CAD技術(shù)-第二章-2-圖形變換

第二章材料加工CAD技術(shù)基礎(chǔ)2.1CAD系統(tǒng)的組成與分類2.2計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù)2.3CAD系統(tǒng)的三維造型技術(shù)2.4CAD系統(tǒng)的數(shù)據(jù)信息交換2.5CAD系統(tǒng)的智能化技術(shù)與優(yōu)化分析技術(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：

了解CAD系統(tǒng)的組成及分類。掌握?qǐng)D形變換、CAD系統(tǒng)的三維造型技術(shù)，CAD系統(tǒng)的數(shù)據(jù)信息交換。了解CAD系統(tǒng)的智能化和優(yōu)化技術(shù)。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：圖形變換、CAD系統(tǒng)的三維造型技術(shù)，CAD系統(tǒng)的數(shù)據(jù)信息交換。2.2計(jì)算機(jī)圖形處理技術(shù)圖形變換基礎(chǔ)坐標(biāo)系窗口和視區(qū)裁剪坐標(biāo)系1、世界坐標(biāo)系(WCS，WorldCoordinateSystem)

世界坐標(biāo)系一般是三維右手直角坐標(biāo)系，它的單位根據(jù)所描述的實(shí)際對(duì)象的大小來確定,通常使用實(shí)數(shù),取值范圍并無限制。它是一般用戶繪圖時(shí)所取的坐標(biāo)系，有時(shí)也稱為用戶坐標(biāo)系或物體坐標(biāo)系。通常表示為圖2.1(a),可以是二維的,表示為圖2.1(b)。

圖2.1世界坐標(biāo)系(WCS)(a)3D右手直角坐標(biāo)系；(b)2D右手直角坐標(biāo)系2、設(shè)備坐標(biāo)系(DCS，DeviceCoordinateSystem)圖形顯示器或繪圖機(jī)自身有一個(gè)坐標(biāo)系，稱它為設(shè)備坐標(biāo)系或物理坐標(biāo)系。它的單位根據(jù)輸出設(shè)備的實(shí)際大小來確定,一般使用整數(shù)。窗口—視區(qū)變換

基本概念在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中,把在用戶坐標(biāo)系中需要進(jìn)行觀察和處理的一個(gè)坐標(biāo)區(qū)域稱為窗口（Window），如圖2.2所示。把從窗口取得的那一部分物理世界（圖形）映射到顯示屏上的某一區(qū)域，這個(gè)區(qū)域稱為視區(qū)（Viewport）。圖2.2窗口與視區(qū)示意圖

如圖所示,設(shè)在用戶坐標(biāo)系中,取窗口為邊與坐標(biāo)軸平行的矩形,它的左下頂點(diǎn)和右上頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(Wxl,Wyb)、(Wxr,Wyt)，度量單位由用戶定義，相應(yīng)的視區(qū)也取成邊與坐標(biāo)軸平行的矩形,它的左下頂點(diǎn)和右上頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(Vxl,Vyb)、(Vxr,Vyt),度量單位為像素單位。窗口-視區(qū)變換公式圖2.3窗口-視區(qū)變換示意圖在窗口中點(diǎn)(xw,yw)到左邊線的距離和窗口在x方向的長(zhǎng)度之比,與在視區(qū)中相應(yīng)點(diǎn)(xv,yv)到左邊線的距離和視區(qū)在x方向的長(zhǎng)度之比,應(yīng)該是相等的。同樣,在y方向也保持這種比例關(guān)系。即裁剪

位于窗口之外的的那一部分屬于不可見部分，應(yīng)該刪去。點(diǎn)的裁剪直線段裁剪多邊形裁剪圖形變換

變換基本原理齊次坐標(biāo)

所謂齊次坐標(biāo),就是將一個(gè)原本是n維的向量用一個(gè)n+1維向量來表示。例如，向量（x1,x2,…,xn）的齊次坐標(biāo)表示為（Hx1,Hx2,…,Hxn,H），其中H是一個(gè)不為0的實(shí)數(shù)。

