數(shù)學(xué)建模五步法

一個(gè)汽車制造商售出某品牌的汽車可獲利150美0元,估計(jì)每10美0元的折扣可

以使銷售量提高15%。⑴多大的折扣可以使利潤(rùn)最高？利用五步方法及單變量最優(yōu)化模型。⑵對(duì)你所得的結(jié)果，求關(guān)于所做的 假設(shè)的靈敏性。分別考慮折扣量和相應(yīng)的收益。⑶假設(shè)實(shí)際每 美元的折扣僅可以使銷售量提高 0對(duì)結(jié)果會(huì)有什么影響？如果每 美元的折扣的提高量為 之間的某個(gè)值結(jié)果以如何⑷什么情況下折扣會(huì)導(dǎo)致利潤(rùn)的降低。運(yùn)用五步法求解上面問(wèn)題。⑴提出問(wèn)題問(wèn)題⑵選擇建模方法方法⑶推導(dǎo)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式⑷求解模型⑸回答問(wèn)題。㈠問(wèn)題的提出1.具體問(wèn)題⑴多大的折扣可以使利潤(rùn)最高？利用五步方法及單變量最優(yōu)化模型。⑵對(duì)你所得的結(jié)果，求關(guān)于所做的 假設(shè)的靈敏性。分別考慮折扣量和相應(yīng)的收益。⑶假設(shè)實(shí)際每10美0元的折扣僅可以使銷售量提高10，%對(duì)結(jié)果會(huì)有什么影響？如果每10美0元的折扣的提高量為10%~之1間5的%某個(gè)值,結(jié)果以如何.⑷什么情況下折扣會(huì)導(dǎo)致利潤(rùn)的降低。.符號(hào)的說(shuō)明利潤(rùn)（美兀）；折扣（美元）沒(méi)有折扣時(shí)的銷售量（量）打折后得銷售量（輛）利潤(rùn)每 美元折扣提高的銷售量模型的假設(shè)⑴打折后每輛汽車的利潤(rùn)( X0(美元)；⑵打折后得銷售量q，(1+100€15%)q° (輛)；x⑶利潤(rùn)P，(1500-x)(1+——€15%)q(美元)；100 o⑷折扣活動(dòng)是一次性完成的，即廠家一次性降低100x美元銷售量就提高了15%x。4■問(wèn)題的分析根據(jù)題意，以目前的價(jià)格，銷售量為，利潤(rùn)為n(P-C)，1500，現(xiàn)廠家估計(jì)每10美0元的折扣可以使銷售量提高15，%我們假設(shè)折扣活動(dòng)是一次性完成的，即廠家一次性降低100x美元銷售量就提高了15%x,現(xiàn)需決定的大小,使得廠商獲取最大利潤(rùn)。㈡模型的建立與求解提出問(wèn)題根據(jù)題意，以目前的價(jià)格，銷售量為,利潤(rùn)為n(P-C)，1500，現(xiàn)廠家估計(jì)每10美0元的折扣可以使銷售量提高15，%我們假設(shè)折扣活動(dòng)是一次性完成的，即廠家一次性降低100x美元銷售量就提高了15%x，現(xiàn)需決定的大小,使得廠商獲取最大利潤(rùn)。所以目標(biāo)時(shí)求利潤(rùn)P的最大值。選擇建模方法設(shè)y，f(x)在x?S處是可微的，若f(x)在x處達(dá)到極大或極小則八x)，0。推導(dǎo)模型公式記y,P/q作為求最大值的目標(biāo)變量，x自變量，我們的問(wèn)題就化為在集合0S，｛x:x>0｝上求下面函數(shù)的最大值利用第二步中確定的標(biāo)準(zhǔn)過(guò)程求解這個(gè)模型x對(duì)y，f(x)，(1500-x)(1+而€15%)在區(qū)間X上求最大值。利用軟件作出z€f(x)的圖像。程序：圖折扣與利潤(rùn)的關(guān)系如圖可知y€f(x)關(guān)于是二次的曲線圖，易得f'(x)€,0.003X+1.25,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1250 ( 1250、 (1250 、則在X€ 處f'(X)€0。由在區(qū)間 上單升而在區(qū)間 ,+S\o"CurrentDocument"3 I3丿 I3 丿上單減故點(diǎn)X€空是整體最大值點(diǎn)3\o"CurrentDocument"因?yàn)閒(空)€1760.4從而點(diǎn)(x,yL(空,1760.4?是在整個(gè)實(shí)軸上的整3 I3丿體最大值點(diǎn)也是區(qū)間三上的最大值點(diǎn)。5.回答問(wèn)題⑴由第四步我們得到的答案是在打約 美元的折扣的時(shí)候，可以獲得最大利潤(rùn)。只要第一步假設(shè)成立，這一結(jié)果就是正確的。⑵對(duì)問(wèn)題二進(jìn)行粗靈敏度分析前面我們假定r€0.15(輛百美元),現(xiàn)在假設(shè)r的實(shí)際值是不同的，對(duì)幾個(gè)不同的r值，重復(fù)前面的求解過(guò)程我們會(huì)對(duì)問(wèn)題的解關(guān)于 的敏感程度有所X了解即給定r對(duì)y€f(x)€(1500-x)(1+而r)求導(dǎo)，令f'(x)=0，可得相應(yīng)x值,不同的r值求出x如表。表所打折扣關(guān)于銷售量的增長(zhǎng)速率的靈敏性將表中的數(shù)據(jù)繪制在圖中。根據(jù)圖我們可以看出折扣x對(duì)參數(shù)r是很敏感的⑶由第⑵知折扣x與參數(shù)r之間的關(guān)系為x=750-50,所以當(dāng)每美元的r折扣僅可以使銷售量提高 ，即r=10%時(shí)，折扣為 可以是利潤(rùn)最大，此時(shí)最大利潤(rùn)為 q。將x=750-50代入，可得利潤(rùn)P=5625r,25,750，0 r r利用 軟件做出y=f(r)的圖。程序如下：結(jié)果如下：圖利潤(rùn)關(guān)于銷售量的增長(zhǎng)速率的曲線所以當(dāng)每 美元的折扣的提高量為 ?之間的某個(gè)值時(shí)總利潤(rùn)隨著這個(gè)值得增加而增加。⑷將初始銷售量看成常量，則不的打折利潤(rùn)為，現(xiàn)在利潤(rùn)P=—0.0015x2,1.25x,1500,當(dāng)利潤(rùn)下降時(shí)，就有P<150,0