山東省青島市第十九中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

山東省青島市第十九中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，正三棱錐中，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)在棱上，且，若異面直線(xiàn)和所成的角為，則異面直線(xiàn)與所成的角（）A．等于

B．等于

C．等于

D．等于參考答案：A略2.設(shè)復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則

(

)

A．B．

C．

D．1參考答案：D3.已知函數(shù)，，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值為(

)A．或

B．或

C．或

D．或參考答案：D略4.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；由三視圖求面積、體積．【分析】由已知可得：幾何體為三棱柱，求出底面面積，周長(zhǎng)及高，代入棱柱表面積公式，可得答案．【解答】解：由已知可得：幾何體為三棱柱，底面是斜邊長(zhǎng)為4，斜邊上的高為的直角三角形，底面面積為：2，底面周長(zhǎng)為：6+2，棱柱的高為4，故棱柱的表面積S=2×2+4×（6+2）=24+12，故選：A．5.設(shè)集合，，則

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：，，，故選C.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算6.若，，成等差數(shù)列，則的值等于（

）A．1

B．0或

C．

D．參考答案：D故選：D

7.函數(shù)y=x+cosx的大致圖象是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象與圖象變化；函數(shù)的圖象．

【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合．【分析】先研究函數(shù)的奇偶性知它是非奇非偶函數(shù)，從而排除A、C兩個(gè)選項(xiàng)，再看此函數(shù)與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)情況，即可作出正確的判斷．【解答】解：由于f（x）=x+cosx，∴f（﹣x）=﹣x+cosx，∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，排除A、C；又當(dāng)x=時(shí)，x+cosx=x，即f（x）的圖象與直線(xiàn)y=x的交點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，排除D．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象，考查同學(xué)們對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的把握程度以及數(shù)形結(jié)合的思維能力，屬于中檔題．8.已知復(fù)數(shù)則A. B.z的實(shí)部為1 C.z的虛部為 D.z的共軛復(fù)數(shù)為1+i參考答案：C9.在四面體S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，則該四面體的外接球的表面積為（）A．11π B．7π C． D．參考答案：D考點(diǎn)：球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體．專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離．分析：求出BC，利用正弦定理可得△ABC外接圓的半徑，從而可求該三棱錐的外接球的半徑，即可求出三棱錐的外接球表面積．解答：解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圓半徑為r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA為等腰三角形，則有該三棱錐的外接球的半徑R═=，∴該三棱錐的外接球的表面積為S=4πR2=4π×（）2=．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查三棱錐的外接球表面積，考查直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系，確定三棱錐的外接球的半徑是關(guān)鍵．10.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若,則(

)A.

-2

B.0

C.2

D.4參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是曲線(xiàn)的兩條互相平行的切線(xiàn)，則與的距離的最大值為_(kāi)____.參考答案：略12.若在R上可導(dǎo)，，則____________．參考答案：略13.設(shè)（5x﹣）n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為M，二項(xiàng)式系數(shù)和為N，若M﹣N=240，則展開(kāi)式中x的系數(shù)為

．參考答案：150【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)M﹣N=240，解得2n的值，可得n=4．再求出（5x﹣）n的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的冪指數(shù)等于1，求得r的值，即可求得展開(kāi)式中x的系數(shù)．【解答】解：由于（5x﹣）n的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和M與變量x無(wú)關(guān)，故令x=1，即可得到展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和M=（5﹣1）n=4n．再由二項(xiàng)式系數(shù)和為N=2n，且M﹣N=240，可得4n﹣2n=240，即22n﹣2n﹣240=0．解得2n=16，或2n=﹣15（舍去），∴n=4．（5x﹣）n的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=?（5x）4﹣r?（﹣1）r?=（﹣1）r??54﹣r?．令4﹣=1，解得r=2，∴展開(kāi)式中x的系數(shù)為（﹣1）r??54﹣r=1×6×25=150，故答案為150?【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式的各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和的關(guān)系，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．14.若向量，則與夾角的余弦值等于_____參考答案：【分析】利用坐標(biāo)運(yùn)算求得；根據(jù)平面向量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】