由點(diǎn)或向量的齊次坐標(biāo)(Hx1,Hx2,…,Hxn,H)求它的規(guī)范化齊次坐標(biāo)，可根據(jù)如下公式求得:（x1,x2,…,xn,1）圖2.4齊次坐標(biāo)的幾何意義齊次坐標(biāo)提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集(圖形)從一個(gè)坐標(biāo)空間變換到另一個(gè)坐標(biāo)空間的有效而統(tǒng)一的方法。二維圖形齊次坐標(biāo)變換矩陣的一般形式是：

三維圖形齊次坐標(biāo)變換矩陣的一般形式是：二維圖形的幾何變換基本變換平移變換、比例變換、等比例變換、旋轉(zhuǎn)變換、錯(cuò)切變換、對(duì)稱變換復(fù)合變換［x*y*1］=［x

y1］·T2D（1）平移變換平面圖形的平移變換是將平面圖形從一個(gè)位置平移到另一位置,形狀沒有任何改變。如圖2.5所示。

平移變換的矩陣為：圖2.5三角形的平移變換示意圖（2）比例變換平面圖形的比例變換是將圖形放大、縮小(壓縮),如圖2.6所示。比例變換的矩陣為：其中，A、D＞0。（3）等比例變換等比例變換的矩陣為：當(dāng)s>1時(shí)，圖形被放大；當(dāng)s<1時(shí)，圖形縮小；當(dāng)s=1時(shí)，圖形大小不變。

圖2.6比例變換(4)

旋轉(zhuǎn)變換平面圖形的基本旋轉(zhuǎn)變換是指圖形繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角θ,并且規(guī)定逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí),θ取正值,順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí),θ取負(fù)值,如圖2.7(a)所示。

圖2.72D圖形的旋轉(zhuǎn)變換示意圖

(a)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn);(b)三角形的旋轉(zhuǎn)（5）錯(cuò)切變換平面圖形的錯(cuò)切變換是指變換前后的平面圖形沿x軸方向或y軸方向錯(cuò)切。如圖2.8、2.9。錯(cuò)切變換的變換矩陣為：

圖2.82D圖形的錯(cuò)切變換示意圖

(a)沿x方向錯(cuò)切；(b)沿y方向錯(cuò)切y*P1P1*P2P2OOxyP4P3*P4*P3P4*P4P1*P1P2*P2P3*P3(a)(b)x圖2.9x、y方向同時(shí)錯(cuò)切的變換（6）對(duì)稱變換平面圖形的對(duì)稱變換是指變換前后的平面圖形對(duì)稱于x軸,y軸或某個(gè)特定軸。如圖2.10所示。對(duì)稱變換的矩陣為：

圖2.102D圖形的對(duì)稱變換三角形對(duì)稱于x軸；(b)三角形對(duì)稱于y軸；(c)三角形對(duì)稱于坐標(biāo)原點(diǎn)平面圖形復(fù)合變換舉例設(shè)△P1P2P3的三個(gè)頂點(diǎn)分別為P1(10,20),P2(20,20),P3(15,30),它繞點(diǎn)Q(5,25)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30°,它的復(fù)合變換為：復(fù)合變換矩陣的求解順序不能任意變動(dòng)圖2.11三角形的復(fù)合變換示意圖

(a)先平移；(b)旋轉(zhuǎn)后再平移基本變換

三維空間立體圖形的基本變換與二維平面圖形的基本變換，同樣可以利用矩陣處理方法。通常用規(guī)范化的四維齊次坐標(biāo)(x,y,z,1)來表示三維空間點(diǎn)(x,y,z)。因此,三維空間點(diǎn)的變換的一般公式為：［x*y*z*1］=［x

y

z1］·T3D三維圖形的幾何變換式(2-1)

式中,T3D是三維圖形的變換矩陣,它是一個(gè)4×4階方陣,即式(2-2)（1）三維平移變換

平移變換是指三維立體沿x、y、z三個(gè)方向分別移動(dòng)L,M,N到一個(gè)新的空間位置。平移變換后,立體的大小和形狀保持不變。三維平移變換的矩陣為：圖2.12三棱錐的平移變換示意圖（2）三維比例變換

1.比例變換比例變換是指三維立體在x、y、z三個(gè)方向以原點(diǎn)為中心,分別放大或縮小A,E,J倍,得到一個(gè)新的三維立體。比例變換后,三維立體的大小和形狀可能發(fā)生改變。比例變換的變換矩陣為：圖2.13正方體的等比例變換示意圖圖2.14三棱錐的不等比例變換示意圖

