導函數(shù)與原函數(shù)的性質討論

目錄中文摘要 I英文摘要 II1緒論 12導函數(shù)的性質 12.1定義 12.2性質 22.2.1導函數(shù)的介值性 22.2.2導函數(shù)無第一類間斷點 62.2.3導函數(shù)的極限 103原函數(shù)的兩個性質 123.1性質一 123.2性質二 134導函數(shù)與原函數(shù)的關系 145函數(shù)性質在導函數(shù)與其原函數(shù)之間的交互關系 155.1單調性 155.2有界性 165.3奇偶性 165.4周期性 175.5極限 185.6間斷點 185.7可微性 195.8極值 195.9凸性 195.10可積性 196函數(shù)可積與原函數(shù)存在的關系 196.1兩個引理 206.2可積函數(shù)的原函數(shù)的存在性 216.2.1第一類可積函數(shù) 216.2.2第二類可積函數(shù) 226.2.3第三類可積函數(shù) 226.2.4可積函數(shù)的變上限積分與原函數(shù)的關系 236.3存在原函數(shù)的函數(shù)的可積性 246.4Dirichlet函數(shù) 25結束語 25致謝 26參考文獻 27PAGEIII導函數(shù)與原函數(shù)的性質討論摘要本文首先描述了導函數(shù)和原函數(shù)的定義。在明確了何為導函數(shù)后，重點介紹了導函數(shù)的兩個特殊的性質：導函數(shù)的介值性和導函數(shù)的間斷點不可為第一類間斷點，并給出了相應的證明和相關的應用舉例，也根據(jù)這兩大性質得到了一些相關的推論（表述了函數(shù)的相關特征與其原函數(shù)是否存在之間的關系），并通過例題展示了這些推論在解題中的重要作用。同樣，與導函數(shù)相對應的，原函數(shù)（即可導函數(shù)）由其定義的確定性使得這類函數(shù)也具有一些性質，將在文中予以論證。接著，繼續(xù)討論了一些函數(shù)性質（包括：函數(shù)的周期性，奇偶性，單調性，可積性，可微性等）在導函數(shù)和其原函數(shù)二者之間是否具有交互傳遞的性質，并對各結論給出相應的例子或證明。最后，根據(jù)第一部分介紹的導函數(shù)的特性并借助積分，討論了函數(shù)的黎曼積分存在和函數(shù)的原函數(shù)存在二者之間的關系，并給予必要的證明和舉例。關鍵詞：導函數(shù)；介值性；間斷點；原函數(shù)； DISCUSSIONOFTHENATUREOFTHEDERIVATIVEFUNCTIONANDTHEORIGINALFUNCTIONABSTRACTThispaperfirstdescribesthedefinitionsofthederivativefunctionandtheoriginalfunction．Whenthedefinitionofthederivativeisclear，wefocusonthetwospecialpropertiesofthederivativefunction：theintermediatevalueofthederivativefunction andthefirstclassdiscontinuitypointsdon’tappearonthederivativefunction．Andthecorrespondingevidencesandrelevantapplicationexamplesareshown．Wealsogotsomeinferencesrelatedaccordingtothesetwoproperties(whichshowtherelationshipsbetweenthepropertiesofafunctionandtheexistenceoftheoriginalfunction)，andthroughtheexamplesweseehowimportanttheseinferencesareinsolvingproblems．