高中數(shù)學(xué) 基本不等式 新人教A必修5

3.4基本不等式（一）.

欣賞體會(huì)豐富自我2002年國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)這是在北京召開(kāi)的第２４屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)．會(huì)標(biāo)根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)。顏色的明暗使它看上去象一個(gè)風(fēng)車，代表中國(guó)人民熱情好客。.國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（簡(jiǎn)稱ICM）是國(guó)際數(shù)學(xué)界四年一度的大集會(huì).首次會(huì)議于1897年在瑞士蘇黎世舉行.每次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的開(kāi)幕式上，由國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)領(lǐng)導(dǎo)人宣布該屆菲爾茲獎(jiǎng)獲獎(jiǎng)?wù)呙麊?，頒發(fā)金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)潞酮?jiǎng)金，并由他人分別在大會(huì)上報(bào)告獲獎(jiǎng)?wù)叩墓ぷ鳌?/p>

欣賞體會(huì)豐富自我.

數(shù)學(xué)家的最高榮譽(yù)──菲爾茲獎(jiǎng)獎(jiǎng)?wù)抡媸前⒒椎骂^像,并用拉丁文寫(xiě)有：“超越人類極限，做宇宙主人”的格言獎(jiǎng)?wù)碌谋趁嬗美∥膶?xiě)著“全世界的數(shù)學(xué)家們：為知識(shí)作出新的貢獻(xiàn)而自豪”

欣賞體會(huì)豐富自我.從1983年召開(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)開(kāi)始，同時(shí)頒發(fā)獎(jiǎng)勵(lì)信息科學(xué)方面的奈望林納獎(jiǎng)。

1998年在德國(guó)柏林舉行的第23屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，國(guó)際數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)決定設(shè)置高斯獎(jiǎng)這一獎(jiǎng)項(xiàng)。

欣賞體會(huì)豐富自我.高斯獎(jiǎng)獎(jiǎng)?wù)?/p>

欣賞體會(huì)豐富自我.陳省身獎(jiǎng)將于2010年在印度舉行的27屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上首次頒發(fā)?！瓣愂∩愍?jiǎng)”是國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟第一個(gè)以華人命名的數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)。

欣賞體會(huì)豐富自我.

數(shù)學(xué)是思維的體操

abRt△的面積和是S’=＿＿如圖,正方形ABCD的面積為S=________，趙爽弦圖易知，s≥s’,即等號(hào)何時(shí)成立？.ADBCEFGHba一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。ACBE(FGH)abD會(huì)得到什么？

數(shù)學(xué)是思維的體操

.當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立?；静坏仁剑鹤⒁猓簝蓚€(gè)不等式的適用范圍不同,而等號(hào)成立的條件相同.幾何平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)

數(shù)學(xué)是思維的體操

.ABCDE如圖,AB是圓的直徑，C是AB上任一點(diǎn)，AC=a,CB=b,過(guò)點(diǎn)C作垂直于AB的弦DE，連AD,BD,則CD=＿＿,半徑為＿＿你能用這個(gè)圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?

數(shù)學(xué)是思維的體操

.剖析公式應(yīng)用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).⑴a、b是兩個(gè)正數(shù).⑵當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)“＝”號(hào)成立’2。正用、逆用，注意成立的條件3。變形用1.基本不等式可以敘述為:

深入探究揭示本質(zhì).例1、（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100m2的矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大。最大面積是多少？

學(xué)以致用.1.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M為定值，則

ab≤

2.兩個(gè)

正數(shù)的積為

定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a，b∈R＋，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥，

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.

反思探究例1

勤于總結(jié)敢于創(chuàng)新15等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)成立.

13.例2、某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方形無(wú)蓋貯水池，其容積為4800立方米，深為3米，如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？

學(xué)以致用.

