小學(xué)思維數(shù)學(xué)講義：約數(shù)與倍數(shù)(一)-含答案解析

22約數(shù)與倍數(shù)（）教學(xué)目本講主要對(duì)課本中的：約數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。本講核心目標(biāo)：讓孩子對(duì)數(shù)字的本質(zhì)結(jié)構(gòu)有一個(gè)深入的認(rèn)識(shí)，例如）數(shù)、公約數(shù)、最大公約數(shù)；倍數(shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的內(nèi)在關(guān)；（2）整數(shù)唯一分解定理讓學(xué)生自己初步領(lǐng)任何一個(gè)數(shù)字都可以表示為eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,☆)eq\o\ac(△,)的結(jié)構(gòu)，而且表達(dá)形式唯”知識(shí)點(diǎn)一、

約數(shù)、公約數(shù)與最大公約數(shù)概念(1)約數(shù)在正整數(shù)范圍內(nèi)約數(shù)又叫因整能整數(shù)除叫b的數(shù)，就叫做的約數(shù)；(2)公約數(shù):如果一個(gè)整數(shù)同時(shí)是幾個(gè)整數(shù)的數(shù)，稱這個(gè)整數(shù)為它們公約”最大公約數(shù)：公約數(shù)中最大的一個(gè)就是最大公約數(shù)；0被除約數(shù)與倍數(shù)之外1．最大公約數(shù)的方法①解因法先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)．例如：，252，以；②除：找出所有共有的約數(shù)，然后相乘．例如：，以；③轉(zhuǎn)除：一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的步驟如下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是為．么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大公約數(shù)(如果最后的除數(shù)是，那么原來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的．例如，求和的大公約數(shù)：；600；2853015；0；以和600最大公約數(shù)是152．大公約數(shù)的性質(zhì)幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)；幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)，得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大約數(shù)乘以n．3．一組分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，其他分?jǐn)?shù)不變；求出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)；出各個(gè)分?jǐn)?shù)的分子的最大公約數(shù)；

即為所求．4．?dāng)?shù)、公約數(shù)最大公約數(shù)的關(guān)系約數(shù)是對(duì)一個(gè)數(shù)說(shuō)的；公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù)，最大公約數(shù)是公約數(shù)的倍數(shù)1二、倍數(shù)的概念與最小公倍數(shù)倍數(shù)一個(gè)整數(shù)能夠被另一整數(shù)整除，這個(gè)整數(shù)就是另一整數(shù)的倍數(shù)公倍數(shù)在個(gè)或兩個(gè)以上的自然數(shù)中，如果它們有相同的倍數(shù)，那么這些倍就叫做它們的公倍數(shù)(3)最小公倍數(shù)：公倍數(shù)中最小的個(gè)稱為這些正整數(shù)的最小公倍數(shù)。1.求最小公倍數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)的方法；例如：，252

所以

；②短除法求最小公倍數(shù)；例如：39

，所以；③[a]

a(b)

．2.最小公倍數(shù)的性質(zhì)兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)．兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積．兩個(gè)數(shù)具有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大公約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)．3.求一組分?jǐn)?shù)的最小公倍數(shù)方法步驟先將各個(gè)分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)出個(gè)分?jǐn)?shù)分子的最小公倍數(shù)求出各個(gè)分?jǐn)?shù)分母的最大公約數(shù)；即3為所求．例如：[,]4124注意：兩個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)不能是整數(shù)，最小公倍數(shù)可以是整例如：34．?dāng)?shù)、公倍數(shù)、最小公倍數(shù)的關(guān)系倍數(shù)是對(duì)一個(gè)數(shù)說(shuō)的；最小公倍數(shù)是公倍數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù)三、最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)．兩個(gè)自數(shù)別以們的大約，得商質(zhì)

4如果為、B的大公約數(shù)，且ma，，么、b互質(zhì)，所以B的小公倍數(shù)為mab，所以最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有如下一些基本關(guān)系：①Amamab，兩個(gè)數(shù)的最大公數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積；②最大公約數(shù)是A、BA及小公倍數(shù)的約數(shù)．．兩個(gè)數(shù)最公和小公的積于兩數(shù)乘。即(ab),]，性質(zhì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生比較容易掌握。．對(duì)于任3連續(xù)的然，果個(gè)續(xù)的偶為)奇奇那這個(gè)的積于三數(shù)最公數(shù)例如：5210，就的小公倍數(shù)b)偶偶那這個(gè)的積于三數(shù)小公數(shù)倍22322323例如：6336，而的小公倍數(shù)為336168性（不是一個(gè)常見(jiàn)考點(diǎn)是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系幾個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)一定不會(huì)比他們的乘積”。四、求約數(shù)個(gè)數(shù)與所有約數(shù)的和1．任一整數(shù)約數(shù)的個(gè)數(shù)一個(gè)整數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將每個(gè)質(zhì)因數(shù)的指(次數(shù)加1后所得的乘積。如1400嚴(yán)分解質(zhì)因數(shù)之后為