Similarly，theoriginalfunction(namelythedifferentiablefunction)alsohassomepropertieswhicharedemonstratedinthispaperforitsspecialdefinition．Then，wecontinuetodiscusssomenaturesoffunctions(including:periodic，parity，monotonicity，integrability，differentiabilityandsoon)tofindoutweatherthereareinteractionsbetweenthederivativefunctionsandtheoriginalfunctions，andgiveouttheexamplesorevidenceswhichareneed．Atlast，accordingtothepropertiesdescribedinthefistpartandwiththehelpofintegrationwediscusstherelationshipsbetweenthefunctionswhichcanbeintegrabledandthefunctionswhichhavetheoriginalfunctioninthelastpartofthepaper，andalsoexamplesorevidencesthatarenecessaryareshown．Keywords:derivativefunction；intermediatevalue；discontinuitypoints；originalfunction；導函數(shù)和原函數(shù)的性質討論PAGE281緒論函數(shù)，是為我們所掌握的一種常用的數(shù)學工具。我們可以用它來對現(xiàn)實世界進行抽象。通過分析、抽象，可以利用數(shù)學符號將復雜的現(xiàn)實問題通過系統(tǒng)的函數(shù)符號來表示，從而實現(xiàn)對問題的量化的分析、簡化，使得我們可以將生活中形形色色看似不同的問題用數(shù)學領域的通用方法予以分析、計算，從而極大的有益于我們對實際問題的解決。亦即，我們只需要純理論的用數(shù)學方法來研究“函數(shù)”這一抽象的數(shù)學工具，通過對函數(shù)的性質的研究與探討，便可以幫助我們解決復雜、多元的現(xiàn)實問題，其重要性顯而易見。通過導數(shù)運算我們得到了新的一類函數(shù)，即導函數(shù)。作為有特殊定義的一類函數(shù)，使得我們能夠通過對導函數(shù)自身的性質特點的分析來研究原函數(shù)（相對應導函數(shù)而得到的定義）的性質，最常見的是通過導函數(shù)的符號來反映原函數(shù)的單調性，借此幫助我們畫出函數(shù)的變化趨勢圖(反映函數(shù)圖像的增減趨勢)，從而可以幫助我們解決函數(shù)的極值（最值），單調性，函數(shù)零點（方程根）等一系列問題。另外，作為有特殊定義的一類函數(shù)，導函數(shù)具有自己的一些明確的性質，比如間斷點可以確定不能是第一類間斷點，在定義區(qū)間上存在介值性。在導函數(shù)定義下通過對函數(shù)各性質進行分析討論，得到的一些結論可以在我們解決函數(shù)相關問題時起到重要作用。例如，可以利用導函數(shù)的介值性來論證函數(shù)的零點存在問題，判斷原函數(shù)是否存在等。當前，關于導函數(shù)的有關性質，以及導函數(shù)與原函數(shù)二者之間的在函數(shù)性質上所反應的交互關系，函數(shù)是否可積與函數(shù)原函數(shù)是否存在二者之間的關系，這些方面都有不少的研究成果和結論，這些結論對于我們在數(shù)學分析和相關的數(shù)學領域都是有重要意義的。