《機(jī)械控制工程基礎(chǔ)》-5系統(tǒng)的穩(wěn)定性

控制工程基礎(chǔ)5.系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.1系統(tǒng)穩(wěn)定的條件5.2穩(wěn)定性的代數(shù)判據(jù)5.3穩(wěn)定性的幾何判據(jù)5.4系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性5.5根軌跡簡(jiǎn)介一、基本要求（1）了解系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義；系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。（2）掌握Routh-Hurwitz判據(jù)的必要條件和充要條件，學(xué)會(huì)應(yīng)用Routh判據(jù)判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，能夠指出系統(tǒng)包含不穩(wěn)定特征根的個(gè)數(shù)。（3）掌握Nyquist判據(jù)。（4）理解系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的概念，會(huì)求相位裕度和幅值裕度。二、本章重點(diǎn)（1）Routh判據(jù)，Nyquist判據(jù)的應(yīng)用。（2）系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性；相位裕度和幅值裕度的求法及其在Nyquist圖和Bode圖上的表示法。三、本章難點(diǎn)1.Routh判據(jù)及其應(yīng)用；2.Nyquist判據(jù)及其應(yīng)用。5.控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析控制系統(tǒng)能在實(shí)際中應(yīng)用的首要條件就是必須穩(wěn)定。一個(gè)不能穩(wěn)定的系統(tǒng)是不能工作的。判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則，也稱為系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。勞斯（Routh）-胡爾維茨（Hurwitz）判據(jù):是依據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性做出判別，它是一種代數(shù)判據(jù)。奈奎斯特判據(jù):是依據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)奈奎斯特圖與坐標(biāo)上（-1，j0）點(diǎn)之間的位置關(guān)系對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性作出判別，這是一種幾何判據(jù)。波德判據(jù):實(shí)際上是奈奎斯特判據(jù)的另一種描述法，它們之間有著相互對(duì)應(yīng)的關(guān)系。但在描述系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)裕度這些概念時(shí)，波德判據(jù)顯得更為清晰、直觀,從而獲得廣泛采用?？刂乒こ袒A(chǔ)5.1控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念

5.1.1

穩(wěn)定性概念控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在給定信號(hào)作用下，輸出應(yīng)能達(dá)到新的平衡狀態(tài)，或在擾動(dòng)去掉之后，系統(tǒng)的輸出能以足夠的精度恢復(fù)到原來(lái)的平衡狀態(tài)。如圖5-1(a)所示，這樣的系統(tǒng)就是穩(wěn)定的系統(tǒng)。若系統(tǒng)承受的外界擾動(dòng)終止作用后，系統(tǒng)輸出不能再恢復(fù)原先的平衡狀態(tài)位置，或發(fā)生不衰減的持續(xù)振蕩。如圖5-1（b）所示，這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定系統(tǒng)?？刂乒こ袒A(chǔ)圖5-1系統(tǒng)穩(wěn)定性示意圖控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性是由系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)所決定的，而與輸入信號(hào)的形式無(wú)關(guān)。控制工程基礎(chǔ)（5-1）5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的條件設(shè)系統(tǒng)方塊圖如圖5-2，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為控制工程基礎(chǔ)（5-2）

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為1+G(s)H(s)=0為閉環(huán)傳遞函數(shù)的特征方程式。一般情況下，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為控制工程基礎(chǔ)5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的條件對(duì)于求極點(diǎn)。對(duì)于根據(jù)情況不同，解不同，但實(shí)部都為5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的條件控制工程基礎(chǔ)

為便于分析，假定閉環(huán)傳遞函數(shù)有q個(gè)相異的實(shí)數(shù)極點(diǎn)及r對(duì)不相同的共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，當(dāng)輸入單位脈沖函數(shù)X(s)=1時(shí)，輸出的拉氏變換式為（5-3）上式的拉氏反變換為（5-4）5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的條件控制工程基礎(chǔ)從上式可以看出，如果所有閉環(huán)極點(diǎn)都在s平面的左半面內(nèi)，即系統(tǒng)的特征方程式根的實(shí)部都為負(fù)，那么隨著時(shí)間t的增大，方程（5-4）式中的指數(shù)項(xiàng)和阻尼指數(shù)項(xiàng)將趨近于零。即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：是特征方程的根均具有負(fù)的實(shí)部?；蛘哒f(shuō)閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式的根全部位于[s]平面的左半平面內(nèi)。一旦特征方程出現(xiàn)右根時(shí)，系統(tǒng)就不穩(wěn)定。設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為（5-5）則系統(tǒng)的特征方程為控制工程基礎(chǔ)5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的條件例如某單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)則系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

