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文檔簡介
1第三章
無限長單位脈沖響應(yīng)(IIR)
濾波器的設(shè)計方法
2根據(jù)模擬濾波器設(shè)計IIR濾波器
利用模擬濾波器設(shè)計數(shù)字濾波器,就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計數(shù)字濾波器傳遞函數(shù)H(z),這歸根到底是一個由S平面到Z平面的變換。這種映射變換應(yīng)遵循兩個基本原則:(1)H(z)的頻響要能模仿Ha(s)的頻響,即S平面的虛軸應(yīng)映射到Z平面的單位圓上。(2)Ha(s)的因果穩(wěn)定性映射成H(z)后保持不變,即S平面的左半平面Re{S}<0應(yīng)映射到Z平面的單位圓以內(nèi)|Z|<1。脈沖響應(yīng)不變法根據(jù)模擬濾波器設(shè)計IIR濾波器4脈沖響應(yīng)不變法5脈沖響應(yīng)不變法極點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系:6例題將一個具有如下系統(tǒng)函數(shù)的模擬濾波器數(shù)字化。解模擬濾波器的頻率響應(yīng)為:設(shè)s=σ+jΩ,z=rejω,
rejω=e
(σ+jΩ)T=eσT
ejΩT
r=eσT
ω=ΩT
分析脈沖響應(yīng)不變法的性能jΩ0S平面3/T-3/T-/T/Ts=+jΩ(a)Im[z]Re[z]0|z|=r=1z=re
jωω(b)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器方法是:如果已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)1.將Ha(s)部分分式展開,2.再按公式得到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。如果已知數(shù)字濾波器的設(shè)計指標(biāo):ωp,Ap,ωr,Ar1、將數(shù)字濾波器性能指標(biāo)變換為中間模擬濾波器的性能指標(biāo)。采用:2、設(shè)計出符合要求的中間模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。3、將Ha(s)展成部分分式形式,利用公式求H(z)。10舉例1112
這樣就看到,脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時,首先對Ha(s)做周期延拓,然后再經(jīng)過z=esT的映射關(guān)系,完成s平面到z平面的映射。即根據(jù)理想采樣序列拉氏變換與模擬信號拉氏變換的關(guān)系13
這時數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能不失真地重現(xiàn)模擬濾波器的頻響(存在于折疊頻率Ωs/2以內(nèi))
如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限于折疊頻率以內(nèi)的即
但是,任何一個實際的模擬濾波器的頻率響應(yīng)都不可能真正是帶限的,這就不可避免地存在頻譜的混淆失真,因而模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大,這個失真就越小。1415因此,此法只適用于帶限或高頻衰減大的頻響特性的模擬濾波器,如衰減特性很好的帶通或低通。Fs越大,則相鄰周期間重復(fù)的頻譜相隔越遠(yuǎn),混疊也就越小。而高通和帶阻濾波器,頻率特性在fs/2頻率部分不衰減,因此完全混疊在低頻響應(yīng)中。所以脈沖響應(yīng)不變法不能用來設(shè)計帶阻或高通濾波器,否則要加保護(hù)濾波器①如果Ha(s)是穩(wěn)定的,即其極點(diǎn)全部都在s左半平面內(nèi),由映射關(guān)系可知,對應(yīng)的H(z)的極點(diǎn)也全部都在單位圓內(nèi),所以H(z)也是穩(wěn)定的??傊?,考察脈沖響應(yīng)不變法,可以得到以下結(jié)論:②H(s)的虛軸均映射H(z)的單位圓上,在此范圍內(nèi)ω與Ω之間呈現(xiàn)線性的對應(yīng)關(guān)系,即ω=ΩT。因而使數(shù)字濾波器的頻率特性基本與模擬濾波器的相同。③由于頻率混疊效應(yīng),所以脈沖響應(yīng)不變法只適用于帶限的模擬濾波器。例如低通濾波器和帶通濾波器。高通和帶阻濾波器不宜采用脈沖響應(yīng)不變法。17
由此建立s平面與z平面一一對應(yīng)的單值關(guān)系,消除多值性,也就消除了混淆現(xiàn)象。18
這里c是待定常數(shù),一般取c=2/T,不同的c
,可使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同頻率點(diǎn)有對應(yīng)關(guān)系。
為了將s平面的jΩ軸壓縮到平面jΩ1軸上的
-π/T到π/T
一段上,可通過以下的正切變換實現(xiàn):192、變換關(guān)系TsTsTsTsTsTseeceeeecTscssss~~2/~2/~2/~2/~11)2~(tan
,~
)1(----+-=+-==?