本文作者通過對資料的查閱整理，對現(xiàn)有成果進行學習和分析，較為系統(tǒng)的整理了有關導函數(shù)和原函數(shù)的性質的相關問題，并對相應結論進行嚴格的證明，且相應的給出各結論的應用例題或用以支持結論的反例，從而實現(xiàn)對導函數(shù)相關內容在解題應用方面的論證，加深對導函數(shù)與原函數(shù)性質的理解。2導函數(shù)的性質2.1定義導函數(shù)的定義：若函數(shù)在區(qū)間上處處可導，對，令（對區(qū)間端點，僅考慮相應的單側導數(shù)），則稱為在區(qū)間上的導函數(shù)。 原函數(shù)的定義：若函數(shù)與在區(qū)間上都有定義，若，，則稱為在區(qū)間上的一個原函數(shù)。由以上定義容易看出，在導數(shù)的定義下，一個導函數(shù)的原函數(shù)并不是唯一的，且同一導函數(shù)的任意兩個原函數(shù)之差為一個常數(shù)值。2.2性質2.2.1導函數(shù)的介值性引理1：設函數(shù)在點處有有限導數(shù)，如果該導數(shù)，那么當取左方充分接近于的數(shù)值時就有：，而當取右方充分接近于的數(shù)值時就有：。亦即是說：函數(shù)在處增大（減?。Ｈ绻紤]的是單側導數(shù)，例如左導數(shù)，那么只有對點左方的數(shù)值該命題才有效。證明：由導數(shù)的定義：， 若,則存在的鄰域，使得在其中成立：，首先設，那么，則由上面的不等式能夠得：，即；又當時，有：，則顯然有：，即：。證畢。定理1（達布定理）：若函數(shù)在區(qū)間內有有限導數(shù)，記，，則函數(shù)在區(qū)間內必至少一次取得介于與之間的每一個值。注：導函數(shù)的達布定理成立不要求在區(qū)間上連續(xù)。一般情況下，在上不連續(xù)的任意函數(shù)不一定能得出該結論，即是說定理1所表述的性質是導函數(shù)所特有的。比如：在上不連續(xù)，則：對，都不存在，使得。證明：首先，設與異號，不妨設，，下面先證在區(qū)間上存在一點c，在這點處為零：由有限導數(shù)的存在知，顯然為連續(xù)函數(shù)，則在區(qū)間上某一點處取最大值，且點不與，重合,因為根據(jù)引理1，在點的近處（右端），而在點的近處（左端）有，因此，再依Fermat定理，得，下面討論一般情形：取介于與之間的任意數(shù),不妨設，做輔助函數(shù)，它在區(qū)間內是連續(xù)的，并且有導數(shù)。因為：，而：，故依已證明的結論，有一點存在，在這點處：，即。證畢。利用定理1，我們在解決判斷零點的問題時將會很方便，例如：設函數(shù)在上二次可微，且有界，試證明：存在點，使得.證明：若變號，則由定理1可知，存在，使得，若定號，不妨設，則有反證法如下：，則為嚴格單調遞增函數(shù)，假設存在，使得，則：若，則當，且令x時，有：若，則當，且令x時，有：，結論與有界矛盾，故由此得出：必有，由的任意性知，在上恒為零，顯然與為嚴格單調遞增函數(shù)矛盾。由此知，我們的假設前提不成立，即定號不成立，故必為第一種情況：在上異號。證畢。其實我們可以根據(jù)定理1直接得到推論1，在很多解題中推論1應用起來更方便。推論1：設函數(shù)在區(qū)間內可導，且，則必存在，使得：?；蛘哂械念}目并不直接要求判斷零點，但同樣的類似于例1可以直接利用定理1解題。例2.設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，，，試證：至少存在一點，使得：。證明：為上連續(xù)函數(shù)，則可看做某函數(shù)的導函數(shù)。依題，不妨設,，則由，，，故由保號性可知，存在x1，有：,存在x2（且），有：,則由在連續(xù)可知，在，之間至少存在一點c，使得：。證畢。例3.設在區(qū)間[-1,1]上三次可微，證明存在實數(shù)，使得:。