特征方程式為特征根

因?yàn)樘卣鞣匠谈哂胸?fù)實(shí)部，該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的條件控制工程基礎(chǔ)綜上可見：特征根中只要有一個(gè)是正實(shí)根，則式(5-4)的解就發(fā)散，系統(tǒng)就不穩(wěn)定；當(dāng)特征根中的共軛復(fù)根具有正實(shí)部時(shí)，式(5-4)解呈發(fā)散振蕩，故系統(tǒng)不穩(wěn)定；若特征根中有零根，則式(5-4)全解中的瞬態(tài)分量將趨于某個(gè)常值，故系統(tǒng)也不穩(wěn)定；若特征根中含有共軛虛根，則式(5-4)的解呈等幅振蕩，這時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)所謂臨界穩(wěn)定狀態(tài)。由于在實(shí)際工作中，系統(tǒng)的參數(shù)值往往要發(fā)生變化，因此共軛虛根有可能轉(zhuǎn)變成具有正實(shí)部的共軛復(fù)根，而使系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以，從控制工程實(shí)踐角度看，一般認(rèn)為臨界穩(wěn)定屬于系統(tǒng)的實(shí)際不不穩(wěn)定工作狀態(tài)。當(dāng)特征根中沒(méi)有零根，沒(méi)有共軛虛根，并且所有實(shí)根都是復(fù)的，共軛復(fù)根具有負(fù)實(shí)部時(shí)，式(5-4)的解是指數(shù)衰減的，或衰減振蕩的，因而系統(tǒng)穩(wěn)定。5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的條件控制工程基礎(chǔ)由上述分析可以得出如下結(jié)論：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件：是它的特征方程的所有根必須是負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分。因?yàn)橄到y(tǒng)的特征根就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，故線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的必要和充分條件就是它的全部極點(diǎn)必須位于復(fù)平面的左半部分。控制工程基礎(chǔ)5.1.2系統(tǒng)穩(wěn)定的條件5.2勞斯-胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，就是要確定系統(tǒng)特征方程根是否全部具有負(fù)的實(shí)部，或者說(shuō)特征根是否全部位于[s]平面的虛軸左側(cè)。這樣就面臨著兩種選擇；1.解特征方程確定特征根，這對(duì)于高階系統(tǒng)來(lái)說(shuō)是困難的。2.討論根的分布，研究特征方程的是否包含右根及有幾個(gè)右根。代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)是基于特征方程根的分布與系數(shù)間的關(guān)系來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。無(wú)需解特征方程而能迅速判定根的分布情況。這是一種簡(jiǎn)單而實(shí)用的穩(wěn)定性判據(jù)?？刂乒こ袒A(chǔ)5.2.1

胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為（1）則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：

1.特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均不為零。

2.特征方程的各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)一致。以上只是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充要條件?？刂乒こ袒A(chǔ)5.2.1

胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)：對(duì)于式中。則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正。（2）各項(xiàng)系數(shù)組成的胡爾維茨n階行列式中各階子行列式都大于零。滿足該條件的系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定?？刂乒こ袒A(chǔ)5.2.1

胡爾維茨穩(wěn)定判據(jù)胡爾維茨行列式：對(duì)于控制工程基礎(chǔ)5.2.2

勞斯穩(wěn)定判據(jù)設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為則系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是：

1.特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均不為零。

2.特征方程的各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)一致。以上只是系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件而非充要條件?？刂乒こ袒A(chǔ)（1）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的必要條件特征方程系數(shù)的勞斯陣列如下：（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件控制工程基礎(chǔ)在上面的勞斯陣列中bi、ci、di、ei的計(jì)算公式如下：(5-6)

控制工程基礎(chǔ)（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件勞斯陣列的計(jì)算順序是由上兩行組成新的一行。例如由第一行與第二行可組成第三行，在第二行第三行的基礎(chǔ)上產(chǎn)生第四行，這樣計(jì)算直到只有零為止。一般情況下可以得到一個(gè)n+1行的勞斯陣列。而最后兩行每行只有一個(gè)元素。每行計(jì)算到出現(xiàn)零元素為止。把a(bǔ)n，an-1，b1，c1，…，d1，e1

