數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

第5章數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

5.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法5.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)5.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)15.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法

數(shù)字濾波器是數(shù)字信號(hào)處理的一個(gè)重要組成部分。數(shù)字濾波實(shí)際上是一種運(yùn)算過(guò)程，其功能是將一組輸入的數(shù)字序列通過(guò)一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出的數(shù)字序列，因此它本身就是一臺(tái)數(shù)字式的處理設(shè)備。數(shù)字濾波器一般可用兩種方法實(shí)現(xiàn)：1)根據(jù)描述數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)模型或信號(hào)流圖，用數(shù)字硬件裝配成一臺(tái)專門的設(shè)備，構(gòu)成專用的信號(hào)處理機(jī)；2)直接利用通用計(jì)算機(jī)，將所需要的運(yùn)算編成程序讓計(jì)算機(jī)來(lái)執(zhí)行，即用軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器。2

數(shù)字濾波器是離散時(shí)間系統(tǒng)，所處理的信號(hào)是離散時(shí)間信號(hào)。一般時(shí)域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡(luò)可以用差分方程、單位抽樣響應(yīng)以及系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行描述。如果一個(gè)數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)表示為(5-1)則描述系統(tǒng)輸入、輸出關(guān)系的N階常系數(shù)差分方程為(5-2)3

對(duì)于同一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)H(z)，對(duì)輸入信號(hào)的處理可實(shí)現(xiàn)的算法有很多種，每一種算法對(duì)應(yīng)于一種不同的運(yùn)算結(jié)構(gòu)（網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)）。

對(duì)應(yīng)于每一種不同的運(yùn)算結(jié)構(gòu)，都可用三種基本的運(yùn)算單元來(lái)實(shí)現(xiàn)：1）乘法器；2）加法器；3）單位延時(shí)。例：

基本運(yùn)算單元常用兩種表示方法表示：1）方框圖法；2）信號(hào)流圖法。4圖5-1基本運(yùn)算的方框圖表示及信號(hào)流圖表示

方框圖表示法信號(hào)流圖表示法5輸入支路的信號(hào)值等于這一支路起點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)信號(hào)值乘以支路上的傳輸系數(shù)。如果支路上不標(biāo)傳輸系數(shù)值，則認(rèn)為其傳輸系數(shù)為1，而延遲支路則用延遲算子z-1表示，它表示單位延時(shí)。二階數(shù)字濾波器：信號(hào)流圖是一種有向圖，它用箭頭的有向線段來(lái)代表一條支路，箭頭的方向代表信號(hào)流動(dòng)的方向，有向線段上標(biāo)注出支路的傳輸值。源節(jié)點(diǎn)或輸入節(jié)點(diǎn)

阱節(jié)點(diǎn)或輸出節(jié)點(diǎn)

加法器

分支節(jié)點(diǎn)

●

65.2IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)

①單位抽樣響應(yīng)h(n)是無(wú)限長(zhǎng)的；②系統(tǒng)函數(shù)H(z)在有限z平面（）上有極點(diǎn);③結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋,即結(jié)構(gòu)上是遞歸型的.無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)濾波器有如下幾個(gè)特點(diǎn)：IIR濾波器的結(jié)構(gòu)分類：直接Ⅰ型直接Ⅱ型級(jí)聯(lián)型并聯(lián)型7一、直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)N階的IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)和常系數(shù)差分方程為系統(tǒng)的輸出y(n)由兩部分構(gòu)成：第一部分 是一個(gè)對(duì)輸入x(n)的M階延時(shí)鏈結(jié)構(gòu)，每階延時(shí)抽頭后加權(quán)相加，構(gòu)成一個(gè)橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)。第二部分 是一個(gè)對(duì)輸出y(n)的N階延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)，是由輸出到輸入的反饋網(wǎng)絡(luò)。由這兩部分相加構(gòu)成輸出y(n)，其結(jié)構(gòu)圖如圖5-4。8圖5-4實(shí)現(xiàn)N階差分方程的直接I型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)共（M+N）個(gè)延時(shí)單元9一個(gè)線性移不變系統(tǒng)，若交換其級(jí)聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)是不變的，即總的輸入輸出關(guān)系不改變。二、直接Ⅱ型（典范型、正準(zhǔn)型）結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)函數(shù)零點(diǎn)圖5-5直接I型的變型

10圖5-6直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)圖5-5中有兩條完全相同的對(duì)中間變量y2(n)進(jìn)行延遲的延時(shí)鏈,可以合并這兩條延時(shí)鏈,得到直接Ⅱ型結(jié)構(gòu).只需N個(gè)延時(shí)單元111）直接Ⅱ型比直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)延時(shí)單元少，用硬件實(shí)現(xiàn)可以節(jié)省寄存器，比直接Ⅰ型經(jīng)濟(jì)；若用軟件實(shí)現(xiàn)則可節(jié)省存儲(chǔ)單元。2）對(duì)于高階系統(tǒng)直接型結(jié)構(gòu)都存在調(diào)整零、極點(diǎn)困難，對(duì)系數(shù)量化效應(yīng)敏感度高等缺點(diǎn)。直接Ⅰ型與直接Ⅱ型的比較12三、級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)（※）