2.全比例變換在式(2-2)中,變換矩陣主對(duì)角線上的元素S能使三維立體在空間各方向等比例放大或縮小。全比例變換矩陣為：（3）三維對(duì)稱變換

1.對(duì)xOy坐標(biāo)平面的對(duì)稱變換把給定圖形對(duì)于xOy坐標(biāo)平面作對(duì)稱變換時(shí),變換前后相應(yīng)點(diǎn)的x、y坐標(biāo)保持不變,z坐標(biāo)互為相反數(shù),所以僅需將單位矩陣中z坐標(biāo)的元素值取為-1。因此,對(duì)稱變換的矩陣為：

圖2.15對(duì)稱變換示意圖對(duì)xOy面的對(duì)稱；(b)對(duì)yOz面的對(duì)稱;(c)對(duì)xOz面的對(duì)稱2.對(duì)yOz坐標(biāo)平面的對(duì)稱把給定圖形對(duì)于yOz坐標(biāo)平面作對(duì)稱變換時(shí),僅需將單位矩陣中x坐標(biāo)的元素值取為-1,因此,對(duì)稱變換矩陣為：3.對(duì)xOz坐標(biāo)平面的對(duì)稱把給定圖形對(duì)于xOz坐標(biāo)平面作對(duì)稱變換時(shí),僅需將單位矩陣中y坐標(biāo)的元素值取為-1,因此,對(duì)稱變換矩陣為：（4）三維錯(cuò)切變換三維錯(cuò)切變換是指三維立體在空間沿x、y、z三個(gè)方向?qū)崿F(xiàn)錯(cuò)切變形,三維錯(cuò)切是二維錯(cuò)切變換的一個(gè)擴(kuò)充。三維錯(cuò)切變換矩陣為：圖2.16錯(cuò)切變換示意圖（5）三維旋轉(zhuǎn)變換三維立體的旋轉(zhuǎn)變換是指給定的三維立體繞三維空間某個(gè)指定的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)θ角度。旋轉(zhuǎn)后,立體的空間位置將發(fā)生變化,但形狀不變。θ角的正負(fù)按右手規(guī)則確定,右手大姆指指向旋轉(zhuǎn)軸的正向,其余四個(gè)手指指向旋轉(zhuǎn)角的正向,如圖2.17(a)所示。逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。下面主要討論三維立體分別繞三個(gè)坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換,如圖2.17所示。

圖2.17旋轉(zhuǎn)變換示意圖繞z軸正向旋轉(zhuǎn)；(b)繞x軸正旋轉(zhuǎn)；

(c)繞y軸正向旋轉(zhuǎn)

1.繞x軸正向旋轉(zhuǎn)角θx

三維空間立體繞x軸旋轉(zhuǎn)時(shí),立體上各頂點(diǎn)的y,z坐標(biāo)改變,而x坐標(biāo)不變,因此,變換矩陣在第一行和第一列中,除去主對(duì)角線上元素為1以外,所有元素均為0,而y,z坐標(biāo)可由二維點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)公式得到,因此可得：x*=xy*=ycosθx－zsinθxz*=ysinθx

+zcosθx

將上式改寫成矩陣形式，則繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

2.繞y軸正向旋轉(zhuǎn)角θy

三維空間立體繞y軸正向旋轉(zhuǎn)時(shí),立體上各頂點(diǎn)的x,z坐標(biāo)改變,而y坐標(biāo)不變,因此,變換矩陣在第二行和第二列中,除去主對(duì)角線上元素為1以外,所有元素均為0,而x,z坐標(biāo)可由二維點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)公式得到,因此可得：

x*=xcosθy

+zsinθyy*=yz*=-xsinθy+zcosθy

將上式改寫成矩陣形式,則繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為：

3.繞z軸正向旋轉(zhuǎn)角θz

三維空間立體繞z軸正向旋轉(zhuǎn)時(shí),立體上各頂點(diǎn)的x,y坐標(biāo)改變,而z坐標(biāo)不變,因此,變換矩陣在第三行和第三列中,除去主對(duì)角線上元素為1以外,所有元素均為0,而x,y坐標(biāo)可由二維點(diǎn)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)公式得到,因此可得：

x*=xcosθz

-ysinθzy*=xsinθz

+ycosθzz*=z

將上式改寫成