電路分析基礎(chǔ)教案(第9章)

第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

第三篇動態(tài)電路的相量分析法和s域分析法1第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

以上討論的相量分析法，把電阻電路的分析方法通過類比運用到正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析中。

但是，相量分析法卻不能解決所有問題，主要表現(xiàn)在功率、能量，頻率響應(yīng)和互感等三個方面。

這些問題將在第九章——第十一章中陸續(xù)討論。2第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

??=？UI=?

對于純電阻單口網(wǎng)絡(luò)，在端紐上電壓和電流的乘積等于該單口網(wǎng)絡(luò)消耗的功率。

但對于不含電源的單口相量模型，如圖所示。

其端紐上電壓相量和電流相量的乘積代表什么？是單口網(wǎng)絡(luò)消耗的功率么？3第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

對于動態(tài)元件，由于其儲能特性，其正弦穩(wěn)態(tài)功率、能量等問題要比電阻電路復(fù)雜，不是簡單的類比就能得到解決的，需要引入一些新的概念。

正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率和能量是隨時間變化的餓，但通常感興趣的只是它們的平均值：即電路中消耗功率的平均值和儲存能量的平均值。三個概念：平均功率、無功功率、功率因素。4第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

§1有關(guān)能量、功率的基本概念

§2基本概念在sss電路中的運用

§3兩個應(yīng)用問題

§4三相電路目前，在動力方面應(yīng)用的交流電，幾乎都采用三相制。三相電路實際上是正弦電流電路中的一種特殊類型。5第一節(jié)基本概念

第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

6

§9-1

基本概念

有關(guān)功率和能量的概念已在前面（第一章和第五章）學(xué)習(xí)了。我們將在此基礎(chǔ)上討論正弦穩(wěn)態(tài)時的特點，因此本小節(jié)將對功率和能量的基本概念做一簡單的回顧。7

§9-1

基本概念

吸收—消耗或儲存。1、功率和能量的方向（1）電荷移動，必有能量交換。

對某一二端元件或單口網(wǎng)絡(luò)，能量w或是流入（吸收）或是流出（提供）。8

§9-1

基本概念

（2）瞬時功率p

定義：瞬時功率p為能量對時間的導(dǎo)數(shù)，是由同一時刻電壓與電流的乘積來確定的，即：p(t)=dw/dt=u(t)·i(t)（3）能量w在時間區(qū)間t0、t1內(nèi)，給予二端元件或單口網(wǎng)絡(luò)的能量為：w(t0,t1)=∫t0t1u(t)i(t)dt=w(t1)-w(t0)9

§9-1

基本概念

（4）瞬時功率p和能量w方向

若u、i為關(guān)聯(lián)參考方向，且p參考方向為流入方向，則p>0（吸收），p<0（提供）。p的方向即w的流動方向：選p參考方向為w的流入方向，則：p>0，吸收w；p<0，

提供w。10

§9-1

基本概念

2、電阻元件R的功率和能量關(guān)系

對于電阻元件，流入的能量將變換為熱量而消耗，不可能再行流出。

因此，對電阻元件，p(t)不可能為負。耗能元件R以先研究p為方便。11

§9-1

基本概念

貯能元件C：貯能元件L：3、動態(tài)元件電感L、電容C的功率和能量關(guān)系

對于動態(tài)元件，流入的能量可以被儲存起來，而在其他時刻再行流出，送回外電路。

儲能可以增加或減少，但儲能不可能為負值。12

§9-1

基本概念

因此，p(t)可為正、負，但動態(tài)元件的儲能卻總為正值。

L、C以先研究w為方便。13

§9-1

基本概念

線性時不變R、L、C的功率和能量的一般關(guān)系式二端元件的VCR功率表達式能量表達式吸收功率消耗功率流入能量流出能量u=Ri或i=GuR2i=Gu2R∫t0t1i2dt或G∫t0t1u2dt0i=Cdu/dtCu(du/dt)=?C/2（du2/dt）0?C[u2(t1)-u2(t0)]?Cu2u=Ldi/dtLi(di/dt)=?L/2（di2/dt）0?L[i2(t1)-i2(t0)]?Li214

§9-1

基本概念

本節(jié)要點：（1）二端元件和單口網(wǎng)絡(luò)的功率和儲能的關(guān)聯(lián)參考方向。（2）R、L、C的功率和能量的一般關(guān)系。15第二節(jié)電阻的平均功率

第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

16

§9-2電阻的平均功率

1、瞬時功率p

設(shè)i=Imcos(ωt+Ψ)，則由歐姆定理得：u=Ri=RImcos(ωt+Ψ)=Umcos(ωt+Ψ)。

則電阻吸收的瞬時功率為：p=UmImcos2(ωt+Ψ)=(1/2)UmIm{1+cos[2(ωt+Ψ)]}=UI{1+cos[2(ωt+Ψ)]}。其中：U=Um/21/2，I=Im/21/2。

由此可見，電阻吸收的瞬時功率是隨時間變化的，變化頻率是電流或電壓頻率的兩倍。p是一個非正弦周期量。17

§9-2電阻的平均功率

由于：i=Imcos(ωt+Ψ)，u=Ri=RImcos(ωt+Ψ)=Umcos(ωt+Ψ)，p=UI{1+cos[2(ωt+Ψ)]}。由于電壓u和電流i同相：當(dāng)u增加時，i也增加，p=ui也隨之增加；當(dāng)u＞0時，i＞0；而當(dāng)u＜0時，i＜0；因此恒有p＞0。

