導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的性質(zhì)討論

目錄中文摘要 I英文摘要 II1緒論 12導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì) 12.1定義 12.2性質(zhì) 22.2.1導(dǎo)函數(shù)的介值性 22.2.2導(dǎo)函數(shù)無第一類間斷點(diǎn) 62.2.3導(dǎo)函數(shù)的極限 103原函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) 123.1性質(zhì)一 123.2性質(zhì)二 134導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系 145函數(shù)性質(zhì)在導(dǎo)函數(shù)與其原函數(shù)之間的交互關(guān)系 155.1單調(diào)性 155.2有界性 165.3奇偶性 165.4周期性 175.5極限 185.6間斷點(diǎn) 185.7可微性 195.8極值 195.9凸性 195.10可積性 196函數(shù)可積與原函數(shù)存在的關(guān)系 196.1兩個(gè)引理 206.2可積函數(shù)的原函數(shù)的存在性 216.2.1第一類可積函數(shù) 216.2.2第二類可積函數(shù) 226.2.3第三類可積函數(shù) 226.2.4可積函數(shù)的變上限積分與原函數(shù)的關(guān)系 236.3存在原函數(shù)的函數(shù)的可積性 246.4Dirichlet函數(shù) 25結(jié)束語 25致謝 26參考文獻(xiàn) 27PAGEIII導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的性質(zhì)討論摘要本文首先描述了導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的定義。在明確了何為導(dǎo)函數(shù)后，重點(diǎn)介紹了導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)特殊的性質(zhì)：導(dǎo)函數(shù)的介值性和導(dǎo)函數(shù)的間斷點(diǎn)不可為第一類間斷點(diǎn)，并給出了相應(yīng)的證明和相關(guān)的應(yīng)用舉例，也根據(jù)這兩大性質(zhì)得到了一些相關(guān)的推論（表述了函數(shù)的相關(guān)特征與其原函數(shù)是否存在之間的關(guān)系），并通過例題展示了這些推論在解題中的重要作用。同樣，與導(dǎo)函數(shù)相對(duì)應(yīng)的，原函數(shù)（即可導(dǎo)函數(shù)）由其定義的確定性使得這類函數(shù)也具有一些性質(zhì)，將在文中予以論證。接著，繼續(xù)討論了一些函數(shù)性質(zhì)（包括：函數(shù)的周期性，奇偶性，單調(diào)性，可積性，可微性等）在導(dǎo)函數(shù)和其原函數(shù)二者之間是否具有交互傳遞的性質(zhì)，并對(duì)各結(jié)論給出相應(yīng)的例子或證明。最后，根據(jù)第一部分介紹的導(dǎo)函數(shù)的特性并借助積分，討論了函數(shù)的黎曼積分存在和函數(shù)的原函數(shù)存在二者之間的關(guān)系，并給予必要的證明和舉例。關(guān)鍵詞：導(dǎo)函數(shù)；介值性；間斷點(diǎn)；原函數(shù)； DISCUSSIONOFTHENATUREOFTHEDERIVATIVEFUNCTIONANDTHEORIGINALFUNCTIONABSTRACTThispaperfirstdescribesthedefinitionsofthederivativefunctionandtheoriginalfunction．Whenthedefinitionofthederivativeisclear，wefocusonthetwospecialpropertiesofthederivativefunction：theintermediatevalueofthederivativefunction andthefirstclassdiscontinuitypointsdon’tappearonthederivativefunction．Andthecorrespondingevidencesandrelevantapplicationexamplesareshown．Wealsogotsomeinferencesrelatedaccordingtothesetwoproperties(whichshowtherelationshipsbetweenthepropertiesofafunctionandtheexistenceoftheoriginalfunction)，andthroughtheexamplesweseehowimportanttheseinferencesareinsolvingproblems．Similarly，theoriginalfunction(namelythedifferentiablefunction)alsohassomepropertieswhicharedemonstratedinthispaperforitsspecialdefinition．