CG-7 幾何造型技術

第7章幾何造型技術主要內容：7.0三維圖形學的基本問題7.1三維模型7.2實體造型技術7.3分形幾何法11、如何在二維屏幕上顯示三維物體顯示器屏幕、圖紙等是二維的顯示對象是三維的解決方法投影7.0三維圖形學的基本問題2二、如何反映遮擋關系物體之間或物體的不同部分之間存在相互遮擋關系遮擋關系是空間位置關系的重要組成部分解決方法消除隱藏面與隱藏線7.0三維圖形學的基本問題3三、如何產生真實感圖形人們觀察現(xiàn)實世界產生的真實感來源于空間位置關系近大遠小的透視關系和遮擋關系物體表面顏色光線傳播引起的物體表面顏色的自然分布解決方法建立光照明模型、開發(fā)真實感圖形繪制方法7.0三維圖形學的基本問題4三維圖形學的基本研究內容用二維來表示三維（投影）消除隱藏面與隱藏線（消隱處理）建立光照明模型、真實感圖形繪制方法（真實感圖形設計）7.0三維圖形學的基本問題57.1三維模型模型分類6一、數據模型完全以數據來描述用8個頂點表示的立方體A1(0,0,0)A2(0,0,1)…A8(1,1,1)以中心點和半徑表示的球O（0，0，0）R＝707.1三維模型71、線框模型線框模型將形體表示成一組輪廓線的集合與形體之間不存在一一對應關系是真實物體的高度抽象表示簡單、處理速度快7.1三維模型8頂點坐標值1

0,0,12

1,0,13

1,1,14

0,1,05

0,0,06

1,0,07

1,1,08

0,1,0棱邊頂點號

1 1,22 2,33 3,44 4,15 5,66 6,77 7,88 8,59 1,57 2,611 3,712 4,87.1三維模型線框模型的數據結構

9線框模型的特點線框模型不表示面的信息對線框模型描述的實體可能有不同的理解線框模型不能表示出物體的完整信息三維線框模型可能表示不出實體的輪廓線7.1三維模型102、表面模型表面模型將形體表示成一組表面的集合形體與其表面一一對應，適合于真實感顯示7.1三維模型11表面模型的數據結構在線框模型的基礎上附加一個反映有關面的信息表表面棱邊表

11,2,3,425,6,7,831,7,5,942,11,6,753,12,7,1164,9,8,127.1三維模型123、實體模型用來描述實體，主要用于CAD/CAM包含了描述一個實體所需的較多信息，如幾何信息、拓撲信息7.1三維模型13數據建模的特點優(yōu)點：數據建模方法歷史最久，建立在牢固的數學基礎上在需要精確描述的場合中（如CAD）,有其它方法無法替代的作用缺點：如果場景復雜，建模困難繪制速度慢7.1三維模型14二、過程模型(基于分形建模)對于自然景物的模擬非常逼真尤其在生態(tài)環(huán)境的模擬方面，是當前最有效的方法精確性不高分形描述的是具有自相似性的物體，所以它無法達到幾何模型的精確性算法比較復雜分形中由于細節(jié)的無限性，在繪制時，相交檢測、可視點的測定等算法比較復雜7.1三維模型157.2實體造型技術實體造型技術7.2.1實體造型7.2.2實體的正則性7.2.3實體造型技術167.2.1實體造型造型技術研究如何在計算機中建立適當的模型，來表示真實世界的物體三維歐氏幾何實體描述基本三維幾何實體由點、線、面構成復雜三維幾何實體由簡單的基本三維幾何實體組合構成17正則實體指三維幾何實體中不包含獨立存在的低維部分，如二維的面、一維的線、零維的點。也就是通常所說的懸面、懸邊或孤點7.2.2實體的正則性18幾何元素正則形體面邊點是形體表面一部分只有兩個鄰面至少和三個面（或三條邊）鄰接7.2.2實體的正則性正則實體的要求19集合運算集合運算（并、交、差）是構造形體的基本方法正則形體經過集合運算后，可能會產生懸邊、懸面二個二維圖形的交產生一個退化的結果7.2.2實體的正則性20正則化處理正則化處理是保證集合運算的結果仍是一個正則形體，即丟棄懸邊、懸面等7.2.2實體的正則性21歐拉公式簡單多面體（即三維實體上沒有孔）頂點（v）－邊數（e）＋面數（f）＝27.2.2實體的正則性22任意的正則形體引入形體的其它幾個參數：實體所有面上的內孔（內環(huán)）數(r)實體的通孔數(h)實體個數(s)則形體滿足公式：頂點－邊數＋面數－環(huán)數＋2通孔數－2實體數=0即：v-e+f-r+2h-2s=07.2.2實體的正則性23歐拉公式：v-e+f-r+2h-2s=0如圖a中，v=8、e=12、f=6、r=0、h=0、s=1滿足歐拉公式如圖b中，v=14、e=21、f=9、r=2、h=1、s=1滿足歐拉公式7.2.2實體的正則性24257.2.3實體造型技術實體造型技術分類：（一）實體分解表示（二）實體構造表示（三）實體邊界表示26表示原理將形體按某種規(guī)則分解為小的易于描述的部分每一小部分又可分為更小的部分直至每一小部分都能夠直接描述為止表示方法1、空間位置枚舉2、八叉樹法3、單元分解（一）實體分解表示271、空間位置枚舉法選擇一個立方體空間，將它均勻劃分（一）