因此，雖然瞬時功率隨時間變化，但其值p≥0，也就是說電阻始終消耗功率。18

§9-2電阻的平均功率

ωt/raduiu,i,pp0π/23π/2UmImUI下圖為初相Ψ=0時的波形圖。i=Imcosωt，u=Umcosωt，p=UI(1+cos2ωt)。

由表達式和上圖可見，電壓或電流變化一個循環(huán)，功率變化了兩個循環(huán)。p是一個非正弦周期量。19

§9-2電阻的平均功率

2、平均功率P

瞬時功率在一周期內(nèi)的平均值，稱為平均功率。記為P，即：

從前面所示的波形圖中，也可以直接從一個（或幾個）周期內(nèi)T求出功率波形所覆蓋的面積為：UmImT/2。

得出平均功率為：P=（1/T)UmImT/2=UI20

§9-2電阻的平均功率

通常所說的功率，都是指平均功率。例如，60W的電燈泡是指其消耗的平均功率。

平均功率又稱為有功功率。

如果把電阻元件有效值電壓、電流之間的關(guān)系U=RI代入，則有：P=I2R

或

P=U2/R=U2G

上式與直流電阻電路中計算電阻消耗功率的式子完全相同。21

§9-2電阻的平均功率

由此可見，如使用有效值，那么電阻元件消耗的平均功率可以按直流電阻電路中所用的公式來計算。

因此，在有關(guān)正弦穩(wěn)態(tài)功率（能量）的計算中，常使用有效值。注意：平均功率的大小與電流的頻率及初相角無關(guān)。22

§9-2電阻的平均功率

本節(jié)要點：（1）電阻的瞬時功率；（2）電阻的平均功率、有用功率。23第三節(jié)電感、電容的平均儲能

第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

24

§9-3電感、電容的平均儲能

1、對于電感元件

設(shè)電感電壓為：u=Umcos(ωt+Ψ)。

考慮電感電流滯后電壓90°，則電流為：i=Imcos(ωt+Ψ-90°)=Imsin(ωt+Ψ)，式中：Im=Um/XL=Um/(ωL)。25

§9-3電感、電容的平均儲能

（1）瞬時功率pLpL=u·i=ImUmcos(ωt+Ψ)·sin(ωt+Ψ)=2UIcos(ωt+Ψ)·sin(ωt+Ψ)=UIsin[2（ωt+Ψ)]

電感吸收的瞬時功率pL是一個頻率為正弦電流或電壓頻率2倍的正弦量，在正弦的一個周期內(nèi)，吸收-釋放能量2次。26

§9-3電感、電容的平均儲能

ωt/raduiu,i,pp0π2π能量流入電感能量流出電感

瞬時功率以2ω的頻率在橫軸上下波動，如下圖所示。27

§9-3電感、電容的平均儲能

0~T/4期間，u＞0，i＞0，因此，p＞0，電感吸收功率。在此期間，電感電流由零逐漸增大到最大值。T/4~T/2期間，u＜0，i＞0，因此，p＜0，電感提供功率。在此期間，電感電流由最大值逐漸減小到零。ωt/radiuu,i,pp0π2π能量流入電感能量流出電感28

§9-3電感、電容的平均儲能

T/2~3T/4期間，u＜0，i＜0，因此，p＞0，電感吸收功率。在此期間，電感電流由零逐漸增大到最大值。T/4~T/2期間，u＞0，i＜0，因此，p＜0，電感提供功率。在此期間，電感電流由最大值逐漸減小到零。ωt/radiuu,i,pp0π2π能量流入電感能量流出電感29

§9-3電感、電容的平均儲能

電感不消耗能量，它只是與外電路進行能量交換，故平均功率P=0。

因此，通常所說的電感不消耗功率就是指它吸收的平均功率為零。ωt/radiuu,i,pp0π2π能量流入電感能量流出電感30

§9-3電感、電容的平均儲能

（2）瞬時能量wL代入正弦量得：wL=(1/2)LIm2sin2(ωt+Ψ)利用三角公式sin2x=[1-cos(2x)]/2，上式可改寫為：wL=(1/2)LI[1-cos2(ωt+Ψ)]

瞬時能量wL隨i2(t)波動，貯能時而增長、時而減少，變化頻率為2ω。wL≥0。31

§9-3電感、電容的平均儲能

（3）電感平均能量ωt/radwLwL=Li2/20π2πWL=LI2/232

§9-3電感、電容的平均儲能

（4）pL周期性變動當(dāng)pL為正值時，能量流入電感，電感儲能增長；當(dāng)pL為負值時，能量流出電感，電感儲能減少。正、負抵消，平均功率PL=0。ωt/raduiu,i,pp0π2π能量流入電感能量流出電感ωt/radwLwL=Li2/20π2πWL=LI2/2通常所說電感不消耗功率，就是指它吸收的平均功率為零。33

§9-3電感、電容的平均儲能

QL=UI=ωLI2=2ωWL

電感的無功功率等于其儲能平均值的2ω倍。儲能越多，能量每秒往返的次數(shù)越多，則能量往返的規(guī)模越大。定義：，單位為乏(var)。（5）無功功率QL

在電工技術(shù)中，引入無功功率的概念，反映外電路與L能量往返的規(guī)模。34

§9-3電感、電容的平均儲能

2、對于電容元件設(shè)：u(t)=Umcos(ωt+Ψ)?？紤]電容電流超前電壓90°，則電流為：i=Imcos(ωt+Ψ+90°)=-Imsin(ωt+Ψ)，式中：Im=Um/XC=(ωC)Um35