證明：依泰勒公式：，，則：則由定理1可知，存在，使得：，則有結論：。證畢。例4.設在上存在連續(xù)的二階導數(shù)，且，證明：至少存在一點，使得：。證明：設，則由泰勒公式可得：，，，則由定理1知，存在實數(shù)，使得：，于是有：。證畢。例5.設在區(qū)間上連續(xù)，在內有二階連續(xù)導數(shù)，試證：區(qū)間上至少存在一點，使得：。證明：將，分別在點泰勒展開，有:，，上面兩式相加得，,則：，若，則取，若，則由定理1：與之間必存在一點，滿足:,故：。證畢。2.2.2導函數(shù)無第一類間斷點定理2：若在上處處可導，且記，則對于，有：在點若不連續(xù)，則必為的第二類間斷點。注：對于函數(shù)的間斷點，將左、右極限皆存在的間斷點稱為第一類間斷點，至少有一側極限不存在的間斷點稱為函數(shù)的第二類間斷點。下面給出導函數(shù)無第一類間斷點的證明 ：證明：假設導函數(shù)在上存在第一類間斷點，則由導函數(shù)定義有：，同理有=，則得到：==，顯然與為第一類間斷點矛盾，所以，導函數(shù)在區(qū)間上不存在第一類間斷點。（2）我們還可以繼續(xù)證明，若為的第二類間斷點，則只能為第二類間斷點中的振蕩情形：若是的無窮間斷點，則不妨設，，則有：取正實數(shù)，使得，由知：存在正實數(shù)，當時，有（1）式成立：（1）由=A，根據(jù)導數(shù)的定義有：，則顯然存在正實數(shù)，使得：對于正數(shù)=1有：當時，恒成立，則由中值定理得：存在滿足：，從而有：（2）顯然滿足：，則由（1）知有下式成立：（3）顯然（2）與（3）矛盾，故假設不成立，所以，導函數(shù)的間斷點不能是無窮間斷點。若為的第二類間斷點，則只能為第二類間斷點中的振蕩情形。證畢。由上述證明過程可知，導函數(shù)在其定義域內的任意點，要么連續(xù)，要么在該導數(shù)值上下振蕩（導函數(shù)的值不可能“跳躍”，所謂跳躍，通常是指左、右極限的差值不為零，而當導函數(shù)的左、右極限不存在時，根據(jù)介值性，顯然導數(shù)值對其兩側的值具有拉動作用）。即有：若在區(qū)間上處處可導，記，則對，有：要么在點連續(xù)，要么在附近振蕩。注：當提到這里所述的導函數(shù)間斷點特性時，一定是以導函數(shù)在定義域內處處存在為前提的，例如：，當時，；當時，，則便是的第一類間斷點，這與我們的結論是不矛盾的，因為，該函數(shù)在x=0點不可導，即導函數(shù)在該點無定義。定理3：設函數(shù)在區(qū)間內可導，則對內任意一點至少存在兩個點列{}和{}，其中，，，使得：證明：取點列{}（），使：，則對每一個，存在使得：，且，令n，左端為增量比極限，等于，而顯然有：，由此便得到{}，有：，使得，同理可證{}的存在性。證畢。定理3對定理2做了適當?shù)难a充，說明了當是導函數(shù)的振蕩間斷點時，振蕩必然要向回歸，而不可能遠離導數(shù)值振蕩。那么，如果振蕩發(fā)生在導數(shù)值兩側（即存在第二類間斷點），導函數(shù)將無數(shù)次的“達到”該導數(shù)值。利用導函數(shù)沒有第一類間斷點這一性質，可以間接說明導函數(shù)的連續(xù)性等狀態(tài)：例6.若在內可導，導函數(shù)在內單調，則：在內連續(xù)。證明：為單調函數(shù)，則在上任意一點，的左、右極限存在，則上任意一點不可能是的第二類間斷點，于是由定理2知：上任意一點皆是的連續(xù)點，即在內連續(xù)。證畢。例7.設函數(shù)在上處處可導，導函數(shù)，其中，均為單調函數(shù)，并且，試證：存在常數(shù)，對于，有：。證明：對，由，皆是單調函數(shù)可知：，在的單側極限皆存在，則，在x0的單側極限皆存在，故由定理2知：點不是導函數(shù)的間斷點，由任意性知，在上為連續(xù)函數(shù)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必可取到最小值，記為：，由題知，故取滿足：，即為所求。