1．級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)極點(diǎn)零點(diǎn)實(shí)極點(diǎn)實(shí)零點(diǎn)復(fù)共軛零點(diǎn)復(fù)共軛極點(diǎn)M=M1+2M2N=N1+2N213（把共軛因子組合成實(shí)系數(shù)的二階因子）（將實(shí)系數(shù)的兩個(gè)一階因子組合成二階因子）二階基本節(jié)（用典范型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)）級(jí)聯(lián)的節(jié)數(shù)：當(dāng)M＝N時(shí)，共有節(jié)。表示取整.如果有奇數(shù)個(gè)實(shí)零點(diǎn)，則有一個(gè)系數(shù)等于零；如果有奇數(shù)個(gè)實(shí)極點(diǎn)，則有一個(gè)系數(shù)等于零。14H1(z)H2(z)圖5-7級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)的一階基本節(jié)和二階基本節(jié)結(jié)構(gòu)圖5-8級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)（M=N）15圖5-9六階IIR濾波器的級(jí)聯(lián)結(jié)構(gòu)2．級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)調(diào)整系數(shù)就能單獨(dú)調(diào)整濾波器的第k對(duì)零點(diǎn)，對(duì)其他零極點(diǎn)并無(wú)影響；同樣,調(diào)整系數(shù)也只單獨(dú)調(diào)整了第k對(duì)極點(diǎn)，而不影響其它零極點(diǎn)。因此，與直接型結(jié)構(gòu)相比，級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)便于準(zhǔn)確地實(shí)現(xiàn)濾波器零、極點(diǎn)，因而便于調(diào)整濾波器的頻率響應(yīng)性能。161．并聯(lián)型結(jié)構(gòu)(4-6)四、并聯(lián)型結(jié)構(gòu)（※）

把系統(tǒng)函數(shù)H(z)展開(kāi)成部分分式之和的形式，就可以得到IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)：實(shí)數(shù)共軛復(fù)數(shù)N=N1+2N2當(dāng)M<N時(shí)，當(dāng)M=N時(shí)，

一階系統(tǒng)二階系統(tǒng)延時(shí)加權(quán)單元17以M＝N時(shí)為例進(jìn)行研究，將共軛復(fù)根部分，成對(duì)地合并為二階實(shí)系數(shù)的部分分式，此時(shí)H(z)可表示為（將一階實(shí)極點(diǎn)組合成實(shí)系數(shù)二階多項(xiàng)式)

當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，包含有一個(gè)一階環(huán)節(jié)，即有一節(jié)的。

18圖5-10并聯(lián)結(jié)構(gòu)（M=N）

圖5-11并聯(lián)結(jié)構(gòu)的一階、二階基本節(jié)結(jié)構(gòu)

19圖5-12三階IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)20

并聯(lián)型結(jié)構(gòu)也可以用調(diào)整的辦法單獨(dú)調(diào)整一對(duì)極點(diǎn)的位置，但對(duì)于零點(diǎn)的調(diào)整卻不如級(jí)聯(lián)型方便，它不能單獨(dú)調(diào)整零點(diǎn)的位置，而且當(dāng)濾波器的階數(shù)較高時(shí)，部分分式展開(kāi)比較麻煩。

在運(yùn)算誤差方面，由于各基本網(wǎng)絡(luò)間的誤差互不影響，沒(méi)有誤差積累，因此比直接型和級(jí)聯(lián)型誤差稍小一點(diǎn)。當(dāng)要求有準(zhǔn)確的傳輸零點(diǎn)時(shí)，采用級(jí)聯(lián)型最合適。2．并聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)

21

轉(zhuǎn)置定理：如果將線性移不變網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向倒轉(zhuǎn)，且將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)不發(fā)生改變。五．轉(zhuǎn)置定理圖5-14將圖5-13畫成輸入在左，輸出在右的習(xí)慣形式圖5-13典范型結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)置

22有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)濾波器有如下幾個(gè)特點(diǎn)：1）單位抽樣響應(yīng)h(n)在有限個(gè)n值處不為零；2）系統(tǒng)函數(shù)H(z)在|z|>0處收斂，在|z|>0處只有零點(diǎn)，即有限z平面（）只有零點(diǎn)，而全部極點(diǎn)都在z=0處（因果系統(tǒng)）；3）結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒(méi)有輸出到輸入的反饋，但有些結(jié)構(gòu)中（例如頻率采樣結(jié)構(gòu)）也包含有反饋的遞歸部分。5.3FIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)

23FIR濾波器的結(jié)構(gòu)分類：橫截型結(jié)構(gòu)級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)頻率采樣型結(jié)構(gòu)快速卷積型結(jié)構(gòu)線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu)

設(shè)FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)為一個(gè)N點(diǎn)序列，則濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：它在z=0處有（N-1）階極點(diǎn)，有（N-1）個(gè)零點(diǎn)位于有限z平面的任何位置。（5-10）24(5-11)一．橫截型（卷積型、直接型）結(jié)構(gòu)（※）線性移不變系統(tǒng)的卷積和公式輸入x(n)的延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)圖5-15FIR濾波器的橫截型結(jié)構(gòu)圖5-16圖5-15的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)25二.級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)（※）