§9-3電感、電容的平均儲能

（1）瞬時功率pCpC=u·i=-ImUmcos(ωt+Ψ)·sin(ωt+Ψ)=-2UIcos(ωt+Ψ)·sin(ωt+Ψ)=-UIsin[2（ωt+Ψ)]

電容吸收的瞬時功率pC是一個頻率為正弦電流或電壓頻率2倍的正弦量，在正弦的一個周期內(nèi)，吸收-釋放能量2次。36

§9-3電感、電容的平均儲能

（2）瞬時能量（3）平均能量（4）平均功率零。37

§9-3電感、電容的平均儲能

QC=-UI=-ωCU2=-2ωWC反映外電路與C能量往返的規(guī)模。

電容的無功功率為負，其值等于其儲能平均值的2ω倍。儲能越多，能量每秒往返的次數(shù)越多，則能量往返的規(guī)模越大。定義：（5）無功功率38

§9-3電感、電容的平均儲能

例題：如圖所示正弦穩(wěn)態(tài)電路，已知：R1=5Ω，R2=3Ω，uS(t)=10(2)1/2cos(5t)V，L=1H，C=0.05F，求電阻R1、R2消耗的平均功率和電感L、電容C的平均功率。R2R1+uS-LC解：首先求出XL=ωL=5Ω，XC=-1/(ωC)=-4Ω，?S=10∠0°(V)，39

§9-3電感、電容的平均儲能

因此，畫出電路的相量模型，如圖所示。因此，有：?1=?S/(R1+jXL)=10∠0°/（5+j5）=10∠0°/7.07∠45°=1.41∠-45°(A)，3Ω5Ω+?S-j5Ω-j4?1?2+?C-?2=?S/(R2+jXC)=10∠0°/（3-j4）=10∠0°/5∠-53.1°=2∠53.1°(A)，UC=?2(jXC)=-j4×2∠53.1=8∠-36.9°(V)，40

§9-3電感、電容的平均儲能

3Ω5Ω+?S-j5Ω-j4?1?2+?C-所以，電阻消耗的功率為：P1=I12R1=1.412×5=10(W)，P2=I22R2=22×3=12(W)，所以，電感的平均功率為：PL=LI12/2=1×2/2=1(J)，電容的平均功率為：PC=CI22=0.05×82/2=1.6(J)，電源輸出的平均功率P=UI=P1+P2?41

§9-3電感、電容的平均儲能

本節(jié)要點：（1）電感的瞬時功率、平均功率、無功功率；（2）電容的瞬時功率、平均功率、無功功率。42第四節(jié)單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

43

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

前面討論了三種基本元件正弦穩(wěn)態(tài)的平均功率：電阻元件的平均功率可由它兩端電壓有效值和通過電流有效值的乘積來計算；電感和電容元件平均功率則為零。

對于由這些元件組成的單口網(wǎng)絡(luò)，根據(jù)功率守恒，單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率，可先分別計算網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部各個電阻的平均功率，再求總和，可得整個網(wǎng)絡(luò)的平均功率。44

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

但是，如果單口網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)復(fù)雜或內(nèi)部情況不明，就有必要知道如何從其端口電壓、電流去計算平均功率。

問題是，平均功率是否等于端口電壓有效值和電流有效值的乘積？45

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

解：-j0.624Ω例題：(有效值)相量模型如圖所示。求單口網(wǎng)絡(luò)的P和UI，兩者是否一致？46

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

單口網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流乘積：其值并不等于P。

單口網(wǎng)絡(luò)的P即應(yīng)為其內(nèi)部電阻的消耗功率，故：47

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

∵U包含對P并無“貢獻”的UL、UC在內(nèi)，UI值必然>P值！為什么UI值并不等于P？?=?R+?L+?C=?R+?X48

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

1、單口網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率設(shè)端口電壓為u(t)=Umcos(ωt+Ψu)，端口電流為i(t)=Imcos(ωt+Ψi)，則單口網(wǎng)絡(luò)的瞬時功率p為：p(t)=u(t)i(t)=UmImcos(ωt+Ψu)cos(ωt+Ψi)利用三角公式：cosx·siny=[cos(x-y)+cos(x+y)]/2p(t)=UIcos(Ψu-Ψi)+UIcos(2ωt+Ψu+Ψi)49

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

當(dāng)u＞0，i＞0，或u＜0，i＜0時，單口網(wǎng)絡(luò)吸收功率，這時，p＞0；當(dāng)u＞0，i＜0，或u＜0，i＞0單口網(wǎng)絡(luò)提供功率，這時p＜0；i＞0u＜0p＜0i＜0u＜0p＞0tuip0i＞0u＞0p＞0i＜0u＞0p＜050

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

這表明單口網(wǎng)絡(luò)中的動態(tài)元件與外電路有能量交換；

在一周期內(nèi)，單口網(wǎng)絡(luò)的吸收功率大于提供功率，因此其平均功率不為零。i＞0u＜0p＜0i＜0u＜0p＞0tuip0i＞0u＞0p＞0i＜0u＞0p＜051

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

2、單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率P為：P=(1/T)∫0Tp(t)dt=UIcos(Ψu-Ψi)

不論網(wǎng)絡(luò)內(nèi)是否含有獨立源，均可應(yīng)用上式計算網(wǎng)絡(luò)的平均值。52

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

在一般情況下，若單口網(wǎng)絡(luò)端口電壓與端口電流的相位差角為ψ，則電阻部分的電壓應(yīng)為Ucosψ，計算平均功率公式應(yīng)為:P=UIcosψ