證畢。例8.證明：不存在一個以為導函數(shù)的原函數(shù)。證明：由，知為的第一類間斷點，則由定理2知:不是零點鄰域上的導函數(shù)。證畢。例9.求證：在點處不可導。證明：依題，當時有，則有，顯然，是的第一類間斷點，則可知：在點導數(shù)不存在。證畢。2.2.3導函數(shù)的極限定理4：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且當時，存在有限導數(shù)，如果存在極限,那么，在點的右導數(shù)為，即。證明：由拉格朗日中值定理有，當時下式恒成立：（1）其中，，則易見，當時由于的有界性，趨于，則（1）式的右端趨于極限，即左端亦趨近于，由此便證明了在點的右導數(shù)為，同理亦可證在點的左導數(shù)情況。證畢。由定理4及其證明，我們可以直接得到推論2如下:推論2：設函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在及內可導，若導函數(shù)在處存在極限，值為，則函數(shù)在點可導，且。證明：根據(jù)定理4，分別討論區(qū)間和可得：，故函數(shù)在點可導，且。證畢。這一推論為我們在求導數(shù)，尤其是討論分段函數(shù)分段點的導數(shù)問題等應用中提供了方便：例10.證明函數(shù)在點處可導，并求證明：當時，有：，可得：，故由推論2可知，在點可導，且。證畢。例11.設函數(shù)，求。解：在各開區(qū)間分別求導有：當時，，當時，，則在處不可導，否則的導函數(shù)在可表為：，顯然，這時為的第一類間斷點，由定理2知這是不可能的，故，，在點無定義。例12.設 ，試確定的值，使函數(shù)處處可導。解：依題可得時，有：=，可導，時，有：=，可導，則根據(jù)推論2可知，要處處可導即是要求：成立，則代入公式可解得：。證畢。類似的有：例13.設函數(shù)，在點連續(xù)且可導，求，的值。解：該題與例12完全類似，關鍵在于判斷導函數(shù)在點的左、右兩側極限相等。由例12，例13可以看出，借由推論2來解類似題目要比我們直接按定義通過增量比來判斷左、右導數(shù)的解法要簡便的多。3原函數(shù)的兩個性質由2.1給出的定義知，為區(qū)間上的原函數(shù)即表明在區(qū)間上處處可導，對于這樣的函數(shù)，這里總結了兩個性質如下：3.1性質一定理5：設與在閉區(qū)間上連續(xù)，且在開區(qū)間內可導，在閉區(qū)間上嚴格單調且恒不為零，那么對，存在，使得下面兩式之一成立：或，。證明：設：，則在連續(xù)，記：，則有與，即：與，（1）不妨設在閉區(qū)間上嚴格單調遞增且恒不為零，即：，則（1）式可變?yōu)椋?，?），（3）（2）+（3）整理得：（4）根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值性有：存在，使得下式成立：（5）即是欲證結論的等價形式。證畢。3.2性質二定理6：設與在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，在閉區(qū)間上嚴格單調且恒不為零，則存在，，滿足，使得下式成立：。證明：對由定理5知，當成立時，若，取，中較小的為，較大的為，則命題得證，否則：對由定理5知，當成立時，且，或，即：，或，或當成立時，由的任意性知此三種情形均有：，（為常數(shù)）在內恒成立，則只要任取，且，代入上式所得相減即得到：。證畢。4導函數(shù)與原函數(shù)的關系根據(jù)第2節(jié)的幾個定理我們可以得到如下三個推論：推論3：設在區(qū)間上處處可導，記，若在點的極限存在，則在點連續(xù)。證明：由定理2的證明可知導函數(shù)在某點極限存在且有定義，則該極限值必與函數(shù)值相等，即在該點連續(xù).