稱為勞斯陣列中的第一列元素。勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充分且必要條件是：特征方程系數(shù)所組成的勞斯陣列第一列元素符號(hào)一致，則系統(tǒng)穩(wěn)定。否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列元素符號(hào)改變次數(shù)就是特征方程中所包含的右根數(shù)目。（2）勞斯穩(wěn)定判據(jù)的充要條件控制工程基礎(chǔ)試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式勞斯陣列為例5-1某一系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為由于特征方程式的系數(shù)以及第一列的所有元素都為正，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定的?？刂乒こ袒A(chǔ)例5-2設(shè)單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試確定K值的閉環(huán)穩(wěn)定范圍。解：其單位反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程式為勞斯陣列為控制工程基礎(chǔ)例5-3設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為若要求閉環(huán)特征方程式的根的實(shí)部均小于-1，問(wèn)K值應(yīng)取在什么范圍？如果要求根的實(shí)部均小于-2，情況又如何？

由穩(wěn)定條件得因此K的穩(wěn)定范圍為

控制工程基礎(chǔ)解：系統(tǒng)的特征方程式為s3+9s2+18s+18K=0令u=s+1得如下u特征方程

勞斯陣列為所以5/9<K<14/9閉環(huán)特征方程式的根的實(shí)部均小于-1控制工程基礎(chǔ)由穩(wěn)定條件知：不論K取何值，都不能使原特征方程的根的實(shí)部小于-2

若要求實(shí)部小于-2，令u=s+2得如下新的特征方程控制工程基礎(chǔ)（3）勞斯判據(jù)的特殊情況例5-4設(shè)有特征方程為試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1）某行的第一列元素為零，而其余項(xiàng)不為零的情況如果在計(jì)算勞斯陣列的各元素值時(shí)，出現(xiàn)某行第一列元素為零則在計(jì)算下一行的各元素值時(shí)將出現(xiàn)無(wú)窮大而無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算。為克服這一困難，計(jì)算時(shí)可用無(wú)窮小正數(shù)來(lái)代替零元素，然后繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算?？刂乒こ袒A(chǔ)由于第一列有的元素為負(fù)值，且第一列的元素符號(hào)有兩次變化，表明特征方程在［s］平面的右半平面內(nèi)有兩個(gè)根，該閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。解：勞斯陣列：此時(shí)第三行第一列元素為零，用一無(wú)限小代替0，然后計(jì)算其余各項(xiàng)，得到勞斯陣列如上，觀察第一列各項(xiàng)數(shù)值，當(dāng)→0時(shí)，則控制工程基礎(chǔ)2）某行全部元素值為零的情況說(shuō)明系統(tǒng)的特征方程式的根中存在以下情況：1）存在兩個(gè)符號(hào)相異，絕對(duì)值相同的實(shí)根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定）；2）存在實(shí)部符號(hào)相異、虛部數(shù)值相同的兩對(duì)共軛復(fù)根（系統(tǒng)自由響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定）；3）存在一對(duì)共軛純虛根；（系統(tǒng)自由響應(yīng)會(huì)維持某一頻率的等幅振蕩，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定）；4）以上幾種根的組合。（3）勞斯判據(jù)的特殊情況控制工程基礎(chǔ)在這種情況下，勞斯陣列表將在全為零的一行處中斷，并且此行根的數(shù)目總是偶數(shù)，為了寫出下面各行，可將該行的上一行的各項(xiàng)組成一個(gè)“輔助方程式”。式中s的方次均為偶次降。方程式對(duì)s求導(dǎo)，用求導(dǎo)得到的各項(xiàng)系數(shù)來(lái)代替為零的一行系數(shù)，然后繼續(xù)按照勞斯陣列表的列寫方法，計(jì)算余下各行直至計(jì)算完（n+1）行為止。這些大小相等、符號(hào)相反的特征根，可由輔助方程得到。（3）勞斯判據(jù)的特殊情況控制工程基礎(chǔ)例5-5設(shè)某一系統(tǒng)的特征方程式為試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：特征方程各項(xiàng)系數(shù)為正，列出勞斯陣列表如下：（各元素除以2后的值）（各元素除以2后的值）控制工程基礎(chǔ)取出全部為零元素前一行的元素，得到輔助方程為將A(s)對(duì)s求導(dǎo)得到以上式的系數(shù)代替全部為零的一行，然后繼續(xù)作出勞斯陣列表為（各元素除以4后的值）控制工程基礎(chǔ)從勞斯陣列表的第一列可以看出，各項(xiàng)并無(wú)符號(hào)變化，因此特征方程無(wú)正根。但因s3行出現(xiàn)全為零的情況，可見必有共軛虛根存在，這可通過(guò)求解輔助方程A(s)得到此式的兩對(duì)共軛虛根為這兩對(duì)根，同時(shí)也是原方程的根，它們位于虛軸上，因此該控制系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，等幅振蕩。控制工程基礎(chǔ)解：由已知條件知，系統(tǒng)一定存在一對(duì)共軛純虛根s1,2=±j2。由方框圖得，系統(tǒng)的特征方程為