，所以它的約數(shù)(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24個(gè)。包括1本身約數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算公式是本講的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，授課時(shí)應(yīng)重點(diǎn)講解，公式的推導(dǎo)過(guò)程是建立在篇講過(guò)的數(shù)字唯分解定理”形式基之上，結(jié)合乘法原理推導(dǎo)出來(lái)的，不是很復(fù)雜，建議給學(xué)生推導(dǎo)并要求其掌握。難點(diǎn)在于公式的逆推，有相當(dāng)一部分?？嫉钠y題型考察的就是對(duì)這個(gè)公式的逆用，即先訴一個(gè)數(shù)有多少個(gè)約數(shù)，然后再結(jié)合其他幾個(gè)條件將原還原構(gòu)”出來(lái)，者構(gòu)造出可能的最。2．任一整數(shù)的所有約數(shù)的和一個(gè)整數(shù)的所有約數(shù)的和是在對(duì)其嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)后，將它的每個(gè)質(zhì)因數(shù)依次從1加這個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個(gè)合數(shù)的所有約數(shù)的和。如：210002，以所有約數(shù)的和為(1)(1)(17)74880此公式?jīng)]有第一個(gè)公式常用，推導(dǎo)過(guò)程相對(duì)復(fù)雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學(xué)生找規(guī)性的記憶即可。例題精模塊一、求最大公約數(shù)【1】把張米3分5厘米、1米5厘米紙成樣小正形塊，沒(méi)剩，問(wèn)能裁最的方紙的長(zhǎng)多？可成塊【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【度2星【型】解答【解析要一張長(zhǎng)方形的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，還不能有剩余，這個(gè)正方形紙塊的邊應(yīng)該是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的公約數(shù)．由于題目要求的是最大的正方形紙塊，所以正方形紙塊的邊長(zhǎng)是長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的最大公約數(shù)1米3米厘＝厘，米5厘米＝米，，方形紙塊的面積為10514175平方厘)，正方形紙塊的面積為(平方厘米)，共可裁成正方形紙塊14175225()．【答案】邊長(zhǎng)，裁成63塊【固一個(gè)房長(zhǎng)450厘，330厘米現(xiàn)劃方磚地問(wèn)要邊最為少米方多塊(整塊)，能好房地鋪？【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【度2星【型】解答【解析要方磚正好鋪滿地面，房間的長(zhǎng)和寬都應(yīng)是方磚邊長(zhǎng)的倍數(shù)，也就是方磚邊長(zhǎng)厘米數(shù)須是房間長(zhǎng)、寬厘米數(shù)的公約數(shù)．由于題中要求方磚邊長(zhǎng)盡可能大，所以方磚邊長(zhǎng)應(yīng)為房間長(zhǎng)與寬的最大約數(shù)．450和330的大公約數(shù)是30450，，需15()【答案】邊長(zhǎng)，需要塊【2】將個(gè)和分是厘米423厘米長(zhǎng)形割成干正方，正形少（）。（A）（B）（）（D）6【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【度2星【型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第3題3【解析】本題是求1與423的大公約數(shù)，因?yàn)轭}目沒(méi)有強(qiáng)調(diào)是相同正方形，所以應(yīng)該用轉(zhuǎn)相處法，求商，因?yàn)?41，所以先切成423的共有剩下方形41423的，以應(yīng)該還可以切成個(gè)所以一共有43=7個(gè)選擇B【答案】B【3】如，公有段，＝米，＝米，這段上安路，求A、、C三各一路，鄰個(gè)燈的離相，在兩路至少安路___.【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)

