CH1-復數與復變函數

場論與復變函數初萍辦公室：深圳大學信息工程學院N823電話：22673391郵箱：chuping@2教材：《復變函數與場論簡明教程》深圳大學復變函數與場論教研組。西安電子科技大學出版社參考書：

《復變函數》（第四版）西安大學高等數學教研室。高等教育出版社《矢量分析與場論》（第3版）謝樹藝高等教育出版社《復變函數及應用》（英文版、第七版）J.W.Brown,R.V.Churchill。機械工業(yè)出版社34課程基本內容1、復變函數的基本概念(4+2課時）2、復變函數導數（解析函數、初等函數)(6+2課時)3、復變函數積分（柯西-古薩定理、復合閉路定理、

柯西積分公式）（8+2課時）4、級數（泰勒級數、洛朗級數）（8+2課時）5、留數、積分求法(6+2課時)6、矢量分析的基本概念7、場論(6+2課時)5考核方式平時成績：1、作業(yè);2、考勤;3、課堂表現、提問等;作業(yè)要求：1、手寫

寫上課程號、學號和姓名；2、按時按量提交作業(yè)。6基礎課專業(yè)基礎課工程數學

專業(yè)課線性代數復變函數、場論概率論與隨機過程本課程在專業(yè)培養(yǎng)體系中的地位7關于復變函數課程發(fā)展：

復數是16世紀解代數方程時引入的,笛卡爾給出虛數的定義；18世紀歐拉定義了虛數符號i,并定義了歐拉公式；

19世紀初高斯闡明了幾何、物理意義，得以發(fā)展；

19世紀柯西、黎曼、魏爾斯特拉斯（導數、積分、級數）為這門學科的發(fā)展作了大量奠基工作。研究對象：高等數學中實變函數：復變函數中復變函數：學習要點：注意與實變函數共同點和不同點。應用：1、自然科學和工程技術中廣泛應用；

2、電磁學，信息處理等廣泛應用。8第一章復數與復變函數基本內容：1、復數的代數運算2、復數的表示形式3、復平面拓撲（區(qū)域及其單連通多連通概念）4、復變函數的基本概念、極限與連續(xù)性重點：復數的運算與表示、復變函數的極限與連續(xù)性

9§第1節(jié)

復數及表示形式1.1復數概念方程：x2=-1x為實數：無解；

x為復數：可解。數i,稱為虛數單位,并規(guī)定對于任意二實數x,y,稱z=x+iy或z=x+yi為復數注意：(1)2個復數不能比較大小;(2)當且僅當實部、虛部分別相等時復數才相等。101、幾何表示

通過引入虛數單位i,

直角坐標系平面就與復平面一一對應一個復數z=x+iy由一對有序實數(x,y)唯一確定對于平面上的直角坐標系,復數的全體與該平面上的點的全體成一一對應關系,復數z=x+iy可以用該平面上的坐標為(x,y)的點來表示x-實軸y-虛軸兩軸所在的平面稱為復平面或z平面.0xy1.2復數的表示形式11在復平面上,復數z還與從原點指向點z=x+iy的平面向量一一對應,因此復數z也能用向量OP來表示.OxyxyqPz=x+iy|z|=r2、向量表示：12向量的長度稱為z的?；蚪^對值,記作

顯然：在z0的情況,以正實軸為始邊,以向量OP為終邊的角的弧度稱為z的輻角,記作OxyxyqPz=x+iy|z|=rz=0時輻角不確定若z0：13輻角主值公式：2341xy注意：143、三角表示法：4、指數表示法：（由歐拉公式：)OxyxyqPz=x+iy|z|=r15例1求1+i與的輻角與輻角主值例2將化成三角與指數表示16四則運算乘冪與方根共軛復數§第2節(jié)

復數的運算171、四則運算加法、減法：乘法:除法:

稱滿足z2z=z1(z20)的復數z=x+iy為z1除以z2的商

18兩個復數z1和z2的加減法等價于相應的向量的加減法.Oxyz1z2z1+z2Oxyz1z2z1-z2-z2加法減法:不等式成立|z1+z2||z1|+|z2|(三角不等式)|z1-z2|||z1|-|z2|| 19