Then，wecontinuetodiscusssomenaturesoffunctions(including:periodic，parity，monotonicity，integrability，differentiabilityandsoon)tofindoutweatherthereareinteractionsbetweenthederivativefunctionsandtheoriginalfunctions，andgiveouttheexamplesorevidenceswhichareneed．Atlast，accordingtothepropertiesdescribedinthefistpartandwiththehelpofintegrationwediscusstherelationshipsbetweenthefunctionswhichcanbeintegrabledandthefunctionswhichhavetheoriginalfunctioninthelastpartofthepaper，andalsoexamplesorevidencesthatarenecessaryareshown．Keywords:derivativefunction；intermediatevalue；discontinuitypoints；originalfunction；導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的性質(zhì)討論P(yáng)AGE281緒論函數(shù)，是為我們所掌握的一種常用的數(shù)學(xué)工具。我們可以用它來對(duì)現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行抽象。通過分析、抽象，可以利用數(shù)學(xué)符號(hào)將復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)問題通過系統(tǒng)的函數(shù)符號(hào)來表示，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)問題的量化的分析、簡(jiǎn)化，使得我們可以將生活中形形色色看似不同的問題用數(shù)學(xué)領(lǐng)域的通用方法予以分析、計(jì)算，從而極大的有益于我們對(duì)實(shí)際問題的解決。亦即，我們只需要純理論的用數(shù)學(xué)方法來研究“函數(shù)”這一抽象的數(shù)學(xué)工具，通過對(duì)函數(shù)的性質(zhì)的研究與探討，便可以幫助我們解決復(fù)雜、多元的現(xiàn)實(shí)問題，其重要性顯而易見。通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算我們得到了新的一類函數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)。作為有特殊定義的一類函數(shù)，使得我們能夠通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)自身的性質(zhì)特點(diǎn)的分析來研究原函數(shù)（相對(duì)應(yīng)導(dǎo)函數(shù)而得到的定義）的性質(zhì)，最常見的是通過導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)來反映原函數(shù)的單調(diào)性，借此幫助我們畫出函數(shù)的變化趨勢(shì)圖(反映函數(shù)圖像的增減趨勢(shì))，從而可以幫助我們解決函數(shù)的極值（最值），單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)（方程根）等一系列問題。另外，作為有特殊定義的一類函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)具有自己的一些明確的性質(zhì)，比如間斷點(diǎn)可以確定不能是第一類間斷點(diǎn)，在定義區(qū)間上存在介值性。在導(dǎo)函數(shù)定義下通過對(duì)函數(shù)各性質(zhì)進(jìn)行分析討論，得到的一些結(jié)論可以在我們解決函數(shù)相關(guān)問題時(shí)起到重要作用。例如，可以利用導(dǎo)函數(shù)的介值性來論證函數(shù)的零點(diǎn)存在問題，判斷原函數(shù)是否存在等。當(dāng)前，關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)二者之間的在函數(shù)性質(zhì)上所反應(yīng)的交互關(guān)系，函數(shù)是否可積與函數(shù)原函數(shù)是否存在二者之間的關(guān)系，這些方面都有不少的研究成果和結(jié)論，這些結(jié)論對(duì)于我們?cè)跀?shù)學(xué)分析和相關(guān)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域都是有重要意義的。本文作者通過對(duì)資料的查閱整理，對(duì)現(xiàn)有成果進(jìn)行學(xué)習(xí)和分析，較為系統(tǒng)的整理了有關(guān)導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)問題，并對(duì)相應(yīng)結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)格的證明，且相應(yīng)的給出各結(jié)論的應(yīng)用例題或用以支持結(jié)論的反例，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)導(dǎo)函數(shù)相關(guān)內(nèi)容在解題應(yīng)用方面的論證，加深對(duì)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)性質(zhì)的理解。