證畢。推論4：若在區(qū)間上不具有介值性，則在上不存在原函數(shù)。證明：由定理1直接可證得。推論5：若函數(shù)在區(qū)間上存在第一類間斷點或無窮間斷點，那么必有：區(qū)間上不存在函數(shù)，使得：。證明：由定理2直接可證得。例14.設，求證：在上可導，但是的第二類間斷點。證明：當時，由導數(shù)運算法則知：當時，有：故在點可導，而，但，不存在，從而極限不存在，為第二類間斷點。證畢。5函數(shù)性質在導函數(shù)與其原函數(shù)之間的交互關系這一小節(jié)，將討論函數(shù)的一些基本性質、屬性，在導函數(shù)和其對應的原函數(shù)之間的交互關系，這些結論對于我們在解題，和對函數(shù)性質的快速分析上有重要作用。在整個第5節(jié)中我們假設前提：函數(shù)在所討論區(qū)間上處處可導，且有，那么關于各性質我們有如下結論：5.1單調性：（i）為凸的或凹的單調函數(shù)時，必單調；（ii）為不變號的單調函數(shù)時，必單調；（iii）單調性在二者之間不傳遞。證明：（i）由函數(shù)凹、凸的特性可知，當確定為凸（或凹）函數(shù)時，不論單調性如何，都將得到：為單調遞減（或遞增）函數(shù)，即必單調；（ii）不妨設0，亦即是0，則不論單調與否，為區(qū)間上的單調增函數(shù)，非正時同理可證；（iii）單調性不能互相傳遞，有例題如下：例15.設（C為常數(shù)）。則有：不是上的單調函數(shù)，是上的單調遞增函數(shù)。例16.設=，。則有：不是上的單調函數(shù)，=是上的單調遞增函數(shù)。5.2有界性：（i）在無界時，必無界；（ii）在無界時，不一定無界；（iii）有界性在二者之間不傳遞。證明：（i）設存在常數(shù)使得,對，有：，取，則對，有：，其中是介于與之間的值，又：，故有：，顯然與在無界矛盾，則無界；（ii），（iii）給出反例以支持結論：例17.設。則有：有界，=在上無界。例18.設=，。則有：有界，在無界。5.3奇偶性：（i）為奇（偶）函數(shù)時，為偶（奇）函數(shù)；（ii）為奇（偶）函數(shù)時，可以表為一個偶（奇）函數(shù)與一常數(shù)之和。證明：（i）設為偶函數(shù)，則=，由復合函數(shù)求導：，即=，為奇函數(shù)，同理可證為奇的情況；（ii）設為偶函數(shù)，則=，即=，兩邊積分有：，得:，同理可證為奇的情況。例19.是奇函數(shù)，，則是偶函數(shù)。例20.復合函數(shù)與在相應區(qū)間上可導，導函數(shù)，對于來說，奇偶性相同，則復合函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù)；若，對于來說，奇偶性相異，則復合函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。證明：依題，對復合函數(shù)關于進行求導得：，已知，關于奇偶性相同，則：兩個奇（偶）函數(shù)之積為偶函數(shù)，故是偶函數(shù)；同理可證奇偶性相異的情況。證畢。5.4周期性：（i）是周期為的函數(shù)時，也是周期為的函數(shù)；（ii）若為可積的周期為的函數(shù)，且，則也是周期為的函數(shù)；（iii）若為上的非常值周期函數(shù)，為僅有有限個第二類間斷點的周期函數(shù)（個數(shù)為零時即是連續(xù)函數(shù)），則與的基本周期必相同。證明：（i）已知，則兩邊求導有：，即：，即：是周期為的函數(shù)；（ii）已知為可積函數(shù)，則可令:，故是周期為的函數(shù)，又：，則也是周期為的函數(shù)；（iii）已知是非常值的周期函數(shù)，則不妨設的基本周期為，只有有限個第二類間斷點，則不妨設的基本周期為，那么由前可知，一定是的周期，故，為正整數(shù)，且，于是有：，故，即也是的周期，則，又前已證，所以必有：。