鞏固練習(xí)

跳起來(lái)摘下豐收果x＞0,當(dāng)x取何值時(shí)，的值最小？最小值是多少？已知直角三角形的面積等于50，兩條直角邊各為多少時(shí),兩條直角邊的和最小，最小值是多少？用20cm長(zhǎng)的鐵絲折成一個(gè)面積最大的矩形，應(yīng)怎樣折？.

小結(jié)評(píng)價(jià)

你會(huì)了嗎？1。本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了基本不等式的證明與初步應(yīng)用。

巔峰回眸豁然開(kāi)朗2。注意公式的正用、逆用、變形使用。3。牢記公式特征“正”、“定”、“等”，它在求最值的題型中綻放絢麗的光彩。4。我們積累了知識(shí),于枯燥中見(jiàn)奇,于迷茫之中得豁朗。懂得靈活運(yùn)用公式樂(lè)在成功之中，就能領(lǐng)略到公式平靜的美。.3.4基本不等式（二）.例1.(1)已知并指出等號(hào)成立的條件.(2)已知與2的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.(3)已知能得到什么結(jié)論?請(qǐng)說(shuō)明理由.應(yīng)用一：利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系

學(xué)以致用.練習(xí)2：若，則（）（1）（2）（3）B練習(xí)1：設(shè)a>0，b>0，給出下列不等式其中成立的是

等號(hào)能成立的是

。（1）（2）（3）(4)

學(xué)以致用.應(yīng)用二：解決最大（?。┲祮?wèn)題

例2、已知都是正數(shù)，求證（1）如果積是定值P，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值（2）如果和是定值S，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值（1）一正：各項(xiàng)均為正數(shù)（2）二定：兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值。兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值。（3）三相等：求最值時(shí)一定要考慮不等式是否能取“＝”，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤小結(jié)：利用求最值時(shí)要注意：

學(xué)以致用.2、已知?jiǎng)txy的最大值是

。1、當(dāng)x>0時(shí)，的最小值為

，此時(shí)x=

。21

3、若實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（）A、10B、C、D、D

學(xué)以致用.4、在下列函數(shù)中，最小值為2的是（）

A、B、C、D、C

學(xué)以致用.例3、求函數(shù)的最小值構(gòu)造積為定值，利用基本不等式求最值思考：求函數(shù)的最小值

學(xué)以致用.例4、

已知：0＜x＜，求函數(shù)y=x（1-3x）的最大值利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值分析一、原函數(shù)式可化為：y=-3x2+x，分析二、挖掘隱含條件即x=時(shí)ymax=∵3x+1-3x=1為定值，且0＜x＜則1-3x＞0；∵0＜x＜，∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤

當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x

可用均值不等式法構(gòu)造和為定值，利用基本不等式求最值.變式一：已知：0＜x，求函數(shù)y=x（1-3x）的最大值解：∵0＜x≤∴1-3x＞0∴y=x（1-3x）=3x（1-3x）≤

如此解答行嗎？上題中只將條件改為0<x<1/8,即:

學(xué)以致用.(4)

學(xué)以致用.錯(cuò)題糾正：例5、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值錯(cuò)解:即的最小值為過(guò)程中兩次運(yùn)用了均值不等式中取“=”號(hào)過(guò)渡，而這兩次取“=”號(hào)的條件是不同的，故結(jié)果錯(cuò)。錯(cuò)因：

學(xué)以致用.已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值解:當(dāng)且僅當(dāng)即:時(shí)取“=”號(hào)即此時(shí)正確解答是:

學(xué)以致用.)(.34,0,0,0,0.2)(),(1.12222224442cbaabccacbbacbaacadbcbdbcaddcbabayxRyxybxaba++3++3++3+++>>>>+3+?=++證明：求證：已知求證：，是正數(shù)，且、已知應(yīng)用三利用基本不等式證明

學(xué)以致用.1、設(shè)且a+b=3,求２a＋２b的最小值___。

作業(yè)：（寫(xiě)出過(guò)程）3、若，則函數(shù)的最小值是____。2、求函數(shù)