2導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)2.1定義導(dǎo)函數(shù)的定義：若函數(shù)在區(qū)間上處處可導(dǎo)，對(duì)，令（對(duì)區(qū)間端點(diǎn)，僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)），則稱為在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)。 原函數(shù)的定義：若函數(shù)與在區(qū)間上都有定義，若，，則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。由以上定義容易看出，在導(dǎo)數(shù)的定義下，一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)并不是唯一的，且同一導(dǎo)函數(shù)的任意兩個(gè)原函數(shù)之差為一個(gè)常數(shù)值。2.2性質(zhì)2.2.1導(dǎo)函數(shù)的介值性引理1：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處有有限導(dǎo)數(shù)，如果該導(dǎo)數(shù)，那么當(dāng)取左方充分接近于的數(shù)值時(shí)就有：，而當(dāng)取右方充分接近于的數(shù)值時(shí)就有：。亦即是說：函數(shù)在處增大（減小）。如果所考慮的是單側(cè)導(dǎo)數(shù)，例如左導(dǎo)數(shù)，那么只有對(duì)點(diǎn)左方的數(shù)值該命題才有效。證明：由導(dǎo)數(shù)的定義：， 若,則存在的鄰域，使得在其中成立：，首先設(shè)，那么，則由上面的不等式能夠得：，即；又當(dāng)時(shí)，有：，則顯然有：，即：。證畢。定理1（達(dá)布定理）：若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有有限導(dǎo)數(shù)，記，，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必至少一次取得介于與之間的每一個(gè)值。注：導(dǎo)函數(shù)的達(dá)布定理成立不要求在區(qū)間上連續(xù)。一般情況下，在上不連續(xù)的任意函數(shù)不一定能得出該結(jié)論，即是說定理1所表述的性質(zhì)是導(dǎo)函數(shù)所特有的。比如：在上不連續(xù)，則：對(duì)，都不存在，使得。證明：首先，設(shè)與異號(hào)，不妨設(shè)，，下面先證在區(qū)間上存在一點(diǎn)c，在這點(diǎn)處為零：由有限導(dǎo)數(shù)的存在知，顯然為連續(xù)函數(shù)，則在區(qū)間上某一點(diǎn)處取最大值，且點(diǎn)不與，重合,因?yàn)楦鶕?jù)引理1，在點(diǎn)的近處（右端），而在點(diǎn)的近處（左端）有，因此，再依Fermat定理，得，下面討論一般情形：取介于與之間的任意數(shù),不妨設(shè)，做輔助函數(shù)，它在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，并且有導(dǎo)數(shù)。因?yàn)椋海?，故依已證明的結(jié)論，有一點(diǎn)存在，在這點(diǎn)處：，即。證畢。利用定理1，我們?cè)诮鉀Q判斷零點(diǎn)的問題時(shí)將會(huì)很方便，例如：設(shè)函數(shù)在上二次可微，且有界，試證明：存在點(diǎn)，使得.證明：若變號(hào)，則由定理1可知，存在，使得，若定號(hào)，不妨設(shè)，則有反證法如下：，則為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，假設(shè)存在，使得，則：若，則當(dāng)，且令x時(shí)，有：若，則當(dāng)，且令x時(shí)，有：，結(jié)論與有界矛盾，故由此得出：必有，由的任意性知，在上恒為零，顯然與為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)矛盾。由此知，我們的假設(shè)前提不成立，即定號(hào)不成立，故必為第一種情況：在上異號(hào)。證畢。其實(shí)我們可以根據(jù)定理1直接得到推論1，在很多解題中推論1應(yīng)用起來更方便。推論1：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則必存在，使得：。或者有的題目并不直接要求判斷零點(diǎn)，但同樣的類似于例1可以直接利用定理1解題。例2.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，，，試證：至少存在一點(diǎn)，使得：。證明：為上連續(xù)函數(shù)，則可看做某函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。