s3+as2+(2+K)s+(1+K)=0，列出Routh表如下：練習(xí)題：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖如圖所示。試確定K和a取何值時(shí)，系統(tǒng)將維持以角頻率=2s-1的持續(xù)振蕩?？刂乒こ袒A(chǔ)顯然，只有Routh表中S行的元素全為0時(shí)，該特征方程才會(huì)有一對(duì)共軛純虛根。令，而其輔助方程為控制工程基礎(chǔ)解得一對(duì)共軛純虛根聯(lián)立方程和，解得控制工程基礎(chǔ)5.3.1奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特（Nyquist）穩(wěn)定判據(jù)簡(jiǎn)稱為奈氏判據(jù)，它是利用系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特圖判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻率域圖解方法。它是一種幾何判據(jù)。5.3奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1）利用奈氏判據(jù)也不必求取閉環(huán)系統(tǒng)的特征根，而是通過(guò)系統(tǒng)開環(huán)頻率特性Ｇ(j)H(j)曲線來(lái)分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2）由于系統(tǒng)的頻率特性可以用實(shí)驗(yàn)方法得，所以奈氏判據(jù)對(duì)那些無(wú)法用分析法獲得傳遞函數(shù)的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，具有重要的意義。3）奈氏判據(jù)還能表明系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度即相對(duì)穩(wěn)定性，進(jìn)而指出改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的途徑。控制工程基礎(chǔ)（1）穩(wěn)定性判據(jù)如圖5-2的閉環(huán)系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)為：在開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中，令s=j，當(dāng)在-∞至+∞范圍內(nèi)變化時(shí)，可畫出閉合的極坐標(biāo)圖（奈奎斯特圖），它以反時(shí)針?lè)较蚶@（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)為N，假定開環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)為P，當(dāng)滿足于N=P的關(guān)系時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的?？刂乒こ袒A(chǔ)如圖所示系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖，其開環(huán)傳遞函數(shù)為由極坐標(biāo)圖可見，當(dāng)頻率由-∞變化到+∞時(shí)，以反時(shí)針繞（-1，j0）點(diǎn)2圈，即N=2，由上面G(s)H(s)可以看出，開環(huán)傳遞函數(shù)有2個(gè)極點(diǎn)在s右半平面，即P=2。由于極坐標(biāo)圖的轉(zhuǎn)向是反時(shí)針的，又由于N=P，所以對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的?？刂乒こ袒A(chǔ)如圖的開環(huán)傳遞函數(shù)為由圖可見，N=-2、P=1，即N≠P，所以對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?？刂乒こ袒A(chǔ)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)為：在開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)中，令s=j，當(dāng)在0至+∞范圍內(nèi)變化時(shí)，可畫出半閉合的極坐標(biāo)圖（奈奎斯特圖），它以反時(shí)針?lè)较蚶@（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)為N，假定開環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)為P，當(dāng)滿足于N=P/2的關(guān)系時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。控制工程基礎(chǔ)1）開環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)不一定是穩(wěn)定的，反之開環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)有可能是穩(wěn)定的。對(duì)于最小相位的開環(huán)傳遞函數(shù)，并且開環(huán)增益大于零時(shí)，則只有三階或三階以上的閉環(huán)系統(tǒng)才可能不穩(wěn)定。2）當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有N個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)（即有位于原點(diǎn)的極點(diǎn)），當(dāng)趨向0時(shí)奈氏曲線沿某一坐標(biāo)軸趨向∞開環(huán)曲線不封閉，可以通過(guò)作輔助曲線（圓）后再進(jìn)行判別，輔助曲線是一半徑為∞的圓弧，從奈氏曲線的起始端開始反時(shí)針?lè)较蚶@過(guò)N×90o和實(shí)軸相交后即可。注意：控制工程基礎(chǔ)3）當(dāng)曲線通過(guò)(-1，j0)點(diǎn)時(shí)，表示閉環(huán)系統(tǒng)有極點(diǎn)位于虛軸上，為臨界穩(wěn)定狀態(tài)，歸為不穩(wěn)定的情況。4）虛軸上及原點(diǎn)上的開環(huán)極點(diǎn)為左極點(diǎn)。5）對(duì)于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，不容易直接看出包圍的圈數(shù)時(shí)，可采用“穿越”的概念：所謂“穿越”是指奈氏開環(huán)曲線穿過(guò)(-1，j0)點(diǎn)左側(cè)的實(shí)軸。若由上向下穿越時(shí)為正穿越，反之由下向上穿越為負(fù)穿越。穿越一次，則穿越次數(shù)為1，若曲線始于或止于(-1，j0)點(diǎn)左側(cè)的實(shí)軸上時(shí)，則穿越次數(shù)為1/2。穿越次數(shù)即為包圍點(diǎn)的圈數(shù)，正穿越時(shí)為逆時(shí)針包圍圈數(shù)為正，反之負(fù)穿越則包圍圈數(shù)為負(fù)。控制工程基礎(chǔ)在實(shí)際系統(tǒng)中，用得最多的是最小相位系統(tǒng)，因而P=0，為此，這種閉環(huán)系統(tǒng)如若穩(wěn)定，必須N=0。又因?yàn)樽兓瘯r(shí)，頻率由-∞變化到0，再由0變化到+∞時(shí)，所對(duì)應(yīng)的奈奎斯特圖是對(duì)稱的，所以只取0到+∞時(shí)這一頻率段研究即可。其判據(jù)又可敘述如下：如果系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定的充要條件是：它的開環(huán)極坐標(biāo)圖不包圍（-1，j0）點(diǎn)，如圖6-4a所示。反之，若曲線包圍（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的，如圖6-4c所示。若曲線通過(guò)（-1，j0）點(diǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，如圖6-4b所示?？刂乒こ袒A(chǔ)（2）最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)（2）最小相位系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)控制工程基礎(chǔ)例5-6已知兩單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)分別為：其開環(huán)極坐標(biāo)曲線分別如圖6-5(a)、(b)所示，試用奈氏判據(jù)分別判斷對(duì)應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.3.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)舉例控制工程基礎(chǔ)解:(1)系統(tǒng)1：由開環(huán)傳遞函數(shù)G1(s)的表達(dá)式知，p=0開環(huán)穩(wěn)定。由圖6-5(a)可見，開環(huán)奈奎斯特圖沒(méi)有包圍（-1，j0）點(diǎn)。因此閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