這是正弦穩(wěn)態(tài)電路的一個重要公式。電壓分量Ucosψ稱為電壓的有功分量。ψ為單口網(wǎng)絡(luò)的阻抗角。53

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

若單口網(wǎng)絡(luò)只含有電阻，則電壓與電流的相位差角為零，cosψ=1,則：P=UIcosψ=UI

若單口網(wǎng)絡(luò)只含有電感和電容，則電壓與電流的相位差角為±90°，cosψ=0,則：P=UIcosψ=0

因此，前面討論的R、L、C元件的功率可以看作是等效阻抗的特殊情況。54

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

若單口網(wǎng)絡(luò)除了上述無源元件外還有受控緣，則可能出現(xiàn)|ψ|＞90°，此時，平均功率P為負值，說明該網(wǎng)絡(luò)對外提供能量。

若出現(xiàn)|ψ|≤90°，含有受控源的單口網(wǎng)絡(luò)與不含受控源的單口網(wǎng)絡(luò)的情況相同。55

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

3、視在功率

在電工技術(shù)中，把電壓、電流有效值的乘積UI（即UmIm/2）稱為視在功率，記作S，即：S=UI

為了與平均功率、無功功率有所區(qū)別，視在功率不用瓦特為單位，而用伏安（V·A）為單位。

由此可見，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，平均功率P一般不等于UI，只是在純電阻情況下等于UI。56

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

視在功率一般不等于平均功率，但它反映設(shè)備的容量。

電子或電氣設(shè)備是按照一定的額定電壓和額定電流來設(shè)計和使用的。在設(shè)備使用時，若電壓和電流（即功率）超過額定值，設(shè)備就可能遭到損壞。

因此，電子或電氣設(shè)備都是以額定視在功率來表示其容量的。57

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

以電燈泡、電烙鐵為例，由于其阻抗為純電阻，視在功率與平均功率相等。如60W燈泡、25W電烙鐵，其額定功率是以平均功率給出的。

又如發(fā)電機、變壓器這類設(shè)備，其輸出功率與負載性質(zhì)有關(guān)，它們只能給出額定的輸出功率，而不能給出平均功率的額定值。

因此，對于額定功率為5000V·A的發(fā)電機，若負載為純電阻性的，則發(fā)電機能輸出的功率為5000W；若負載為非純電阻，cosΨ=0.85，則發(fā)電機只能輸出5000×0.85=4250W。58

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

由于：U≥0、I≥0，顯然：ΣSk=ΣUkIk≠0，即正弦穩(wěn)態(tài)電路的視在功率不守恒。59

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

4、功率因素

平均功率一般是小于視在功率的，也就是說要在視在功率功率上打一個折扣才能等于平均功率。

工程上常用到功率因數(shù)來表述，記為λ，即：λ=P/S=cosψ

因此，阻抗角ψ也稱為功率因數(shù)角。60

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

視在功率的意義：視在功率表示電子和電氣設(shè)備的容量。以發(fā)電機為例，它對負載能提供多大的平均功率，則還要看負載的λ是多大而定。例如，容量為117500kV·A的發(fā)電機，在λ=0.85時可發(fā)出100000kW的功率，而在λ=0.6時，只能發(fā)出70500kW的功率。λ太低導(dǎo)致發(fā)電機的容量不能充分利用。61

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

5、平均功率的其他計算方法

平均功率P還可以用電流或電壓來計算。對內(nèi)部不含電源的單口網(wǎng)絡(luò)可根據(jù)其等效阻抗Z的實部與電流的有效值來計算平均功率。即：P=I2Re[Z]；

也可根據(jù)其等效導(dǎo)納Y的實部與電壓的有效值來計算平均功率。即：P=U2Re[Y]；注意：Re[Z]和Re[Y]一般與單口網(wǎng)絡(luò)中所含的所有元件有關(guān)，不只與電阻元件有關(guān)。且：Re[Z]≠1/Re[Y]。62

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

內(nèi)部不含電源的單口網(wǎng)絡(luò)也可根據(jù)功率守恒法則來計算。

一般來說，網(wǎng)絡(luò)吸收的總瞬時功率p應(yīng)為各元件吸收的瞬時功率的總和，即：p=Σpk，其中pk為第k個元件的瞬時功率。

對上式兩端取一周期的平均值，可得：P=ΣPk，其中Pk為第k個元件的平均功率。63

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

因此，對于不含電源的單口網(wǎng)絡(luò)，消耗的平均功率為：P=網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部各電阻消耗的平均功率的總和=端口處所接電源提供的平均功率。64

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

①?L=j2?-j0.624Ω例題：接上題，試求QL、QC及其總和Q。解:?C=-j0.624?由Q=UIsinΨ，Ψ=90°，得：65

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

∴可從單口的電壓、電流，得如下算法，即：

②能否從單口網(wǎng)絡(luò)的電壓、電流計算Q?66

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

重要結(jié)論，平均功率功率因數(shù)無功功率視在功率（a）已知：67

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

(b)能否由??計算？

沒有物理意義！??=U∠Ψu·I∠Ψi=UIcos(Ψu+Ψi)+jUIsin(Ψu+Ψi)??=U∠Ψu·I∠-Ψi=UIcos(Ψu-Ψi)+jUIsin(Ψu-Ψi)=P+jQ68

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

（c）由模型內(nèi)部各元件計算平均(有功)功率守恒無功功率守恒前面的(a)、(b)兩例分別表明上述兩關(guān)系。

因此，對于不含電源的單口網(wǎng)絡(luò)，消耗的平均功率：P=網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部各電阻消耗的平均功率的總和=端口處所接電源提供的平均功率。69