依題，不妨設(shè),，則由，，，故由保號(hào)性可知，存在x1，有：,存在x2（且），有：,則由在連續(xù)可知，在，之間至少存在一點(diǎn)c，使得：。證畢。例3.設(shè)在區(qū)間[-1,1]上三次可微，證明存在實(shí)數(shù)，使得:。證明：依泰勒公式：，，則：則由定理1可知，存在，使得：，則有結(jié)論：。證畢。例4.設(shè)在上存在連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使得：。證明：設(shè)，則由泰勒公式可得：，，，則由定理1知，存在實(shí)數(shù)，使得：，于是有：。證畢。例5.設(shè)在區(qū)間上連續(xù)，在內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試證：區(qū)間上至少存在一點(diǎn)，使得：。證明：將，分別在點(diǎn)泰勒展開，有:，，上面兩式相加得，,則：，若，則取，若，則由定理1：與之間必存在一點(diǎn)，滿足:,故：。證畢。2.2.2導(dǎo)函數(shù)無第一類間斷點(diǎn)定理2：若在上處處可導(dǎo)，且記，則對(duì)于，有：在點(diǎn)若不連續(xù)，則必為的第二類間斷點(diǎn)。注：對(duì)于函數(shù)的間斷點(diǎn)，將左、右極限皆存在的間斷點(diǎn)稱為第一類間斷點(diǎn)，至少有一側(cè)極限不存在的間斷點(diǎn)稱為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)。下面給出導(dǎo)函數(shù)無第一類間斷點(diǎn)的證明 ：證明：假設(shè)導(dǎo)函數(shù)在上存在第一類間斷點(diǎn)，則由導(dǎo)函數(shù)定義有：，同理有=，則得到：==，顯然與為第一類間斷點(diǎn)矛盾，所以，導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上不存在第一類間斷點(diǎn)。（2）我們還可以繼續(xù)證明，若為的第二類間斷點(diǎn)，則只能為第二類間斷點(diǎn)中的振蕩情形：若是的無窮間斷點(diǎn)，則不妨設(shè)，，則有：取正實(shí)數(shù)，使得，由知：存在正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，有（1）式成立：（1）由=A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義有：，則顯然存在正實(shí)數(shù)，使得：對(duì)于正數(shù)=1有：當(dāng)時(shí)，恒成立，則由中值定理得：存在滿足：，從而有：（2）顯然滿足：，則由（1）知有下式成立：（3）顯然（2）與（3）矛盾，故假設(shè)不成立，所以，導(dǎo)函數(shù)的間斷點(diǎn)不能是無窮間斷點(diǎn)。若為的第二類間斷點(diǎn)，則只能為第二類間斷點(diǎn)中的振蕩情形。證畢。由上述證明過程可知，導(dǎo)函數(shù)在其定義域內(nèi)的任意點(diǎn)，要么連續(xù)，要么在該導(dǎo)數(shù)值上下振蕩（導(dǎo)函數(shù)的值不可能“跳躍”，所謂跳躍，通常是指左、右極限的差值不為零，而當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的左、右極限不存在時(shí)，根據(jù)介值性，顯然導(dǎo)數(shù)值對(duì)其兩側(cè)的值具有拉動(dòng)作用）。即有：若在區(qū)間上處處可導(dǎo)，記，則對(duì)，有：要么在點(diǎn)連續(xù)，要么在附近振蕩。注：當(dāng)提到這里所述的導(dǎo)函數(shù)間斷點(diǎn)特性時(shí)，一定是以導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)處處存在為前提的，例如：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則便是的第一類間斷點(diǎn)，這與我們的結(jié)論是不矛盾的，因?yàn)?，該函?shù)在x=0點(diǎn)不可導(dǎo)，即導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)無定義。定理3：設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則對(duì)內(nèi)任意一點(diǎn)至少存在兩個(gè)點(diǎn)列{}和{}，其中，，，使得：證明：取點(diǎn)列{}（），使：，則對(duì)每一個(gè)，存在使得：，且，令n，左端為增量比極限，等于，而顯然有：，由此便得到{}，有：，使得，同理可證{}的存在性。證畢。定理3對(duì)定理2做了適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充，說明了當(dāng)是導(dǎo)函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)時(shí)，振蕩必然要向回歸，而不可能遠(yuǎn)離導(dǎo)數(shù)值振蕩。那么，如果振蕩發(fā)生在導(dǎo)數(shù)值兩側(cè)（即存在第二類間斷點(diǎn)），導(dǎo)函數(shù)將無數(shù)次的“達(dá)到”該導(dǎo)數(shù)值。利用導(dǎo)函數(shù)沒有第一類間斷點(diǎn)這一性質(zhì)，可以間接說明導(dǎo)函數(shù)的連續(xù)性等狀態(tài)：例6.