實體分解表示28空間位置枚舉表示用三維數組C[i][j][k]表示物體，數組中的元素與單位小立方體一一對應當C[i][j][k]=1時，表示對應的小立方體被物體占據當C[i][j][k]=0時，表示對應的小立方體沒有被物體占據（一）

實體分解表示29空間位置枚舉法的優(yōu)點可以表示任何物體容易實現(xiàn)物體間的集合運算容易計算物體的整體特征，如體積等空間位置枚舉法的缺點占用大量的存儲空間，如1024*1024*1024=1Gb沒有邊界信息，不適于圖形顯示對物體進行幾何變換困難，如非90度的旋轉變換是物體的非精確表示（一）

實體分解表示302、八叉樹法對空間位置枚舉表示的空間分割方法作了改進均勻分割自適應分割建立過程八叉樹的根節(jié)點對應整個物體空間；如果它完全被占據，將該節(jié)點標記為F，算法結束；如果它內部為空，將該節(jié)點標記為E，算法結束；如果它被物體部分占據，將該節(jié)點標記為P,并將它分割成8個子立方體對每一個子立方體進行上述同樣的處理（一）

實體分解表示31

（一）

實體分解表示32八叉樹法的優(yōu)點可以表示任何物體容易實現(xiàn)物體間的集合運算容易計算物體的整體性質，如體積等八叉樹法的缺點沒有邊界信息，不適于圖形顯示對物體進行幾何變換困難是物體的非精確表示（一）

實體分解表示33（一）

實體分解表示3、單元分解表示對空間位置枚舉表示的空間分割方法作了改進單一體素多種體素34（一）

實體分解表示單元分解表示的優(yōu)點表示簡單容易實現(xiàn)幾何變換基本體素可以按需選擇，表示范圍較廣可以精確表示物體單元分解表示的缺點物體的表示不唯一物體的有效性難以保證35（一）

實體分解表示三種空間分割方法的比較空間位置枚舉表示同樣大小立方體粘合在一起表示物體八叉樹表示不同大小的立方體粘合在一起表示物體單元分解表示不同形狀的幾何體粘合在一起表示物體36（二）實體構造表示表示原理按照實體生成過程來定義形體的方法表示方法1、掃描表示2、構造實體幾何(CSG)表示3、特征表示371、掃描法掃描表示一個基體（一般是一個封閉的平面輪廓）沿某一路徑運動而產生形體掃描表示的兩個分量一個是被運動的基體，另一個是基體運動的路徑運動方式：平移、旋轉、對稱等基體的形狀可以不變，也可以變化如果變化，還要給出變化的規(guī)律（二）