§9-4單口網(wǎng)絡(luò)的平均功率

本節(jié)要點：（1）有功功率及其計算方法；（2）功率因素；（3）視在功率；70第五節(jié)單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

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§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

含有電感、電容元件的單口網(wǎng)絡(luò)與外電路也存在能量往返的現(xiàn)象。

有功分量為UcosΨ與電流I的乘積是電路的平均功率:P=UIcosΨ，

另一分量UsinΨ與電流I的乘積是什么？UsinΨ無功分量？UIsinΨ無功功率？721、無功功率

對于不含獨立源的單口網(wǎng)絡(luò)，從端口上計算無功功率的公式應(yīng)為：Q=UIsinψ其中U、I為在關(guān)聯(lián)參考方向下電壓、電流的有效值，Ψ為電壓和電流的相位差，無功功率的單位為無功伏安，簡稱乏（var）。

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

73當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)是純電阻時：

QR=UIsinψ=0，網(wǎng)絡(luò)不與外電路交換能量；當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)是純電感時：QL=UIsinψ=UIsin90°=UI=I2XL=U2BL；當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)是純電容時：QC=UIsinψ=UIsin-90°=-UI-I2XC=-U2BC；

負號體現(xiàn)電容能量交換的規(guī)律和性質(zhì)和電感能量交換的規(guī)律和性質(zhì)相反。

工程上認為電感吸收無功功率，電容發(fā)出無功功率，將兩者加以區(qū)別。

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

74當(dāng)單口網(wǎng)絡(luò)是一般線性網(wǎng)絡(luò)時：Q=UIsinψ=QL+QC

上式說明，只要Q≠0，除了網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部有磁場儲能和電場儲能之間的交換外，多余部分的能量還與網(wǎng)絡(luò)外部的電路交換。

所以，無源單口網(wǎng)絡(luò)無功功率的大小，反映了電源參與儲能交換的程度。

無功功率Q可以為正或負：當(dāng)Q＞0時，電壓超遷于電流，電路呈感性；當(dāng)Q＜0時，電流超前于電壓，電路呈容性。

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

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對于含有獨立源的單口網(wǎng)絡(luò)，由于電源參與有功功率、無功功率的交換，使問題變得復(fù)雜。

但前述3個功率的定義，仍然適用于含源單口網(wǎng)絡(luò)，可通過斷口電壓、電流得計算獲得。

但功率因素將失去實際意義。

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

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§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

2、無功功率的物理意義Q=2ω(WL-WC)亦即，無功功率Q正比于網(wǎng)絡(luò)中兩種儲能平均值的差額。

這就是說，兩種儲能就其平均值來說，在網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部可自行交換，與外電路往返得能量僅為兩種儲能平均值的差額。

如果兩種儲能儲能平均值恰好相等，則外電路（電源）并不參與能量的交換。77

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

3、無功功率的其他計算方法

無功功率Q還可以用電壓或電流來表示。對內(nèi)部不含電源的單口網(wǎng)絡(luò)可根據(jù)其等效阻抗Z或?qū)Ъ{的需部與電流或電壓的有效值來計算無功功率。即：Q=I2Im[Z]及Q=-U2Im[Y]注意：Im[Z]和Im[Y]一般與單口網(wǎng)絡(luò)中所含的所有元件有關(guān)，不只與電抗元件有關(guān)。且：Im[Z]≠1/Im[Y]78

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

對于內(nèi)部不含電源的單口網(wǎng)絡(luò)，不論如何連接，WL為所有電感平均值儲能的總和，WC為所有電容平均值儲能的總和。因此，不難得出：Q=ΣQk，其中Qk為第k個電感或電容元件的無功功率，電感取正值，電容取負值。此式稱為無功功率守恒。79

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

4、功率三角形

單口網(wǎng)絡(luò)的視在功率S、平均功率P=ScosΨ和無功功率Q=SsinΨ，三者在數(shù)值上的關(guān)系為：22+=QPS需要注意單口網(wǎng)絡(luò)的視在功率：?KSSSk為第k個元件的視在功率。SΨPQ功率三角形這一關(guān)系可由圖示的功率直角三角形表面。805、重要結(jié)論歸納平均功率功率因數(shù)無功功率視在功率（a）已知：?=U∠Ψu，?=I∠Ψi

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

81(b)能否由??計算？

沒有物理意義！??=U∠Ψu·I∠Ψi=UIcos(Ψu+Ψi)+jUIsin(Ψu+Ψi)??=U∠Ψu·I∠-Ψi=UIcos(Ψu-Ψi)+jUIsin(Ψu-Ψi)=P+jQ

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

82（c）由模型內(nèi)部各元件計算平均(有功)功率守恒無功功率守恒前面的(a)、(b)兩例分別表明上述兩關(guān)系。由于U≥0、I≥0，顯然ΣSk=ΣUkIk≠0，即正弦穩(wěn)態(tài)電路的視在功率不守恒。

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

83

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

6、功率因數(shù)λ的提高

在供電電路里，當(dāng)負載功率P一定時，功率因素cosΨ越高，則電流I就越小，從而損耗在傳輸線電阻上的功率越小。

并且，隨著功率因素的提高，設(shè)備容量的利用率也提高。

所以，在電力傳輸過程中，提高功率因素可使輸電效率得以提高，同時也節(jié)約了大量的電能。84

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

實際電子或電氣設(shè)備絕大多數(shù)是電感性負載，而且阻抗角較大，故使實際負載的功率因素較低。例如，日光燈功率因素為0.5，工業(yè)電爐為0.1~0.2，電動機為0.6~0.9。