(2)系統(tǒng)2：由開環(huán)傳遞函數(shù)G2(s)的表達(dá)式知，p=0開環(huán)穩(wěn)定。由圖6-5(b)可見，開環(huán)奈奎斯特圖括入了(-1，j0)點(diǎn)。根據(jù)奈氏判據(jù)該系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。例5-7已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：開環(huán)奈奎斯特圖如圖6-6所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的表達(dá)式知，P=1開環(huán)不穩(wěn)定。開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)曲線頻率由0變化到+∞時(shí)逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)N=1/2圈。如若頻率由-∞變化到0，再0由0變化到+∞時(shí)，即為N=1,根據(jù)奈氏判據(jù)，該系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。此例說(shuō)明，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)仍有可能是穩(wěn)定的。控制工程基礎(chǔ)例6-8已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)可繪制出其頻率特性的奈奎斯特圖如圖6-7所示。曲線包圍了點(diǎn)(-1，j0)一圈N=-1（注意圖中虛線）。由G(s)H(s)表達(dá)式知，P=0，開環(huán)穩(wěn)定，根據(jù)奈氏判據(jù)，該系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定?？刂乒こ袒A(chǔ)特例1：應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析含積分環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，課本P94-95特例2：應(yīng)用Nyquist判據(jù)分析延時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