若在內(nèi)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)，則：在內(nèi)連續(xù)。證明：為單調(diào)函數(shù)，則在上任意一點(diǎn)，的左、右極限存在，則上任意一點(diǎn)不可能是的第二類間斷點(diǎn)，于是由定理2知：上任意一點(diǎn)皆是的連續(xù)點(diǎn)，即在內(nèi)連續(xù)。證畢。例7.設(shè)函數(shù)在上處處可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)，其中，均為單調(diào)函數(shù)，并且，試證：存在常數(shù)，對(duì)于，有：。證明：對(duì)，由，皆是單調(diào)函數(shù)可知：，在的單側(cè)極限皆存在，則，在x0的單側(cè)極限皆存在，故由定理2知：點(diǎn)不是導(dǎo)函數(shù)的間斷點(diǎn)，由任意性知，在上為連續(xù)函數(shù)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必可取到最小值，記為：，由題知，故取滿足：，即為所求。證畢。例8.證明：不存在一個(gè)以為導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)。證明：由，知為的第一類間斷點(diǎn)，則由定理2知:不是零點(diǎn)鄰域上的導(dǎo)函數(shù)。證畢。例9.求證：在點(diǎn)處不可導(dǎo)。證明：依題，當(dāng)時(shí)有，則有，顯然，是的第一類間斷點(diǎn)，則可知：在點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在。證畢。2.2.3導(dǎo)函數(shù)的極限定理4：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，存在有限導(dǎo)數(shù)，如果存在極限,那么，在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)為，即。證明：由拉格朗日中值定理有，當(dāng)時(shí)下式恒成立：（1）其中，，則易見，當(dāng)時(shí)由于的有界性，趨于，則（1）式的右端趨于極限，即左端亦趨近于，由此便證明了在點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)為，同理亦可證在點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)情況。證畢。由定理4及其證明，我們可以直接得到推論2如下:推論2：設(shè)函數(shù)在區(qū)間連續(xù)，在及內(nèi)可導(dǎo)，若導(dǎo)函數(shù)在處存在極限，值為，則函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且。證明：根據(jù)定理4，分別討論區(qū)間和可得：，故函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且。證畢。這一推論為我們?cè)谇髮?dǎo)數(shù)，尤其是討論分段函數(shù)分段點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)問題等應(yīng)用中提供了方便：例10.證明函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并求證明：當(dāng)時(shí)，有：，可得：，故由推論2可知，在點(diǎn)可導(dǎo)，且。證畢。例11.設(shè)函數(shù)，求。解：在各開區(qū)間分別求導(dǎo)有：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在處不可導(dǎo)，否則的導(dǎo)函數(shù)在可表為：，顯然，這時(shí)為的第一類間斷點(diǎn)，由定理2知這是不可能的，故，，在點(diǎn)無定義。例12.設(shè) ，試確定的值，使函數(shù)處處可導(dǎo)。解：依題可得時(shí)，有：=，可導(dǎo)，時(shí)，有：=，可導(dǎo)，則根據(jù)推論2可知，要處處可導(dǎo)即是要求：成立，則代入公式可解得：。證畢。類似的有：例13.設(shè)函數(shù)，在點(diǎn)連續(xù)且可導(dǎo)，求，的值。解：該題與例12完全類似，關(guān)鍵在于判斷導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)的左、右兩側(cè)極限相等。由例12，例13可以看出，借由推論2來解類似題目要比我們直接按定義通過增量比來判斷左、右導(dǎo)數(shù)的解法要簡(jiǎn)便的多。3原函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)由2.1給出的定義知，為區(qū)間上的原函數(shù)即表明在區(qū)間上處處可導(dǎo)，對(duì)于這樣的函數(shù)，這里總結(jié)了兩個(gè)性質(zhì)如下：3.1性質(zhì)一定理5：設(shè)與在閉區(qū)間上連續(xù)，且在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)且恒不為零，那么對(duì)，存在，使得下面兩式之一成立：或，。