圖5-17FIR濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)（N為奇數(shù)）當(dāng)需要控制系統(tǒng)傳輸零點(diǎn)時(shí)，將傳遞函數(shù)H(z)分解成二階實(shí)系數(shù)因子的形式：對(duì)取整261）這種結(jié)構(gòu)的每一節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)，因而在需要控制傳輸零點(diǎn)時(shí)，可以采用它。比卷積型的系數(shù)h(n)要多，因而所需的乘法次數(shù)也比卷積型的要多。級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)：2）這種結(jié)構(gòu)所需要的系數(shù)27

由頻域采樣定理可知，對(duì)有限長(zhǎng)序列h(n)的z變換H(z)在單位圓上做N點(diǎn)的等間隔采樣，N個(gè)頻率采樣值的離散傅里葉反變換所對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)hN(n)是原序列h(n)以采樣點(diǎn)數(shù)N為周期進(jìn)行周期延拓后的主值序列，當(dāng)N大于等于原序列h(n)長(zhǎng)度M時(shí)hN(n)=h(n)，不會(huì)發(fā)生信號(hào)失真，此時(shí)H(z)可以用頻域采樣序列H(k)內(nèi)插得到，內(nèi)插公式如下：三.頻率采樣型結(jié)構(gòu)28H(z)可以重寫為

(5-14)H(z)級(jí)聯(lián)的第一部分Hc(z)：是一個(gè)FIR子系統(tǒng)，是由N階延時(shí)單元組成的梳狀濾波器，如圖5-18所示。i=0,1，2,…,N-1即Hc(z)在單位圓上有N個(gè)等間隔的零點(diǎn)，它的頻率響應(yīng)為

令29圖5-18梳狀濾波器結(jié)構(gòu)及頻率響應(yīng)幅度30H(z)級(jí)聯(lián)的第二部分：它是由N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)組成的并聯(lián)結(jié)構(gòu)，每個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)都是一個(gè)具有單極點(diǎn)的IIR子系統(tǒng)。令即每一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上都有一個(gè)極點(diǎn)，因此，H(z)的第二部分是一個(gè)有N個(gè)極點(diǎn)的諧振網(wǎng)絡(luò)。31H(z)級(jí)聯(lián)的第一部分零點(diǎn)：說(shuō)明：第二部分這些諧振器的N個(gè)極點(diǎn)正好與第一部分梳狀濾波器的N個(gè)零點(diǎn)相抵消，從而使H(z)在這些頻率上的響應(yīng)等于H(k)。把這兩部分級(jí)聯(lián)起來(lái)就可以構(gòu)成FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)，如圖5-19所示。

H(z)級(jí)聯(lián)的第二部分極點(diǎn)：32圖5-19FIR濾波器的頻率采樣型結(jié)構(gòu)

33

頻率采樣型結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)（1）頻率采樣型結(jié)構(gòu)的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在ω=2πk/N

處的響應(yīng)值，因此可以直接控制濾波器的響應(yīng)；（2）只要濾波器的階數(shù)N相同，對(duì)于任何頻響形狀，其梳狀濾波器部分的結(jié)構(gòu)完全相同，N個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)部分的結(jié)構(gòu)也完全相同，只是各支路的增益H(k)不同，因此頻率采樣型結(jié)構(gòu)便于標(biāo)準(zhǔn)化、模塊化。34

頻率采樣型結(jié)構(gòu)的缺點(diǎn)（1）頻率采樣型結(jié)構(gòu)中所有的系數(shù)H(k)和一般為復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)相乘運(yùn)算實(shí)現(xiàn)起來(lái)較麻煩；（2）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個(gè)零極點(diǎn)對(duì)消來(lái)保證的，如果濾波器的系數(shù)稍有誤差，極點(diǎn)就可能移到單位圓外，造成零極點(diǎn)不能完全對(duì)消，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。35

為了克服這兩個(gè)缺點(diǎn)，作兩點(diǎn)修正：1）將所有零點(diǎn)和極點(diǎn)移到半徑為r的圓上，r略小于1，同時(shí)頻率采樣點(diǎn)也移到該圓上，以解決系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這時(shí)362）共軛根合并，將一對(duì)復(fù)數(shù)一階子網(wǎng)絡(luò)合并成一個(gè)實(shí)系數(shù)的二階子網(wǎng)絡(luò)。這些共軛根在圓周上是對(duì)稱點(diǎn)即同樣，h(n)因是實(shí)數(shù)，其DFT也是圓周共軛對(duì)稱的，37因此可將第k及第N-k個(gè)諧振器合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)其中38除了以上共軛極點(diǎn)外，還有實(shí)數(shù)極點(diǎn)，分兩種情況：

(1)當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，有二個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)z=+r，對(duì)應(yīng)H(0)和H(N/2)，有二個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)：

所以有39

所以有(2)當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，只有一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)z=r，對(duì)應(yīng)H(0)，有一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)：

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