由于功率因素較低，從而使電源設(shè)備利用不充分，并且增加實際輸電線路的損耗，浪費了電能。85

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

由：Q=QL+QC可知，感性無功功率QL與容性無功功率QC是相互補償?shù)模愿行载撦d（用電設(shè)備多為感性）上并聯(lián)適當(dāng)容量的電容，就可使負載所需的無功功率部分或全部由QC補償，從而減少由電源供給的無功功率。

這樣既不影響負載所需的有功功率，又達到提高功率因素的目的。86

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

①求電源供應(yīng)的電流IL

；②若并聯(lián)C使λ達到1，求C和此時的電源電流I。

220V、50Hz、50kW的感應(yīng)電動機，

λ

=0.5(電感性)。C例題87

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

提問：QL≠0表明什么？解（1）：88

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

為了減少電源與負載間徒勞往返的能量交換，可在負載處并聯(lián)儲能性質(zhì)相反的元件，成為負載的一個組成部分。

如要使總負載的功率因素為1，則電源就可不再提供無功功率。

從能量的角度看，負載中磁場能量的增減與電容中電場的增減，部分地相互補償，從而降低了電源與負載間能量交換。即：利用電容發(fā)出的無功功率QC去補償負載所需的無功功率QL，從而減小總的無功功率。89

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

需要指出的是，實際電器設(shè)備必須滿足負載限定的電壓、電流及有功功率，它們才能正常運行工作。

提高功率因素是在保證對實際負載的工作狀態(tài)無影響的前提下進行的。90

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

λ=1時，∴此時，同樣提供50kW，所需電流下降一半多。解（2）：并聯(lián)C后提問：如何理解提高λ所起的作用？91

§9-5單口網(wǎng)絡(luò)的無功功率

本節(jié)要點：（1）無功功率；（2）功率因素。92第六節(jié)復(fù)功率復(fù)功率守恒第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

93第六節(jié)復(fù)功率復(fù)功率守恒

前面已經(jīng)介紹了正弦電路的瞬時功率等于兩個同頻率正弦量的乘積，其結(jié)果是一個非正弦周期量（嚴格來說，純電阻電路不是正弦量，但對于電感、電容是正弦量，對于阻抗電路當(dāng)然是非正弦量），而且它的頻率也不同于電壓或電流的頻率。因此，不能用相量法分析。

但正弦電路的有功功率、無功功率、視在功率，它們可以通過復(fù)功率表述。為此，引如復(fù)功率概念。94第六節(jié)復(fù)功率復(fù)功率守恒1、復(fù)功率

設(shè)無源單口網(wǎng)絡(luò)的端電壓相量為：?=U∠Ψu，電流相量為?=I∠Ψi

，

則蓋無源單口網(wǎng)絡(luò)所吸收的復(fù)功率定義為：?=??*=UI∠（Ψu-Ψi）=UIcosΨ+jUIsinΨ=P+jQ，式中?*是?的共軛復(fù)數(shù)。?也稱為功率相量，單位用VA。95第六節(jié)復(fù)功率復(fù)功率守恒

復(fù)功率的實部P應(yīng)為網(wǎng)絡(luò)中各電阻元件消耗功率的總和，虛部Q應(yīng)為網(wǎng)絡(luò)中各動態(tài)元件無功功率的代數(shù)和，復(fù)功率的模就是視在功率S，Ψ為電壓相量和電流相量的相位差。

復(fù)功率的吸收或發(fā)出，同樣根據(jù)端口電壓和電流的參考方向來判斷。

需要說明的是，復(fù)功率是功率相兩，但不代表正弦量，也不反映時域范圍內(nèi)的功能關(guān)系，乘積?=??*沒有意義的。96第六節(jié)復(fù)功率復(fù)功率守恒

但是，復(fù)功率是一個輔助計算功率的復(fù)數(shù)，它將正弦穩(wěn)態(tài)電路的3種功率和功率因素統(tǒng)一為一個公式表示，是一個“四歸一”的公式。

復(fù)功率的概念顯然適用于單個元件電路或任何一端口網(wǎng)絡(luò)。只要計算出電路中的電壓和電流相量，各種功率就可以很方便地計算出來。

類似，復(fù)功率也可以定義為：?=?*?。97第六節(jié)復(fù)功率復(fù)功率守恒

對于不含獨立源的一端口網(wǎng)絡(luò)，可以用等效復(fù)阻抗Z或等效復(fù)納Y替代，則復(fù)功率又可表示為：?=??*=（?Z)?*=I2Z?=??*=?(Y?)*=U2Y*

由?、P、Q形成的三角關(guān)系是一個與阻抗三角形相似的直角三角形。上式中：Y=G+jB，Y*=G-jB。98第六節(jié)復(fù)功率復(fù)功率守恒2、復(fù)功率守恒可以證明，對任何復(fù)雜的正弦穩(wěn)態(tài)電路：總的有功功率等于電路各部分有功功率的和；總的無功功率等于電路各部分無功功率的和。99第六節(jié)復(fù)功率復(fù)功率守恒

所以總的復(fù)功率也等于電路各部分復(fù)功率的和，即電路中有功功率、無功功率、復(fù)功率守恒。即有：Σ?=0，ΣP=0，ΣQ=0但視在功率S不守恒，即ΣS≠0。100第六節(jié)復(fù)功率復(fù)功率守恒本節(jié)要點、（1）復(fù)功率的概念；（2）復(fù)功率守恒。101第七節(jié)正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