證明：設(shè)：，則在連續(xù)，記：，則有與，即：與，（1）不妨設(shè)在閉區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)遞增且恒不為零，即：，則（1）式可變?yōu)椋?，?），（3）（2）+（3）整理得：（4）根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值性有：存在，使得下式成立：（5）即是欲證結(jié)論的等價(jià)形式。證畢。3.2性質(zhì)二定理6：設(shè)與在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)且恒不為零，則存在，，滿足，使得下式成立：。證明：對(duì)由定理5知，當(dāng)成立時(shí)，若，取，中較小的為，較大的為，則命題得證，否則：對(duì)由定理5知，當(dāng)成立時(shí)，且，或，即：，或，或當(dāng)成立時(shí)，由的任意性知此三種情形均有：，（為常數(shù)）在內(nèi)恒成立，則只要任取，且，代入上式所得相減即得到：。證畢。4導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系根據(jù)第2節(jié)的幾個(gè)定理我們可以得到如下三個(gè)推論：推論3：設(shè)在區(qū)間上處處可導(dǎo)，記，若在點(diǎn)的極限存在，則在點(diǎn)連續(xù)。證明：由定理2的證明可知導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)極限存在且有定義，則該極限值必與函數(shù)值相等，即在該點(diǎn)連續(xù).證畢。推論4：若在區(qū)間上不具有介值性，則在上不存在原函數(shù)。證明：由定理1直接可證得。推論5：若函數(shù)在區(qū)間上存在第一類間斷點(diǎn)或無窮間斷點(diǎn)，那么必有：區(qū)間上不存在函數(shù)，使得：。證明：由定理2直接可證得。例14.設(shè)，求證：在上可導(dǎo)，但是的第二類間斷點(diǎn)。證明：當(dāng)時(shí)，由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則知：當(dāng)時(shí)，有：故在點(diǎn)可導(dǎo)，而，但，不存在，從而極限不存在，為第二類間斷點(diǎn)。證畢。5函數(shù)性質(zhì)在導(dǎo)函數(shù)與其原函數(shù)之間的交互關(guān)系這一小節(jié)，將討論函數(shù)的一些基本性質(zhì)、屬性，在導(dǎo)函數(shù)和其對(duì)應(yīng)的原函數(shù)之間的交互關(guān)系，這些結(jié)論對(duì)于我們?cè)诮忸}，和對(duì)函數(shù)性質(zhì)的快速分析上有重要作用。在整個(gè)第5節(jié)中我們假設(shè)前提：函數(shù)在所討論區(qū)間上處處可導(dǎo)，且有，那么關(guān)于各性質(zhì)我們有如下結(jié)論：5.1單調(diào)性：（i）為凸的或凹的單調(diào)函數(shù)時(shí)，必單調(diào)；（ii）為不變號(hào)的單調(diào)函數(shù)時(shí)，必單調(diào)；（iii）單調(diào)性在二者之間不傳遞。證明：（i）由函數(shù)凹、凸的特性可知，當(dāng)確定為凸（或凹）函數(shù)時(shí)，不論單調(diào)性如何，都將得到：為單調(diào)遞減（或遞增）函數(shù)，即必單調(diào)；（ii）不妨設(shè)0，亦即是0，則不論單調(diào)與否，為區(qū)間上的單調(diào)增函數(shù)，非正時(shí)同理可證；（iii）單調(diào)性不能互相傳遞，有例題如下：例15.設(shè)（C為常數(shù)）。則有：不是上的單調(diào)函數(shù)，是上的單調(diào)遞增函數(shù)。例16.設(shè)=，。則有：不是上的單調(diào)函數(shù)，=是上的單調(diào)遞增函數(shù)。5.2有界性：（i）在無界時(shí)，必?zé)o界；（ii）在無界時(shí)，不一定無界；（iii）有界性在二者之間不傳遞。證明：（i）設(shè)存在常數(shù)使得,對(duì)，有：，取，則對(duì)，有：，其中是介于與之間的值，又：，故有：，顯然與在無界矛盾，則無界；（ii），（iii）給出反例以支持結(jié)論：例17.設(shè)。則有：有界，=在上無界。例18.設(shè)=，。則有：有界，在無界。5.3奇偶性：（i）為奇（偶）函數(shù)時(shí)，為偶（奇）函數(shù)；（ii）為奇（偶）函數(shù)時(shí)，可以表為一個(gè)偶（奇）函數(shù)與一常數(shù)之和。證明：（i）設(shè)為偶函數(shù)，則=，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：，即=，為奇函數(shù)，同理可證為奇的情況；（ii）設(shè)為偶函數(shù)，則=，即=，兩邊積分有：，得:，同理可證為奇的情況。例19.是奇函數(shù)，，則是偶函數(shù)。例20.復(fù)合函數(shù)與在相應(yīng)區(qū)間上可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)，對(duì)于來說，奇偶性相同，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；若，對(duì)于來說，奇偶性相異，則復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。