無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)；3.無(wú)窮小必須與一極限過(guò)程聯(lián)系起來(lái).2023/2/4函數(shù)與極限30/422.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性2023/2/4函數(shù)與極限31/42意義1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);2023/2/4函數(shù)與極限32/42五、無(wú)窮大2023/2/4函數(shù)與極限33/42特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大．注意1.無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.2023/2/4函數(shù)與極限34/42不是無(wú)窮大．無(wú)界，2023/2/4函數(shù)與極限35/42證2023/2/4函數(shù)與極限36/42六、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理2在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;

恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.證2023/2/4函數(shù)與極限37/42意義

關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.2023/2/4函數(shù)與極限38/42七、主要內(nèi)容1、函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見下表)2023/2/4函數(shù)與極限39/42過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后2023/2/4函數(shù)與極限40/423、無(wú)窮小與無(wú)窮大主要內(nèi)容:兩個(gè)定義;兩個(gè)定理;4、幾點(diǎn)注意:

（1）無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.（2）無(wú)窮小（大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（3）無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.2、函數(shù)極限的性質(zhì)四個(gè)定理;2023/2/4函數(shù)與極限41/42思考題2023/2/4函數(shù)與極限42/42思考題解答

答不能保證.例有2023/2/4函數(shù)與極限43/42作業(yè)

活頁(yè)P(yáng)84；5活頁(yè)P(yáng)93；42023/2/4函數(shù)與極限44/42一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/2/4函數(shù)與極限45/42一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/2/4函數(shù)與極限46/42一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2023/2/4函數(shù)與極限47/42一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)