延時(shí)環(huán)節(jié)是線性環(huán)節(jié)，但用勞斯判據(jù)難以進(jìn)行判斷，現(xiàn)分析延時(shí)環(huán)節(jié)串聯(lián)或并聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中的情況。2.延時(shí)環(huán)節(jié)串聯(lián)在閉環(huán)系統(tǒng)的前向通道中

時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

圖5.3.16所示為一具有延時(shí)環(huán)節(jié)的系統(tǒng)方框圖，其中G1(s)是除延時(shí)環(huán)節(jié)以外的開環(huán)傳遞函數(shù)，這時(shí)整個(gè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：其開環(huán)頻率特性，幅頻特性和相頻特性分別為：

由此可見，延時(shí)環(huán)節(jié)不改變?cè)到y(tǒng)的幅頻特性，而僅僅使相頻特性發(fā)生變化。例如，在圖5.3.16所示系統(tǒng)中，若則開環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)頻率特性分別為：其開環(huán)Nyquist圖如圖5.3.17所示。，

由圖5.3.17可見，當(dāng)，即無(wú)延時(shí)環(huán)節(jié)時(shí)，Nyquist軌跡的相位不超過(guò)－180度，只到第三象限，此二階系統(tǒng)肯定是穩(wěn)定的。隨著值增加，相位也增加，Nyquist軌跡向左上方偏轉(zhuǎn)，進(jìn)入第二和第一象限，當(dāng)增加到使Nyquist軌跡包圍點(diǎn)（－1,j0）時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)就不穩(wěn)定。所以，由開環(huán)Nyquist圖上可以明顯看出，串聯(lián)延時(shí)環(huán)節(jié)對(duì)穩(wěn)定性是不利的，雖然一階系統(tǒng)或二階系統(tǒng)，其開環(huán)放大系數(shù)K就不允許取很高的數(shù)值，同時(shí)，為了提高這些系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還應(yīng)盡可能地減小延時(shí)時(shí)間。開環(huán)Bode圖與開環(huán)極坐標(biāo)圖有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系:(1)極坐標(biāo)圖上的單位圓相當(dāng)于Bode圖上的0分貝線，即對(duì)數(shù)幅頻特性圖的橫軸。(2)極坐標(biāo)圖上的負(fù)實(shí)軸相當(dāng)于Bode圖上的-180o線，即對(duì)數(shù)相頻特性圖的橫軸。5.3.2Bode圖穩(wěn)定判據(jù)

1.Nyquist圖與Bode圖的關(guān)系-1[GH]ww-180oGH20lg0-90o

在Bode圖的L()>0dB的范圍內(nèi)，開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性相對(duì)－180o線。時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定。

正穿越：相頻特性由下而上穿過(guò)－180o

線，圖中b點(diǎn)(相角增加)。負(fù)穿越∶相頻特性由上而下穿過(guò)－1800

線，圖中a點(diǎn)(相角減少)。正半次穿越:對(duì)數(shù)相頻特性曲線始于－180o

向上。負(fù)半次穿越:對(duì)數(shù)相頻特性曲線始于－180o

向下。2.Bode圖穩(wěn)定判據(jù)(-)正穿越次數(shù)負(fù)穿越次數(shù)=2p-1800-900GH-2700半次穿越負(fù)半次穿越正w5.4穩(wěn)定裕度系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性是有影響的。適當(dāng)選取系統(tǒng)某些參數(shù)，不但可以使系統(tǒng)獲得穩(wěn)定，而且可以使系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可以推知：在線性控制系統(tǒng)中，勞斯判據(jù)主要用來(lái)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。而對(duì)于系統(tǒng)穩(wěn)定的程度如何及是否具有滿意的動(dòng)態(tài)過(guò)程，勞斯判據(jù)無(wú)法確定。1）對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定(p=0)的閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，開環(huán)頻率特性的奈奎斯特曲線距點(diǎn)(-1，j0)越遠(yuǎn)，則閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越高；2）曲線距點(diǎn)(-1，j0)越近，則其閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性越低。控制工程基礎(chǔ)圖6-8是系統(tǒng)開環(huán)奈奎斯特曲線對(duì)(-1，j0)點(diǎn)的位置與對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)示意圖。圖中各系統(tǒng)均為開環(huán)穩(wěn)定(p=0)?？刂乒こ袒A(chǔ)1）當(dāng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)曲線包圍(-1，j0)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)發(fā)散，閉環(huán)不穩(wěn)定(圖6-8(a))；2）當(dāng)開環(huán)奈奎斯特曲線通過(guò)(-1，j0)點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)呈等幅振蕩(圖6-8(b))；3）當(dāng)開環(huán)奈奎斯特曲線不包圍(-1，j0)點(diǎn)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(圖6-8(c)、(d))。4）由圖6-8(c)、(d)可見，開環(huán)奈奎斯特曲線距(-1，j0)點(diǎn)的遠(yuǎn)近程度不同，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的程度也不同。這便是通常所說(shuō)的系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。通常以穩(wěn)定裕度來(lái)表示系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性?？刂乒こ袒A(chǔ)1)相位裕度