證明：依題，對(duì)復(fù)合函數(shù)關(guān)于進(jìn)行求導(dǎo)得：，已知，關(guān)于奇偶性相同，則：兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之積為偶函數(shù)，故是偶函數(shù)；同理可證奇偶性相異的情況。證畢。5.4周期性：（i）是周期為的函數(shù)時(shí)，也是周期為的函數(shù)；（ii）若為可積的周期為的函數(shù)，且，則也是周期為的函數(shù)；（iii）若為上的非常值周期函數(shù)，為僅有有限個(gè)第二類間斷點(diǎn)的周期函數(shù)（個(gè)數(shù)為零時(shí)即是連續(xù)函數(shù)），則與的基本周期必相同。證明：（i）已知，則兩邊求導(dǎo)有：，即：，即：是周期為的函數(shù)；（ii）已知為可積函數(shù)，則可令:，故是周期為的函數(shù)，又：，則也是周期為的函數(shù)；（iii）已知是非常值的周期函數(shù)，則不妨設(shè)的基本周期為，只有有限個(gè)第二類間斷點(diǎn)，則不妨設(shè)的基本周期為，那么由前可知，一定是的周期，故，為正整數(shù)，且，于是有：，故，即也是的周期，則，又前已證，所以必有：。證畢。5.5極限：（i）在點(diǎn)有極限，則：在點(diǎn)未必有極限；（ii）在點(diǎn)有極限，則：在點(diǎn)必有極限。證明：（ii）的結(jié)論由導(dǎo)數(shù)定義是顯見的，關(guān)于（i）有例題如下：例21.設(shè)：，則，顯然在點(diǎn)，極限存在，無極限。5.6間斷點(diǎn)：無間斷點(diǎn)，可能無間斷點(diǎn)，可能有第二類間斷點(diǎn)。證明：見定理2。5.7可微性：必可微，不一定可微。證明：由定義知，結(jié)論顯然成立。例17中在上可微，不可微（為間斷點(diǎn)）。5.8極值：極值在與之間不相互傳遞。例22.設(shè)，則有：是的極小值點(diǎn)，但在處無極值。例23.設(shè)，則有：在點(diǎn)取極小值，=在點(diǎn)無極值。5.9凸性：凸性在與之間不相互傳遞。例24.設(shè)，則有：在上，具有凸性，=4x3不具凸性。例25.設(shè)，則有：在上，具有凸性，=x3不具凸性。5.10可積性：（i）可積，則：必可積；（ii）可積，則：不一定可積。證明：（i）因?yàn)榭蓪?dǎo)，則必連續(xù)，那么必可積（見6.2.2）；（ii）例17表明，在上連續(xù)，故可積，但在上為無界函數(shù)，故不可積。6函數(shù)可積與原函數(shù)存在的關(guān)系在論文的第二節(jié)中給出了導(dǎo)函數(shù)的定義，我們知道，對(duì)于區(qū)間上任一處處可導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，所得即是該區(qū)間上的一個(gè)導(dǎo)函數(shù)。那么對(duì)于任意給定的一個(gè)函數(shù)，在滿足什么樣的條件時(shí)可以看做是導(dǎo)函數(shù)（即在區(qū)間上存在原函數(shù)）是我們這一節(jié)需要討論的內(nèi)容（只有確定為導(dǎo)函數(shù)后，前面所述的有關(guān)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)才能使用）。函數(shù)通過求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，相應(yīng)的，在微積分中，定義了求導(dǎo)的逆運(yùn)算:積分。那么，函數(shù)可積時(shí)是否一定存在原函數(shù)，原函數(shù)存在的函數(shù)（即可做導(dǎo)函數(shù)）又是否一定可積，將在這一節(jié)進(jìn)行討論并給出一些結(jié)論。注：本節(jié)所提到的積分皆是指黎曼積分。6.1首先介紹兩個(gè)引理關(guān)于定積分有著名的牛頓-萊布尼茨公式：Newton-Leibniz公式：設(shè)在上連續(xù)，是的任意一個(gè)原函數(shù)，即：，，那么。將牛-萊公式的條件進(jìn)一步弱化，我們來證明如下定理：引理2：設(shè)在上可積，是的任意一個(gè)原函數(shù)，那么。證明：設(shè)是的任一分法：：,記，其中，則：，又在上可導(dǎo)，則由拉格朗日中值定理知，存在，使，從而，，又在[a，b]上可積，而上式右端恰為在上屬于分法的一個(gè)積分和，故當(dāng)時(shí)，有：.證畢。引理3：若為區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則在存在單側(cè)極限。這一節(jié)分為可積函數(shù)的原函數(shù)存在性和原函數(shù)存在函數(shù)的可積性兩部分來論述。6.2可積函數(shù)的原函數(shù)的存在性我們討論如下三類常見的黎曼可積函數(shù)類型。為方便起見，分別將它們稱作：第一類可積函數(shù)，第二類可積函數(shù)，第三類可積函數(shù)：第一類可積函數(shù)：若在上有界且間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，則在上可積；第二類可積函數(shù)：若在上連續(xù)，則在上可積；第三類可積函數(shù)：若在上單調(diào)，則在上可積。