證畢。5.5極限：（i）在點有極限，則：在點未必有極限；（ii）在點有極限，則：在點必有極限。證明：（ii）的結論由導數(shù)定義是顯見的，關于（i）有例題如下：例21.設：，則，顯然在點，極限存在，無極限。5.6間斷點：無間斷點，可能無間斷點，可能有第二類間斷點。證明：見定理2。5.7可微性：必可微，不一定可微。證明：由定義知，結論顯然成立。例17中在上可微，不可微（為間斷點）。5.8極值：極值在與之間不相互傳遞。例22.設，則有：是的極小值點，但在處無極值。例23.設，則有：在點取極小值，=在點無極值。5.9凸性：凸性在與之間不相互傳遞。例24.設，則有：在上，具有凸性，=4x3不具凸性。例25.設，則有：在上，具有凸性，=x3不具凸性。5.10可積性：（i）可積，則：必可積；（ii）可積，則：不一定可積。證明：（i）因為可導，則必連續(xù)，那么必可積（見6.2.2）；（ii）例17表明，在上連續(xù)，故可積，但在上為無界函數(shù)，故不可積。6函數(shù)可積與原函數(shù)存在的關系在論文的第二節(jié)中給出了導函數(shù)的定義，我們知道，對于區(qū)間上任一處處可導函數(shù)求導，所得即是該區(qū)間上的一個導函數(shù)。那么對于任意給定的一個函數(shù)，在滿足什么樣的條件時可以看做是導函數(shù)（即在區(qū)間上存在原函數(shù)）是我們這一節(jié)需要討論的內容（只有確定為導函數(shù)后，前面所述的有關導函數(shù)的性質才能使用）。函數(shù)通過求導得到導函數(shù)，相應的，在微積分中，定義了求導的逆運算:積分。那么，函數(shù)可積時是否一定存在原函數(shù)，原函數(shù)存在的函數(shù)（即可做導函數(shù)）又是否一定可積，將在這一節(jié)進行討論并給出一些結論。注：本節(jié)所提到的積分皆是指黎曼積分。6.1首先介紹兩個引理關于定積分有著名的牛頓-萊布尼茨公式：Newton-Leibniz公式：設在上連續(xù)，是的任意一個原函數(shù)，即：，，那么。將牛-萊公式的條件進一步弱化，我們來證明如下定理：引理2：設在上可積，是的任意一個原函數(shù)，那么。證明：設是的任一分法：：,記，其中，則：，又在上可導，則由拉格朗日中值定理知，存在，使，從而，，又在[a，b]上可積，而上式右端恰為在上屬于分法的一個積分和，故當時，有：.證畢。引理3：若為區(qū)間上的單調函數(shù)，則在存在單側極限。這一節(jié)分為可積函數(shù)的原函數(shù)存在性和原函數(shù)存在函數(shù)的可積性兩部分來論述。6.2可積函數(shù)的原函數(shù)的存在性我們討論如下三類常見的黎曼可積函數(shù)類型。為方便起見，分別將它們稱作：第一類可積函數(shù)，第二類可積函數(shù)，第三類可積函數(shù)：第一類可積函數(shù)：若在上有界且間斷點個數(shù)有限，則在上可積；第二類可積函數(shù)：若在上連續(xù)，則在上可積；第三類可積函數(shù)：若在上單調，則在上可積。按照上述的定義，我們有相關的結論如下：6.2.1第一類可積函數(shù)對于第一類可積函數(shù)，依據(jù)其間斷點的不同類型有：（i）若的間斷點是第一類間斷點，則的原函數(shù)必不存在；（ii）若的間斷點是第二類間斷點，則的原函數(shù)可能存在，可能不存在。證明：（i）由定理2，推論5，皆可直接得出有一類間斷點時原函數(shù)不存在；（ii）例26和例27說明了當間斷點是第二類間斷點時原函數(shù)存在的不確定性：例26.設，則有：因在上有界，且僅有一個第二類間斷點，因此在上可積，令，則有：在上成立，即在上存在原函數(shù)。例27.設，則有：因在上有界，且僅有一個第一類間斷點和一個第二類間斷點，從而在上可積，但由推論5知，由于第一類間斷點存在，則在區(qū)間上不存在原函數(shù)。