s
存在下列關(guān)系設(shè)?~202~為邊界的水平窄區(qū)內(nèi)平面內(nèi)以平面映射成即將sssW±\2、變換關(guān)系2~
,2~
,22
,時時當(dāng)ssTTTW=?W+¥?WW-=-?W\?-W-¥?Wppp~21由s到z為一一對應(yīng),且單值對應(yīng)2、變換關(guān)系雙線性變換法的轉(zhuǎn)換性能 可以求出
將s和z看成s平面和z平面的一般復(fù)變量
s=σ+jΩ,z=rejω
σ=0時,r=1,s平面的虛軸映射為z平面的單位圓;σ<0時,r<1,s平面的左半映射為z平面的單位圓內(nèi);σ>0時,r>1,s平面的右半映射為z平面的單位圓外。所以如果模擬濾波器因果穩(wěn)定,則用雙線性變換法將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)后仍然因果穩(wěn)定。24(1)無混疊誤差(2)頻率產(chǎn)生失真由于頻率間的非線性關(guān)系所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變。25考慮圖雙線性變換的頻率非線性關(guān)系
264、頻率預(yù)畸
利用關(guān)系式:
將所要設(shè)計的數(shù)字濾波器臨界頻率點(diǎn),變換成對應(yīng)的模擬域頻率,利用此設(shè)計模擬濾波器,再通過雙線性變換,即可得到所需的數(shù)字濾波器,如圖所示。T可以隨便選取,代入轉(zhuǎn)換表達(dá)式會約掉
若只關(guān)心濾波器的幅頻特性,為了補(bǔ)償頻率的畸變,讓變換后的位置不產(chǎn)生變化。對特定頻率(Ωp,Ωr,Ωc)先進(jìn)行預(yù)畸。27雙線性變換時頻率的預(yù)畸變28294218.01433.1)1(674.022+-+zzz30如果已知數(shù)字濾波器的設(shè)計指標(biāo)ωp,Ap,ωr,Ar1、將數(shù)字濾波器性能指標(biāo)變換為中間模擬濾波器的性能指標(biāo)。采用:2、求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)3、將Ha(s)按公式得到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)(T可以隨便選取,所以為了計算方便,一般取T=2,這樣c=1)預(yù)畸變用雙線性變換法設(shè)計數(shù)字濾波器方法是:如果已知模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)將Ha(s)按公式得到數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。(1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)ωp、Ap、ωr、A
r(2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。這里主要是邊界頻率ωp和ωr的轉(zhuǎn)換,Ap和Ar指標(biāo)不變。(3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計過渡模擬低通濾波器(4)用所選的轉(zhuǎn)換方法,將模擬濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。例2
設(shè)采樣周期T=250μs(fs=4kHz),設(shè)計一個三階巴特沃思LP濾波器,其3dB截止頻率fc=1kHz。分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法求解。解:a.脈沖響應(yīng)不變法由于脈沖響應(yīng)不變法的頻率關(guān)系是線性的,所以可直接按Ωc=2πfc設(shè)計Ha(s)。以截止頻率Ωc歸一化的三階巴特沃思濾波器的傳遞函數(shù)為以s/Ωc
代替其歸一化頻率,得:
為進(jìn)行脈沖響應(yīng)不變法變換,計算Ha(s)分母多項式的根,將上式寫成部分分式結(jié)構(gòu):對照前面學(xué)過的脈沖響應(yīng)不變法中的部分分式形式。有36將上式部分系數(shù)代入數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù):并將Ωc=ωc
/T代入,得:合并上式后兩項,并將ωc=2πfcT=0.5π代入,計算得:37
b.雙線性變換法
(一)首先確定數(shù)字域臨界頻率ωc=2πfcT=0.5π(二)根據(jù)頻率的非線性關(guān)系,確定預(yù)畸的模擬濾波器臨界頻率(三)以s/Ωc
代入歸一化的三階巴特沃模擬器傳遞函數(shù)并將Ωc=2/T
代入上式。(四)將雙線性變換關(guān)系代入,求H(z)。3
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