【難度2星【型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級(jí)，初賽，第7題【解析】與的最大公約數(shù)為25，所以取米兩燈間距＝25×7，＝AB段按＋1＝8盞，BC段按5＋1＝6盞燈，但在B不需重復(fù)按燈，故共需安裝＋6＝（盞）【答案】13盞【4】把個(gè)梨25個(gè)果均給朋分后剩個(gè)而蘋(píng)還個(gè)，一共多多個(gè)小友【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【度3星【型】解答【解析此相當(dāng)于梨的總數(shù)是人數(shù)的整數(shù)倍還多2個(gè)果數(shù)是人數(shù)的整數(shù)倍還缺2個(gè)所以掉2個(gè)，補(bǔ)充個(gè)果后，18個(gè)和27個(gè)果就都是人數(shù)的整數(shù)倍了，即人數(shù)是和的公約數(shù)，要求最多的人數(shù)，即是18和27的大公約數(shù)9了．【答案】9【5】有個(gè)蘋(píng)，個(gè)桔，個(gè)梨用些果多以成少同的物在份禮中三水各少【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【度3星【型】解答【解析此本質(zhì)上也是要求出這三種水果的最大公約數(shù)42,即以分份每中有蘋(píng)果8個(gè)桔子6個(gè)梨．【答案】42份，每份中有蘋(píng)果8個(gè)桔子個(gè)、梨5個(gè)【固教師節(jié)天某工買(mǎi)個(gè)果、個(gè)子、個(gè)鴨，來(lái)問(wèn)休的職，用些品最可分多份樣禮物(同樣禮指是份物蘋(píng)、子、梨?zhèn)€彼此等)？每禮中蘋(píng)、子鴨各少？【考點(diǎn)】求最大公約數(shù)【度3星【型】解答【解析因，，，所以最多可分份，每份中有蘋(píng)果6個(gè)子5鴨.【答案】可分份，每份中個(gè)果6桔子鴨梨模塊二、約數(shù)【6】004的約中比100大比小的數(shù)?！究键c(diǎn)】約數(shù)【難度】【型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第題，5分【解析】2004=3×4×167，以結(jié)果為【答案】【7】過(guò)了小兔儲(chǔ)了只胡卜小兔儲(chǔ)了120棵大菜為冬里胡卜，小兔十棵白換小兔一胡卜這他儲(chǔ)的糧數(shù)相，一大菜可換__________胡卜?！究键c(diǎn)】約數(shù)【難度】【型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，一試，第13題4【解析】方法：若使他們存儲(chǔ)食的數(shù)量相等，需要將小白兔的胡蘿卜給小灰兔（但是本題需要去換，即若干次換完后要多個(gè)蘿卜即可，若想用十幾顆大白菜換，而30面只有5這個(gè)約數(shù)是十幾以需要換次，每換后要多3015=2只1白菜換了2只胡蘿卜方法二：設(shè)白菜換x胡蘿卜，灰兔用棵菜換胡蘿卜，則120a，∴a，，x，即1棵白菜換了胡蘿卜【答案】只【8】一自數(shù)它最的數(shù)次大約的是，這個(gè)然是【考點(diǎn)】約數(shù)【難度】【型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，六年級(jí)，決賽，第題【解析】因?yàn)槭瞧鏀?shù)，而奇數(shù)＝奇數(shù)＋偶數(shù)，所以所求數(shù)的最大約數(shù)與次大約數(shù)必為一奇一偶。而一數(shù)的最大約數(shù)是其自身，而一個(gè)數(shù)如有偶約數(shù)此數(shù)必為偶數(shù)，而一個(gè)偶數(shù)的次大約數(shù)應(yīng)為這個(gè)偶的