按照上述的定義，我們有相關(guān)的結(jié)論如下：6.2.1第一類可積函數(shù)對(duì)于第一類可積函數(shù)，依據(jù)其間斷點(diǎn)的不同類型有：（i）若的間斷點(diǎn)是第一類間斷點(diǎn)，則的原函數(shù)必不存在；（ii）若的間斷點(diǎn)是第二類間斷點(diǎn)，則的原函數(shù)可能存在，可能不存在。證明：（i）由定理2，推論5，皆可直接得出有一類間斷點(diǎn)時(shí)原函數(shù)不存在；（ii）例26和例27說明了當(dāng)間斷點(diǎn)是第二類間斷點(diǎn)時(shí)原函數(shù)存在的不確定性：例26.設(shè)，則有：因在上有界，且僅有一個(gè)第二類間斷點(diǎn)，因此在上可積，令，則有：在上成立，即在上存在原函數(shù)。例27.設(shè)，則有：因在上有界，且僅有一個(gè)第一類間斷點(diǎn)和一個(gè)第二類間斷點(diǎn)，從而在上可積，但由推論5知，由于第一類間斷點(diǎn)存在，則在區(qū)間上不存在原函數(shù)。6.2.2第二類可積函數(shù)第二類可積函數(shù)的原函數(shù)必存在。且有基本定理如下：定理7：若在上連續(xù)，則函數(shù)在上可導(dǎo)，且。證明：顯然，于是：，由積分第一中值定理知，在與之間必存在一點(diǎn)，使：，則，對(duì)上式兩端取極限，于是，又介于與之間，所以這時(shí)必定有：，于是：，故。證畢。6.2.3第三類可積函數(shù)對(duì)于第三類可積函數(shù)，依據(jù)其是否連續(xù)有：（i）若在上連續(xù)，則在上必存在原函數(shù)；（ii）若在不連續(xù)，則在上必不存在原函數(shù)。證明：（i）由6.2.2可得該結(jié)論；（ii）由引理3知，若不連續(xù)則間斷點(diǎn)必為第一類間斷點(diǎn)，則根據(jù)推論5：在上必不存在原函數(shù)。前面我們已經(jīng)證明，如果在上連續(xù)，那么在上一定是可積的；而如果在上不連續(xù)，那么一般來講，即使在上存在原函數(shù)，也不一定在上可積，例如：例28.設(shè)：，則有：記，顯然即是在（-1,1）上的原函數(shù)，但因在[-1,1]上無界，故：在[-1,1]上不可積。6.2.4可積函數(shù)的變上限積分與原函數(shù)的關(guān)系若在上可積，則變上限積分（即使處處可導(dǎo)）不一定是其原函數(shù)。例29.區(qū)間[0,1]上的黎曼函數(shù)：，則有：（i）的所有不連續(xù)點(diǎn)做成的集是零測(cè)度集，因此在[0,1]上可積；（ii）已證得在[0,1]上可積，則可求得：，故在[0,1]上處處可導(dǎo)，有：，顯然，在稠密集Q\{0,1}上有：，故不是的原函數(shù)。注：例29的證明中，在證得黎曼函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的可積性后，亦可由：在區(qū)間[0,1]上任一非零有理點(diǎn)皆是的第一類間斷點(diǎn)，直接根據(jù)定理2得出結(jié)論：EMBEDEquation.DSMT4在[0,1]上的原函數(shù)不存在。定理8：若在上可積，且存在一個(gè)原函數(shù)，那么變上限積分一定是的一個(gè)原函數(shù)。證明：由Newton-Leibniz公式知：，把上限b看做變量則有：，可見：變上限積分與的原函數(shù)只差一個(gè)常數(shù)，顯然：是的一個(gè)原函數(shù)。證畢。6.3存在原函數(shù)的函數(shù)的可積性定理9：設(shè)在上可導(dǎo)，則在上可積的充要條件是：存在上的可積函數(shù)，使得：。證明：必要性：令=，則顯然成立。充分性：由于在上可積，則對(duì)有分法：，使得：，其中，下證，對(duì)于分法還有：成立，只需證對(duì)皆有：：對(duì)，取，使得：，則，，因?yàn)樵赱a，b]可積，則在[a，b]上有界，于是在上有上、下確界。記：，，則當(dāng)時(shí)，有，令足夠小，使得：，那么由定積分不等式可得:或，，則：不論是正或負(fù)，皆有，令有：，，由此可得：，從而：，故：在上可積.證畢。6.4Dirichlet函數(shù)最后我們討論Dirichlet函數(shù)是否可積和原函數(shù)是否存在，以此例補(bǔ)充說明函數(shù)可積與原函數(shù)存在之間是不具有必然的相互確定關(guān)系的。例30.證明：顯然在任意區(qū)間上不可積，又:在任意區(qū)間不具有介值性，則于任意區(qū)間上原函數(shù)也不存在。證畢。注：這也指出，要注意Newton-Leibniz公式的運(yùn)用條件，即：函數(shù)可積和原函數(shù)存在要同時(shí)成立。結(jié)束語本論文以導(dǎo)函數(shù)為核心，盡可能全面的總結(jié)、討論了導(dǎo)函數(shù)的幾個(gè)不同于一般函數(shù)的較為特殊的性質(zhì)，分析了函數(shù)的一些基本屬性、性質(zhì)在導(dǎo)函數(shù)及其原函數(shù)之間的傳遞情況，以及函數(shù)可積與原函數(shù)存在之間的關(guān)系。通過對(duì)這些問題的探討、總結(jié)，得出了一些相關(guān)的結(jié)論、定理。文中的例題也可以看出，這些結(jié)論對(duì)于更好的認(rèn)識(shí)和理解導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)問題，以及解決數(shù)學(xué)分析中的很多相關(guān)問題都有重要作用。致謝經(jīng)過兩個(gè)多月的時(shí)間，我終于完成了這篇論文。首先