以原點(diǎn)為圓心，以單位值為半徑，可作成單位圓，它必然通過(guò)Q(-1，j0)點(diǎn)，并與奈奎斯特曲線交于A點(diǎn)，連線于0、A點(diǎn)得OA，OA與負(fù)實(shí)軸的夾角稱為相位裕度，大小為：式中c

：稱為剪切頻率或幅值穿越頻率，這一頻率對(duì)應(yīng)的幅值為1。(5-7)相位裕度的物理意義是，如果再滯后時(shí)，系統(tǒng)才處于臨界狀態(tài)。因此，相位裕度又可以稱為相位穩(wěn)定性儲(chǔ)備?？刂乒こ袒A(chǔ)（1）穩(wěn)態(tài)裕度極坐標(biāo)的表示2)幅值裕度Ｋg

開環(huán)奈奎斯特曲線與負(fù)實(shí)軸相交于Q點(diǎn)，這一點(diǎn)的頻率g時(shí)的幅值為|G(jg)H(jg)|，其倒數(shù)定義為幅值裕度Ｋg

，即：式中g(shù)

：相位穿越頻率，對(duì)應(yīng)這點(diǎn)的頻率的相角為-180o。

幅值裕度Ｋg的物理意義是，如果將開環(huán)增益放大Ｋg倍，系統(tǒng)才處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。因此，幅值裕度又稱為增益裕度?？刂乒こ袒A(chǔ)系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性即穩(wěn)定裕度用相位裕度和幅值裕度Ｋg

來(lái)定量描述，如圖6-9所示?？刂乒こ袒A(chǔ)Ｋg(dB)=(6～20)dB=30°~60°由前面分析可見：對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，應(yīng)有＞0，且Ｋg＞1；對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，有＜0，Ｋg＜1。系統(tǒng)的穩(wěn)定程度由，Ｋg兩項(xiàng)指標(biāo)來(lái)衡量，Ｋg(dB)、越大系統(tǒng)的穩(wěn)定性越好。但穩(wěn)定裕度過(guò)大會(huì)影響系統(tǒng)的其它性能，如響應(yīng)的快速性等。工程上一般?。嚎刂乒こ袒A(chǔ)（2）穩(wěn)定裕度波德圖表示

相位裕度和幅值裕度也可以在波德圖中表示，如圖6-10(a)、(b)所示?？刂乒こ袒A(chǔ)此時(shí)，幅值裕度Ｋg

的分貝值為：(5-9)對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，應(yīng)有>0，且Kg>1即Kg(dB)>0。如圖6-10(a)所示。在波德圖上，必在-180°線以上；Kg(dB)在0dB線以下。對(duì)于不穩(wěn)定系統(tǒng)，有

<0，Kg<1即Kg(dB)<0。如圖6-10(b)所示。此時(shí)，在極坐標(biāo)圖的負(fù)實(shí)軸以上。在波德圖上，在180°線以下；Kg在0dB線以上?？刂乒こ袒A(chǔ)（3）波德圖判據(jù)利用開環(huán)頻率特性G(j)H(j)的波德圖，也可以來(lái)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種方法有時(shí)稱為對(duì)數(shù)頻率特性判據(jù)，簡(jiǎn)稱對(duì)數(shù)判據(jù)或波德判據(jù)，它實(shí)質(zhì)上是奈奎斯特判據(jù)的引申。開環(huán)波德圖與開環(huán)極坐標(biāo)圖有如下對(duì)應(yīng)關(guān)系：1)奈奎斯特圖上的單位圓相當(dāng)于波德圖上的0分貝線，即對(duì)數(shù)幅頻特性圖的橫軸。因?yàn)榇藭r(shí)

20lg|G(j)H(j)|=20lg1=0dB2)