，設(shè)這個(gè)次大約數(shù)為a，則最大約數(shù)為aa＝，求得a，2＝74即所求數(shù)為?！敬鸢浮俊?】一兩數(shù)個(gè)數(shù)且個(gè)最的3個(gè)約之為10，那此為？【考點(diǎn)】約數(shù)【難度】【型】解答【解析最的三個(gè)約數(shù)中必然包括約數(shù)1除去1以另外兩個(gè)約數(shù)之和為9，由于是奇數(shù)，所以這兩個(gè)約數(shù)的奇偶性一定是相反的，其中一定有一個(gè)是偶數(shù)，如果一個(gè)數(shù)包含偶約數(shù)，那么它一定是2的倍數(shù)，即是它的約數(shù)。于是2是這個(gè)數(shù)第二小的約數(shù)，第三小的約數(shù)是，所以這個(gè)兩位數(shù)是的倍數(shù)，由于這個(gè)兩位數(shù)約數(shù)中不含、45、，所以這個(gè)數(shù)只是或98其中有6約數(shù)的是98【答案】98【】如果寫(xiě)12所約，和12除，會(huì)發(fā)最的數(shù)最約的3倍現(xiàn)一個(gè)數(shù)，除掉的數(shù)1和外剩的數(shù)中最約是小數(shù)1倍那滿條件整有些【考點(diǎn)】約數(shù)【難度】【型】解答【解析設(shè)數(shù)n除掉約數(shù)和外約為a最約數(shù)為aaa3都約數(shù)a是的掉約數(shù)1外最小約數(shù)a時(shí)60；當(dāng)時(shí)135所以滿足條件的整數(shù)有60和135．【答案】n60和135模塊三、公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【】馬鵬李計(jì)甲乙兩兩數(shù)乘，鵬甲的位字錯(cuò)，乘積4；虎甲數(shù)十?dāng)?shù)看了得積407，那甲乙數(shù)乘應(yīng)【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【度3星【型】填空【解析乙是473與的公約數(shù).與407的大公約數(shù)是11是數(shù)它的位數(shù)約數(shù)只有11所以乙數(shù)是又，407所甲數(shù)是甲兩數(shù)的乘積應(yīng)為47.【答案】甲、乙兩數(shù)的乘積應(yīng)為：517【】用、、、這個(gè)碼成個(gè)位和，么、540這個(gè)的最公數(shù)最可是___________．【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【度3星【型】填空【解析540，A、、這三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是540的數(shù)，而的數(shù)從大到小排列次為：540、270180、、108、90…由于和B不能被10整，所以540、270、180都是A和B約數(shù)．由于和不同時(shí)被整除，所以135不是和的約數(shù)540約數(shù)除去這些數(shù)后最大的為，考慮108的三位數(shù)倍數(shù)，有108、432648756864、5972，其中由、3、4、、6、六個(gè)數(shù)碼組成的有、432和，易知當(dāng)A和B一個(gè)為756、另一個(gè)為或432時(shí)A、B、540這個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)為，所以、、540這個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)最大可能是．【答案】108【】現(xiàn)有個(gè)然，們的是1111，這的個(gè)然的約中，大可是少【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【度3星【型】解答【解析只道三個(gè)自然數(shù)的和道三個(gè)自然數(shù)具體是幾無(wú)求最大公約數(shù)從唯一的條它們的和是1111入分析數(shù)的和是1111的約數(shù)一定是的約數(shù)，它的約數(shù)只能是1，101和，由于三個(gè)然數(shù)的和是，所以三個(gè)自然數(shù)都小于1111不可能是三個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)，而101是能的，比如取三個(gè)數(shù)為101．所以所求數(shù)是101【答案】101【】個(gè)非零同然的是，它的大約的大是少【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【度3星【型】解答【解析設(shè)M為這個(gè)零不同自然數(shù)的最大公約數(shù)，那么這10個(gè)不同的自然數(shù)分別可以表示為：Ma,Ma,...,Ma，其中aaa)2那么根據(jù)題意有：(1001210因?yàn)閭€(gè)不同非零自然數(shù)的和最小為，所以M最可以為13【答案】13【固100個(gè)非自數(shù)和于，么們最公數(shù)大能是（?！究键c(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【度3星【型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第8題分【解析】2006=2×17×59，在要求最大公約數(shù)最，則讓整個(gè)一百個(gè)數(shù)的和除以約數(shù)后的商盡可能的小，且還應(yīng)該為的個(gè)約數(shù)100個(gè)非0自然數(shù)的和最小且符合是2006的個(gè)約數(shù)的為2×。所以，最大公約數(shù)的最大可能值為?！敬鸢浮?7【】三個(gè)兩同正數(shù)，為126，則們兩大約之的大為．【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜合【度5星【型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，高年級(jí)，決賽題【解析】假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為a，b，，，則，要求的是大值．由于和b最大公約數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過(guò)程以知道和a的大公約數(shù)，而一個(gè)數(shù)的約數(shù)不可能比這個(gè)數(shù)大，所以同理可得，由到7；由7由到7三式相加可得7a4故．也就是說(shuō)要使等號(hào)成立，必須使五個(gè)不等式

，等號(hào)都成立，即bac，即:b:2:4時(shí)號(hào)成立．在本題中就是a，分為18，36時(shí)它們兩兩最大公約數(shù)之6和取得最大值72小結(jié)：本題的結(jié)論14容易猜到，但證明起來(lái)較困難．另外可能會(huì)有人猜a:b:2:3時(shí)到最大值，這是錯(cuò)誤的．【答案】【】用9這個(gè)碼以成362880沒(méi)重?cái)?shù)的位數(shù)求些的大約．【考點(diǎn)】公約數(shù)與最大公約數(shù)綜