無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題及答案(二)

習(xí)題答案(二)(20)第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束第十一章總習(xí)題十一一般項(xiàng)趨于零是級(jí)數(shù)收斂的必要條件而不是充分則().收斂.解:一.判斷下列命題的對(duì)錯(cuò):1.若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束條件,例如滿足但發(fā)散.應(yīng)填:錯(cuò).錯(cuò)2.若當(dāng)n足夠大以后則發(fā)散.().解:因?yàn)槿舢?dāng)n足夠大以后則有:所以發(fā)散.應(yīng)填:對(duì).對(duì)3.若發(fā)散,則有:().解:是級(jí)數(shù)發(fā)散的充分條件,而不是必要條件.錯(cuò)發(fā)散,收斂,發(fā)散,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:則2.收斂的充分必要條件為_(kāi)___________________.例如但其一般項(xiàng)滿足4.若().發(fā)散.此命題可用反證法證明.應(yīng)填:對(duì).對(duì)二.填空題1.級(jí)數(shù)的和為_(kāi)______.解:應(yīng)填:應(yīng)填:錯(cuò).因?yàn)樗粤顒t3.解:為級(jí)數(shù)當(dāng)α____時(shí)收斂,由比較審斂法知當(dāng)解:時(shí),的部分和,時(shí)收斂,4.設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束則若則當(dāng)α____時(shí)發(fā)散.當(dāng)若收斂,因此收斂.應(yīng)填:收斂.收斂一個(gè)級(jí)數(shù)若不發(fā)散就收斂,時(shí)取則發(fā)散.發(fā)散.因此當(dāng)收斂.解:的斂散性是_____.發(fā)散.而二.選擇題1.若5.已知即有則發(fā)散,解:則正項(xiàng)級(jí)數(shù)由比較審收斂,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束應(yīng)填:發(fā)散.發(fā)散(A)發(fā)散;(B)條件收斂;(C)絕對(duì)收斂;(D)斂散性不定.由于收斂,而由比較審斂法知收斂,從而絕對(duì)收斂.應(yīng)選(C).C斂法的極限形式知2.設(shè)a為常數(shù),則級(jí)數(shù)解:(A)發(fā)散;(D)斂散性與a有關(guān).(B)條件收斂;(C)絕對(duì)收斂;故應(yīng)選(C).收斂,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由于從而由比較審斂法知收斂.C絕對(duì)收斂.3.設(shè)b是大于零的常數(shù),則級(jí)數(shù)(A)發(fā)散;(B)當(dāng)b≥1時(shí)發(fā)散,當(dāng)b<1時(shí)收斂;(C)收斂;(D)當(dāng)b≥1時(shí)收斂,當(dāng)b<1時(shí)發(fā)散.為交錯(cuò)級(jí)數(shù),由于解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束而根據(jù)萊布尼茲審斂法知此交錯(cuò)級(jí)數(shù)四.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)應(yīng)選(C).證:收斂,也收斂.試證明因正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,由級(jí)數(shù)收斂的必要條件有由數(shù)列極限的定義,對(duì)于給定的正數(shù)ε=1,存在正整數(shù)N,當(dāng)n

>N時(shí),有即有顯然有已知收斂,根據(jù)比較審斂法知收斂.加上有限項(xiàng)仍收斂,收斂,所以這級(jí)數(shù)前面收斂.證畢.證明都收斂,且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束也收斂.五.設(shè)證:已知即有都收斂,由于故正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知也收斂.根據(jù)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)知收斂.證畢.六.證明證:收斂.由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知七.確定常數(shù)a與b的值,使機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證畢.并利用所得結(jié)果求解:令比較系數(shù)得方程組:解得因此有于是八.用級(jí)數(shù)表示循環(huán)小數(shù)解:再將此級(jí)數(shù)之和表示級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),的前n項(xiàng)部分和為為分?jǐn)?shù).九.已知級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:試寫(xiě)出該并求其和.解:的收斂域.

級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束十.試確定級(jí)數(shù)時(shí),發(fā)散.當(dāng)收斂.當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂域同樣為解:十一.試確定級(jí)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束即的收斂域.所給級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)槭?設(shè)的收斂域.求解:當(dāng)當(dāng)時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束時(shí),當(dāng)當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)為時(shí),級(jí)數(shù)為收斂.發(fā)散.收斂域?yàn)?發(fā)散.也發(fā)散.所以十三.求的收斂區(qū)間及和函數(shù).解:設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束∴收斂區(qū)間為上式兩邊積分:上式兩邊求導(dǎo):所以有:十四.不具體寫(xiě)出冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)式,直接確定展開(kāi)成形如的冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:所展冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為:十五.設(shè)在并說(shuō)明理由.試確定該冪級(jí)數(shù)令解:時(shí),原冪級(jí)數(shù)變?yōu)樘帡l件收斂,的收斂半徑,當(dāng)即條件收斂.由阿貝定理知:當(dāng)時(shí),絕對(duì)收斂;當(dāng)時(shí),發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的收斂半徑為十六.若當(dāng)時(shí)收斂,證:當(dāng)時(shí)試指出此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R,發(fā)散,并證明之.的收斂半徑也為令由于在處收斂,所以在處收斂.當(dāng)時(shí)絕對(duì)收斂.發(fā)散.故又由于在處發(fā)散,所以在處發(fā)散.當(dāng)時(shí)的收斂半徑為因此的收斂半徑也為十七.求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束的麥克勞林展開(kāi)式.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)十八.將十九.設(shè)寫(xiě)出f(x)以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)在[-π,π]上的表達(dá)式.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束