102

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理

在第四章中，已經(jīng)討論了負載電阻從具有內(nèi)阻的直流電源獲得最大功率的問題。

本節(jié)將討論在正弦穩(wěn)態(tài)時，負載從電源獲得最大功率的條件。103

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理

如圖所示電路，設(shè)交流電源或戴維南等效電源的內(nèi)阻抗為ZS=RS+jXS，負載復(fù)阻抗為ZL=RL+jXL。下面分兩種情況來分析。104

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理1、共軛匹配條件

設(shè)負載的電阻及電抗均可獨立變化?？梢宰C明，負載獲得最大功率的條件是：XL=-XS,以及RL=RS，

也就是說負載阻抗為電源內(nèi)阻抗的共軛復(fù)數(shù)，即：ZL=ZS*。105

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理

滿足這一條件時，負載阻抗和電源內(nèi)阻抗為最大功率匹配、最佳匹配或共軛匹配。此時，最大功率為：PLmax=US2/(4RS)106

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理

可以證明，當(dāng)負載獲得最大功率時，傳輸效率僅為η=50%。

因為效率太低，在電力系統(tǒng)中是不允許工作在這種情況下；同時，因為電源復(fù)內(nèi)阻很小，電流很大，回損壞電源和負載。

但在電子工程中，則要求工作這種狀態(tài)，以獲得最大功率。107

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理2、模值匹配條件

設(shè)負載的阻抗角固定而?？勺?，可以證明，負載獲得最大功率的條件是：負載阻抗的模應(yīng)與電源內(nèi)阻抗的模相等，稱為模值匹配。

當(dāng)負載是純電阻時，即|ZL|=RS時，最大功率的條件是：22+=XSRSRS而不是：RL=RS，這是應(yīng)當(dāng)注意的。108

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理

顯然，此時所得的最大功率并非可能獲得的最大功率。

如果阻抗角也可調(diào)節(jié)，還能使負載得到更大的功率。

利用理想變壓器來使負載獲得最大功率，就屬于這一情況。109

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理求負載Z由具有內(nèi)阻抗ZS=5+j10Ω的電源獲得的功率。

例題時；(1)當(dāng)(2)為利用教材第四章的“最大功率傳遞定理”而使Z=5-j10Ω，從而獲得最大功率時；(3)當(dāng)Z=R=|ZS|求情況(2)時一小時內(nèi)，負載消耗的能量。110

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理解：(2)(1)共軛匹配

111

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理(3)內(nèi)阻抗模=當(dāng)P=1000W時，模匹配

解112

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理

共軛匹配時，所得功率為極值。

負載受限制或有其他限制時，只能得到該限制下的最大值，小于這一極值！

本題電路在共軛匹配時，傳輸效率僅為50%，在給定信號源ZS且不可控時，這是最佳選擇。在電力系統(tǒng)中，設(shè)計發(fā)電機時，應(yīng)盡量減小內(nèi)阻，以提高傳輸效率！113

§9-7正弦穩(wěn)態(tài)最大功率傳遞定理本節(jié)要點：（1）共軛匹配；（2）模值匹配。114第八節(jié)三相電路第九章正弦穩(wěn)態(tài)功率和能量三相電路

115

§9-8三相電路

交流電在動力方面的應(yīng)用，幾乎都是屬于所謂的三相制。這是因為三相制在提高發(fā)電效率、降低輸電成本和用電等方面都有許多優(yōu)點。因此，自19世紀末以來，三相制被世界各國廣泛使用。

三相電路是復(fù)雜正弦電路的一種特殊形式。

目前工業(yè)用電廣泛采用三相制，而生活用電是取自三相制中的一相。116

§9-8三相電路

三相電路主要由三相電源、三相負載和三相輸電線路三部分組成。

三相電路分析，以對稱三相電路分析為主。而且對稱三相電路的分析方法可以推廣到非對稱三相電路。117

§9-8三相電路1、三相電源基本概念

三相電源是由三個同頻率、等振幅而相位依次相差120°的正弦電壓源按一定連接方式（星形Y或三角形Δ）組成的電源。118

§9-8三相電路三相交流發(fā)電機如示意圖所示。定子內(nèi)側(cè)周圍旋置三組相同的繞組，其端鈕分別為aa’、bb’、cc’，各占據(jù)定子內(nèi)側(cè)的1/3空間。當(dāng)轉(zhuǎn)子（磁鐵）以角速度ω逆時針旋轉(zhuǎn)時，磁通依次穿過這三個繞組感應(yīng)出隨時間按正弦方式變化的電壓。119

§9-8三相電路這三個電壓是同頻率、等振幅而相位不同的。顯然，uc'c滯后uaa'角60°，ubb'滯后uaa'角120°，波形如圖所示。120

§9-8三相電路

如果設(shè)a、b、c三端各為相對應(yīng)繞組電壓參考方向的正端，并考慮到uc'c=-ucc'，亦即uc'c和ucc'反相180°，變可得uaa'、ubb'、ucc'的波形如圖所示。121

§9-8三相電路2、對稱三相電壓

三相電路的主體是作為電源的三相發(fā)電機，它包含三個繞組，所產(chǎn)生的三相電壓為：

這三組電壓是三個同頻率、等振幅而相位依次相差120°的正弦電壓，稱為對稱三相電壓。122

§9-8三相電路uaa'、ubb'、ucc'常寫為ua、ub、uc，并相應(yīng)地稱為a相電壓、b相電壓、c相電壓。其有效值相量分別為：?a=UP?b=UP∠-120°?c=UP∠120°其中UP為有效值，相量如圖所示。123

§9-8三相電路

對稱三相電壓的重要特點：

在任意瞬間，對稱三相電壓之和恒等于零。即:uaa+ubb+ucc=0也即：cosωt+cos(ωt-120°)+cos(ωt+120°)=0由相量的線性性質(zhì)可知：?a+?b+?c=0124