兩個復數z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),

z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)

=r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]

=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]

于是 :|z1z2|=|z1||z2| Arg(z1z2)=Argz1+Argz2定理一、乘積：模相乘；輻角相加。輻角相加：兩端可能取的值的全體是相同的。乘法:

20例如,設z1=-1,z2=i,則z1z2=-i,則推論：21幾何意義：

z1z2相當于將z1的模擴大|z2|倍并旋轉一個角度Argz2q2q2z2q1z1z1z21Oxy22例1已知正三角形的兩個頂點為z1=1與z2=2+i,求它的另一個頂點.[解]如圖所示,將表示z2-z1的向量繞z1旋轉p/3(或-p/3)就得到另一個向量,它的終點即為所求的頂點z3(或z3’).23根據復數乘法,有24定理二、商：模相除；輻角相減。輻角相減：兩端可能取的值的全體是相同的。

除法:

稱滿足z2z=z1(z20)的復數z=x+iy為z1除以z2的商

25與實數運算一樣，復數運算滿足交換律,結合律和分配律:z1+z2=z2+z1

z1z2=z2z1z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3z1(z2z3)=(z1z2)z3z1(z2+z3)=z1z2+z1z3262、冪與方根冪：

n個相同的復數z=reiq相乘，稱為z的n次冪(n為整數)。

當|z|=1時有：27方根：注意根的多值性！28

幾何上看，n個值是以原點為中心，為半徑的圓的內接正n邊形的n個頂點。2930例2求[解]

因為所以31即323、復數的共軛33一對共軛復數z和z在復平面內的位置關于實數軸對稱Oxy因而|z|=|z|

如果z不在負實軸和原點上,有argz=-argz34例1設z1=5-5i,z2=-3+4i,求與[解]所以35例2設求Re(z),Im(z)與[解]所以364、復數形式方程來表示平面圖形（復數的應用）Oxyz=z1+t(z2-z1)表示通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線Oxyz=z1+t(z2-z1)z1=x1+iy1z2=x2+iy237例3將通過兩點z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線用復數形式的方程來表示.因此,它的復數形式的參數方程為

z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)[解]

通過點(x1,y1)與(x2,y2)的直線可用參數方程表示為由此得知由z1到z2的直線段的參數方程可以寫成

z=z1+t(z2-z1).(0t1)取,得知線段的中點為38例4求下列方程所表示的曲線:39[解]該方程表示復平面上所有與點-i的距離為2的點，是一個圓，如圖所示。

下面來求其直角坐標方程：設z=x+iy,方程變?yōu)?iOxy40幾何上,該方程表示到點2i和-2的距離相等的點的軌跡,所以方程表示的曲線就是連接點2i和-2的線段的垂直平分線,其直角坐標方程為y=-x.Oxy-22iy=-x41設z=x+iy,則可得所求曲線的方程為y=-3.Oyxy=-342對復平面內任一點z,用直線將z與N相連,與球面相交于P點,則球面上除N點外的所有點和復平面上的所有點有一一對應的關系,而N點本身可代表無窮遠點,記作.

這樣的球面稱作復球面.NSOxyPz把包括無窮遠點在內的復平面稱為擴充復平面不包括無窮遠點在內的復平面稱為有限復平面復球面與無窮遠點取一個與復平面切于原點z=0的球面,球面上的一點S與原點重合.通過S作垂直于復平面的直線與球面相交于另一點N.稱N為北極,S為南極.

43復球面能把擴充復平面的無窮遠點明顯地表示出來，這就是它比復平面優(yōu)越的地方。對于復數來說，實部、虛部與輻角的概念均無意義,但它的模規(guī)定為正無窮大。關于的四則運算作如下規(guī)定:

加法:a+=+a=(a)

減法:a-=-a=(a)

乘法:a=a=(a0)44目標4：將復數方程與平面圖形相聯系。目標2：將復數的表示相互轉換。目標3：求復數的積商冪根（通過三角或指數表示形式）。作業(yè)1：第一章習題P29-311:(3)、2:(1)(2)(3)、4:(1)(2)(3)、15:(1)(3)45

