ch4-1(3)變號級數(shù)的審斂準(zhǔn)則

第4章無窮級數(shù)無窮級數(shù)無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具表示函數(shù)研究性質(zhì)數(shù)值計算數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)付氏級數(shù)函數(shù)項級數(shù)2008年12月25日1南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系第4章無窮級數(shù)第1節(jié)常數(shù)項級數(shù)第2節(jié)函數(shù)項級數(shù)第3節(jié)冪級數(shù)第4節(jié)Fourier級數(shù)2008年12月25日2南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系第1節(jié)常數(shù)項級數(shù)1.1常數(shù)項級數(shù)的概念、性質(zhì)與收斂原理1.2正項級數(shù)的審斂準(zhǔn)則1.3變號級數(shù)的審斂準(zhǔn)則2008年12月25日3南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系1.3變號級數(shù)的審斂準(zhǔn)則2008年12月25日4南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系1交錯級數(shù)及其審斂準(zhǔn)則2絕對收斂與條件收斂3DirichletandAbel判別法1.3變號級數(shù)的審斂準(zhǔn)則4絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)2008年12月25日5南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系定義1:

正、負(fù)項交替出現(xiàn)的級數(shù)稱為交錯級數(shù).1交錯級數(shù)及其斂散性2008年12月25日6南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系證明2008年12月25日7南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系滿足收斂的兩個條件,定理證畢.2008年12月25日8南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系解2008年12月25日9南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系解原級數(shù)收斂.2008年12月25日10南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系收斂!2008年12月25日11南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系存在!存在!2008年12月25日12南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系？2絕對收斂與條件收斂2008年12月25日13南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系證明注：該定理可由柯西收斂原理證明（見P.273)2008年12月25日14南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系定理1.9的作用：任意項級數(shù)正項級數(shù)2008年12月25日15南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系解故由定理知原級數(shù)絕對收斂.2008年12月25日16南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系解故由定理知原級數(shù)條件收斂.2008年12月25日17南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系例5以下填寫是絕對收斂,還是條件收斂,還是發(fā)散2008年12月25日18南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系證明例62008年12月25日19南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系例7解2008年12月25日20南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2008年12月25日21南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系例8

判別級數(shù)的收斂性.

2008年12月25日22南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系3DirichletandAbel判別法------判別條件收斂的兩個方法(1).Abel變換(2).Abel引理2008年12月25日23南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系(3).Dirichlet判別法證明:由Abel引理和Cauchy收斂原理注意:由Dirichlet判別法可推出Lebuniz判別法2008年12月25日24南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系(4).Abel判別法證明:由條件(1)由條件(2)有由Dirichlet判別法注意:2008年12月25日25南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系例9解由Dirichlet判別法知所討論的級數(shù)收斂!2008年12月25日26南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系更一般的情形：

若數(shù)列{an}具有性質(zhì):都收斂.2008年12月25日27南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系所以級數(shù)的部分和數(shù)列當(dāng)時有

例如：解

2008年12月25日28南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系例10

級數(shù)收斂但不絕對收斂.解

由于的絕對值級數(shù)2008年12月25日29南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2008年12月25日30南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系例11解2008年12月25日31南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系解是條件收斂由Abel判別法2008年12月25日32南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系小結(jié):任意項級數(shù)斂散性判別法2008年12月25日33南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系(5)絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)1).級數(shù)的重排

我們把正整數(shù)列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射原數(shù)列的重排.相應(yīng)地稱級數(shù)為原級數(shù)的重

作稱為正整數(shù)列的重排,相應(yīng)地對于數(shù)列

2008年12月25日34南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系意重排后所得到的級數(shù)絕對收斂且和也為S.定理

設(shè)級數(shù)絕對收斂,且其和等于S,則任

注

定理只對絕對收斂級數(shù)成立.條件收斂級

數(shù)重排后得到的新級數(shù),不一定收斂,

即使收斂,也不一定收斂于原來的和.

事實(shí)上，條件收斂的級數(shù)經(jīng)過適當(dāng)重排后,既可以得到發(fā)散級數(shù),也可以收斂于任何給定的數(shù).

2008年12月25日35南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系將上述兩個級數(shù)相加,得到的是上述級數(shù)的重排:例如下面的級數(shù)是條件收斂的,

設(shè)其和為A

2008年12月25日36南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2).級數(shù)的乘積若為收斂級數(shù),a為常數(shù),則由此可以立刻推廣到收斂級數(shù)與有限項和的乘

積,即那么無窮級數(shù)之間的乘積是否也有上述性質(zhì)?2008年12月25日37南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系設(shè)有收斂級數(shù)將級數(shù)(1)與(2)中每一項所有可能的乘積列成下表：

2008年12月25日38南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系可以按各種方法排成不同的級數(shù),常用的有按正方形順序或按對角線順序.

上述表中的所有乘積2008年12月25日39南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2008年12月25日40南京航空航天大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系2008年12月25日41南京