6.2.2第二類可積函數(shù)第二類可積函數(shù)的原函數(shù)必存在。且有基本定理如下：定理7：若在上連續(xù)，則函數(shù)在上可導，且。證明：顯然，于是：，由積分第一中值定理知，在與之間必存在一點，使：，則，對上式兩端取極限，于是，又介于與之間，所以這時必定有：，于是：，故。證畢。6.2.3第三類可積函數(shù)對于第三類可積函數(shù)，依據(jù)其是否連續(xù)有：（i）若在上連續(xù)，則在上必存在原函數(shù)；（ii）若在不連續(xù)，則在上必不存在原函數(shù)。證明：（i）由6.2.2可得該結論；（ii）由引理3知，若不連續(xù)則間斷點必為第一類間斷點，則根據(jù)推論5：在上必不存在原函數(shù)。前面我們已經證明，如果在上連續(xù)，那么在上一定是可積的；而如果在上不連續(xù)，那么一般來講，即使在上存在原函數(shù)，也不一定在上可積，例如：例28.設：，則有：記，顯然即是在（-1,1）上的原函數(shù)，但因在[-1,1]上無界，故：在[-1,1]上不可積。6.2.4可積函數(shù)的變上限積分與原函數(shù)的關系若在上可積，則變上限積分（即使處處可導）不一定是其原函數(shù)。例29.區(qū)間[0,1]上的黎曼函數(shù)：，則有：（i）的所有不連續(xù)點做成的集是零測度集，因此在[0,1]上可積；（ii）已證得在[0,1]上可積，則可求得：，故在[0,1]上處處可導，有：，顯然，在稠密集Q\{0,1}上有：，故不是的原函數(shù)。注：例29的證明中，在證得黎曼函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的可積性后，亦可由：在區(qū)間[0,1]上任一非零有理點皆是的第一類間斷點，直接根據(jù)定理2得出結論：EMBEDEquation.DSMT4在[0,1]上的原函數(shù)不存在。定理8：若在上可積，且存在一個原函數(shù)，那么變上限積分一定是的一個原函數(shù)。證明：由Newton-Leibniz公式知：，把上限b看做變量則有：，可見：變上限積分與的原函數(shù)只差一個常數(shù)，顯然：是的一個原函數(shù)。證畢。6.3存在原函數(shù)的函數(shù)的可積性定理9：設在上可導，則在上可積的充要條件是：存在上的可積函數(shù)，使得：。證明：必要性：令=，則顯然成立。充分性：由于在上可積，則對有分法：，使得：，其中，下證，對于分法還有：成立，只需證對皆有：：對，取，使得：，則，，因為在[a，b]可積，則在[a，b]上有界，于是在上有上、下確界。記：，，則當時，有，令足夠小，使得：，那么由定積分不等式可得:或，，則：不論是正或負，皆有，令有：，，由此可得：，從而：，故：在上可積.證畢。6.4Dirichlet函數(shù)最后我們討論Dirichlet函數(shù)是否可積和原函數(shù)是否存在，以此例補充說明函數(shù)可積與原函數(shù)存在之間是不具有必然的相互確定關系的。例30.證明：顯然在任意區(qū)間上不可積，又:在任意區(qū)間不具有介值性，則于任意區(qū)間上原函數(shù)也不存在。證畢。注：這也指出，要注意Newton-Leibniz公式的運用條件，即：函數(shù)可積和原函數(shù)存在要同時成立。結束語本論文以導函數(shù)為核心，盡可能全面的總結、討論了導函數(shù)的幾個不同于一般函數(shù)的較為特殊的性質，分析了函數(shù)的一些基本屬性、性質在導函數(shù)及其原函數(shù)之間的傳遞情況，以及函數(shù)可積與原函數(shù)存在之間的關系。通過對這些問題的探討、總結，得出了一些相關的結論、定理。文中的例題也可以看出，這些結論對于更好的認識和理解導函數(shù)的相關問題，以及解決數(shù)學分析中的很多相關問題都有重要作用。致謝經過兩個多月的時間，我終于完成了這篇論文。首先