§第3節(jié)復平面上的區(qū)域1、區(qū)域：復變函數的變化范圍。什么樣的范圍可以成為區(qū)域？dz0dz046內點:G為復平面點集，z0為G中任一點，如果存在z0的

一個鄰域，使該鄰域內的所有點都屬于G，稱z0 為G的內點。開集：如果G的每個點都是它的內點，稱G為開集。dz0G47連通：點集D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連接起來，稱D為連通的。區(qū)域：平面點集D稱為區(qū)域,必須滿足下列兩個條件：

1）D是一個開集。2）D是連通的。區(qū)域z2z1不連通48閉區(qū)域：區(qū)域D與它的邊界一起構成閉區(qū)域。邊界點：D為區(qū)域，p不屬于D，但在p任意小的鄰域內總包含有D中的點，稱p為D的邊界點。邊界：D的所有邊界點組成D的邊界。C3C2zg1g2C149有界區(qū)域：M為正數，如果D區(qū)域內的所有點z都滿足，D為有界區(qū)域。無界區(qū)域：否則稱D為無界區(qū)域。yDOxz0r2r1滿足不等式r1<|z-z0|<r2的所有點構成一個有界區(qū)域50無界區(qū)域的例子xyxyxy上半平面:Imz>0角形域:0<argz<jjab帶形域:a<Imz<b51為連續(xù)曲線。稱曲線是兩個連續(xù)的實變函數，和如果連續(xù)曲線：)()()(,)()()(tztytxtiytxtz曲線稱為光滑曲線。連續(xù)；且光滑曲線：如果在t的某個區(qū)間內)(tz，)()(tytx￠￠[][],0)()(22tytx1￠+￠+=連續(xù)不連續(xù)光滑不光滑2、連通域52簡單曲線/若爾當(Jardan)曲線：沒有重點的連續(xù)曲線。為重點。稱時有重點：當)(,)()(:12121tztztztt。的起點和終點重合閉曲線：曲線)()()(bzaztz==1z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b)53任意一條簡單閉曲線C把整個復平面唯一地分成三個互不相交的點集，其中：

除去C外,一個是有界區(qū)域,稱為C的內部

另一個是無界區(qū)域,稱為C的外部

C為它們的公共邊界.內部外部C54單連通域：區(qū)域B中任做一條簡單閉曲線，曲線內部總屬于B，稱B為單連通區(qū)域。多連通域：不滿足單連通域條件的區(qū)域。單連通域多連通域55

區(qū)分：區(qū)域或閉區(qū)域；有界或無界；單連通或多連通。56

設G是一個復數z=x+iy的集合，如果有一個確定的法則存在,按照這一法則,對于集合G中的每一個復數z,就有一個或幾個復數w=u+iv與之對應，則稱復變數w是復變數z的函數記作w=f(z)§第4節(jié)

復變函數集合G稱為f(z)的定義集合,對應于G中所有z的一切w值所成的集合G*,稱為函數值集合（值域）.1、定義定義集合G常常是一個平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無特別聲明,所討論的函數均為單值函數.單值函數：z的一個值對應一個w值。多值函數：z的一個值對應兩個或以上w值。反函數：z=g(w)57考察函數w=z2

令z=x+iy,w=u+iv,則 u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,

因而函數w=z2對應于兩個二元函數:

u=x2-y2,v=2xy給定復數z=x+iy相當于給定了兩個實數x和y

而復數w=u+iv亦同樣地對應著一對實數u和v

復變函數w和自變量z之間的關系w=f(z)相當于兩個關系式:

u=u(x,y),v=v(x,y),

它們確定了自變量為x和y的兩個二元實變函數.582、映射：將實變函數用幾何圖形表示，復變函數是對變量(x,y)(u,v)之間的對應關系的描述，可以看作(x,y)平面通過

f變換到(u,v)平面的映射：反函數稱為w=f(z)的逆映射，若w=f(z)和z=g(w)都為單值的，稱w=f(z)為一一映射59xyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w2602axyOuvOz1z2w2z3w3aw161小結：解題思路：1.有規(guī)律的直接寫出規(guī)律2.找不出規(guī)律的將u、v代入x、y表達示解：6263