實體構造表示38平移掃描將一個二維區(qū)域沿著一個矢量方向推移（二）

實體構造表示39旋轉掃描將一個二維區(qū)域繞旋轉軸旋轉一周（二）

實體構造表示40（二）

實體構造表示將物體A沿著軌跡P推移得到物體B，稱B為sweep體41掃描法的應用三維幾何實體的繪制拉伸、旋轉三維幾何實體的編輯拉伸面、著色面曲面的繪制拉伸、旋轉（二）

實體構造表示42（二）

實體構造表示2、構造實體幾何(CSG)表示CSG（ConstructiveSolidGeometry）表示方法將簡單的基本幾何實體通過集合的交、并、差運算產生復雜的幾何實體常用的基本幾何實體長方體、球體、圓柱體、圓錐體、圓環(huán)體等復雜幾何實體可由基本幾何實體經集合運算生成生成過程可以用二叉樹（CSG樹）來描述43二叉樹（CSG樹）（二）

實體構造表示44CSG樹構造法的優(yōu)點表示簡單、直觀可做為圖形輸入手段容易計算物體的整體性質CSG樹構造法的缺點表示不唯一不能直接用于顯示求交計算麻煩（二）實體構造表示453、特征表示用一組特征參數表示一族類似的物體特征包括形狀特征、材料特征等適用于工業(yè)上標準件的表示（二）

實體構造表示46邊界表示的原理物體的邊界與物體一一對應，確定了物體的邊界也就確定了物體本身。按照體－面－環(huán)－邊－點的層次，詳細記錄構成形體的所有幾何元素的幾何信息及其拓撲關系邊界表示（BoundaryRepresentation）是幾何造型中最成熟、無二義的表示法（三）實體邊界表示47（三）實體邊界表示48邊界表示的優(yōu)點精確表示物體表示能力強幾何變換容易適于顯示處理邊界表示的缺點表示復雜有效性難以保證集合運算復雜（三）實體邊界表示49分解表示掃描表示特征表示邊界表示構造實體幾何表示精確性表示域唯一性封閉性簡潔性輸入輸出近似精確有條件精確有條件精確有條件精確有限有限任何實體任何實體有條件有限唯一不唯一封閉封閉不封閉不能進行集合運算有條件復雜簡潔簡潔簡潔介于兩者之間面向用戶面向用戶面向用戶支持加工支持計算幾種方法的比較507.3分形幾何方法分形幾何方法歐氏幾何主要描述的是直線、平滑的曲線平面及邊界整齊的平滑曲面對于復雜的自然景象，難以表示諸如山、樹、草、火、云、波浪等，因為從歐氏幾何來看，它們是極端無規(guī)則的為了解決復雜圖形生成問題，可采用分形造型方法51分形造型對模型的基本要求：能“逼真”地“再現(xiàn)”自然景象“逼真”是指從視覺效果上逼真“再現(xiàn)”即不要求完全一致⒉模型不依賴于觀察距離距離遠時可給出大致輪廓和一般細節(jié)距離近時能給出更豐富細節(jié)3.模型應便于交互地修改4.圖形生成的效率要高5.模型適用范圍應盡可能地廣7.3分形幾何方法52例1：Koch雪花曲線將一個等邊三角形的三邊都三等分，在中間的那一段再凸起一個小三角形，這樣一直下去。

Koch曲線的形狀類似于雪花，因此也稱為雪花曲線7.3分形幾何方法537.3分形幾何方法54Vonkochsnowflake55例2:測量海岸線長度用一個1000m的尺子,可以得到一個長度為L1測量會漏掉許多小于1000m的小灣，因而結果不精確如果尺子縮到1m，得到一個新的結果L2，顯然L2>L1一般來說，如果用長度為r的尺子來量，將會得到一個與r有關的數值L(r)與Koch的雪花一樣r→0，L(r)→∞海岸線長度是不確定的，它與測量用的尺子長度有關7.3分形幾何方法56Koch雪花和海岸線長度的共同特點：無限細節(jié)任意小的局部范圍內都有無限的細節(jié)，