§9-8三相電路3、三個繞組作Y形或Δ形聯(lián)接后向外電路供電（1）如果把三相發(fā)電機三個定子繞組的末端連在一個公共點n上，就構(gòu)成了一個對稱Y形聯(lián)結(jié)的三相發(fā)電機，如圖所示。

公共點n稱為中性點，a、b、c三端與輸電線相連，輸送能量到負載，這三根輸電線稱為相線或火線。125

§9-8三相電路

圖中每個電源（即每一定子繞組）的電壓稱為相電壓，即：ua、ub、uc。

圖中相線之間的電壓稱為線電壓，即：uab、ubc、uca。

顯然兩者的關(guān)系為：uab=ua-ub，ubc=ub-uc，uca=uc-ua。126

§9-8三相電路即：線電壓=相電壓

由此可得Y形聯(lián)接情況下線電壓與相電壓的相量關(guān)系，如圖所示。

若相電壓220V，則線電壓為380V。127

§9-8三相電路另外，由相量圖可知，若以?a為參考相量，則:?ab=?p∠30°?bc=?p∠-90°?ca=?p∠150°uab(t)=Upmcos(ωt+30°)ubc(t)=Upmcos(ωt-90°)uca(t)=Upmcos(ωt+150°)128

§9-8三相電路

如果把線電壓相量平移，相量圖也可繪制成圖？所示。129

§9-8三相電路（2）如果把三個繞組的始、末端順次相接，在從各連接點a、b、c引出相線來，就構(gòu)成一個△形聯(lián)結(jié)的三相電源，如圖所示。

在這種接法中，沒有中性點，有：線電壓=相電壓由于：?a+?b+?c=0，△形電路中無環(huán)流。130

§9-8三相電路

必需注意：如果任何一相線組接反，三個相電壓之和將不為零，因而△形聯(lián)結(jié)電路的閉合回路中將產(chǎn)生極大的短路環(huán)流，造成嚴重惡果。相量圖如圖所示。131

§9-8三相電路4、三相負載

三相負載也可作Y形或△形聯(lián)接，所謂對稱三相負載是由三個相同的負載組成的，每一個負載構(gòu)成三相負載的一相。

結(jié)合電源和負載，有：Y-Y聯(lián)結(jié)對稱三相電路；Y-Δ聯(lián)結(jié)對稱三相電路；Δ-Y聯(lián)結(jié)對稱三相電路；Δ-Δ聯(lián)結(jié)對稱三相電路。132

§9-8三相電路5、Y—Y聯(lián)接對稱三相電路（1）Y-Y聯(lián)結(jié)對稱三相電路結(jié)構(gòu)′

設(shè)每相負載的阻抗為Z=|Z|∠ψ，電源中性點n和負載中性點n'的連接線稱為中性線。133

§9-8三相電路∴?nn'=0設(shè)中性線的阻抗為Zn，由節(jié)點分析法可知：′由于：?a+?b+?c=0不論中線Zn多大，n點和n'點是同電位點。134′

§9-8三相電路（2）相電流

可分離出一相計算，如a相的相電流為：設(shè)：其他兩相電流可推知為：135

§9-8三相電路由相量圖可知，三個相電流?a、?b、?c之和為零。因此，如在中性點n或n'處運用KCL，就可得出中性線電流為零。

相量如圖所示，每相中的電流稱為相電流，而相線電流則稱為線電流。在Y形連接中，線電流即相電流。136

§9-8三相電路

所以，在對稱三相電路中，取消中性線對電路不會產(chǎn)生影響。

由中性線得三相制稱為三相四線制，而取消中性線得三相制稱為三相三線制。

由于在對稱三相電路中，?nn‘=0，

因此，在分析這類電路時，不論原來有沒有中性線，也不論中性線得阻抗是多少，都可以設(shè)想在nn‘間用一根理想導(dǎo)線連接起來。然后運用上式先求出一相得電流，再求出其他兩相得電流，而不必按原電路進行計算。137

§9-8三相電路（3）三相負載功率

每相負載功率為：其中IP、IL分別為相電流、線電流的有效值，在Y形聯(lián)結(jié)中兩者是相等的。三相總功率為：P總=3P=3UPIPcosψ=ULILcosψ138

§9-8三相電路

三相電路一般可用節(jié)點法或網(wǎng)孔法分析，但對對稱電路可采用分離一相，推知其他兩相的簡化方法?！?39

§9-8三相電路

由此可見：三相電路一般可用節(jié)點法或網(wǎng)孔法分析，但對對稱電路可采用分離一相，推知其他兩相的簡化方法。

如果在Y-Y聯(lián)結(jié)電路中，負載不對稱，但電源對稱，有中性線，且其阻抗可忽略不計，則仍可分離一相進行計算，但不能由一相的結(jié)果推知其他兩相。140

§9-8三相電路6、對稱Δ形聯(lián)結(jié)負載和對稱三相電源的組合

當(dāng)只要求分析負載的電壓和電流時，只需要知道電源的線電壓，而不必追究電源的具體接法。

和電源與負載Y-Y形接法的情況一樣，電源與負載無論是Δ-Δ形接法，還是Y-Δ形接法，或是Δ-Y接法，只要構(gòu)成對稱三相電路，由于各相應(yīng)電壓、電流都具有對稱性，所以分析電路時只要計算一組，即可知其余兩相結(jié)果。141

§9-8三相電路設(shè)Δ形聯(lián)結(jié)對稱負載如圖所示。

由于