本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的求解，明確向量夾角的余弦值等于向量的數(shù)量積除以?xún)上蛄磕ｉL(zhǎng)的乘積.15.對(duì)于區(qū)間，我們定義其長(zhǎng)度為，若已知函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)?則區(qū)間長(zhǎng)度的最大值為

▲

.參考答案：16.一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是，則這組數(shù)據(jù)的方差是_________．參考答案：由題意知，解得。所以這組數(shù)據(jù)的方差為。17.已知AD是的中線(xiàn)，若，,則的最小值是____________．參考答案：1略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，其中一個(gè)頂點(diǎn)是雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B分別作橢圓的兩條切線(xiàn)，求其交點(diǎn)的軌跡方程．參考答案：（1），（2）．（1）由題意可知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，，所以橢圓的C：中a＝5，········································1分根據(jù)，解得c＝，所以，·································3分所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．·································4分（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，另設(shè)，，設(shè)在處切線(xiàn)的方程為，與橢圓C：聯(lián)立：，消去可得：，由，得，化簡(jiǎn)可得：，由，可得，，所以上式可化為：，∴，，所以橢圓在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為：①，··························7分同理可得橢圓在點(diǎn)B的切線(xiàn)方程為：②，·······················8分聯(lián)立方程①②，消去x得：，解得，··········9分而A，B都在直線(xiàn)上，所以有，所以，所以，即此時(shí)的交點(diǎn)的軌跡方程為；·····11分當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)的方程為x＝0，則，則橢圓在點(diǎn)A處的切線(xiàn)方程為：①，橢圓在點(diǎn)B的切線(xiàn)方程為：，此時(shí)無(wú)交點(diǎn)．綜上所述，交點(diǎn)的軌跡方程為．······································12分19.（本小題滿(mǎn)分13分）

設(shè)，函數(shù)，函數(shù)，.（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上是否為單調(diào)函數(shù)，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，若存在直線(xiàn)（），使得曲線(xiàn)與曲線(xiàn)分別位于直線(xiàn)的兩側(cè)，寫(xiě)出的所有可能取值.(只需寫(xiě)出結(jié)論)參考答案：（Ⅰ）不是單調(diào)函數(shù)（Ⅱ）（Ⅲ）試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，先求導(dǎo)數(shù)：，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析得函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增，區(qū)間上為單調(diào)遞減.即函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù).

（Ⅱ）先轉(zhuǎn)化條件為：當(dāng)時(shí)，，因此求實(shí)數(shù)的取值范圍，就是分別求，這可利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值（Ⅲ）由題意得：直線(xiàn)為曲線(xiàn)與曲線(xiàn)分割線(xiàn)，由（Ⅱ）得，因此的所有可能取值為試題解析：（Ⅰ）解：結(jié)論：函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù).

…1分

求導(dǎo)，得，

…2分

令，解得.

當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表所示：0↗

↘

所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增，區(qū)間上為單調(diào)遞減.

所以函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù).

…4分（Ⅱ）解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，.由題意，若對(duì)任意的，都有恒成立，

只需當(dāng)時(shí)，.

…5分

因?yàn)?

令，解得.

當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表所示：0↗

↘

所以.

…7分

又因?yàn)?

令，解得.

當(dāng)變化時(shí)，與的變化如下表所示：0↘

↗

所以.

…9分

綜上所述，得.

…10分（Ⅲ）解：滿(mǎn)足條件的的取值集合為.

…13分考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值20.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA=AB=BC=4，∠ABC=90°，PC=4，D為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，E是線(xiàn)段PC上一動(dòng)點(diǎn)．

（1）當(dāng)DE⊥AC時(shí)，求證：PA∥面DEB；（2）當(dāng)△BDE的面積最小時(shí)，求三棱錐E-BCD的體積．

參考答案：(Ⅰ)在直角中，，，∴，又∵在中，，，，∴，∴…3分，又，∴，又面，面，∴面…6分(Ⅱ)∵，，，∴面，又面，∴，又∵，，∴，又，∴面，又面，∴，…9分，又，∴當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，又當(dāng)時(shí)，最小，故此時(shí)，∴，∴，又面，∴

……12分．21.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，已知三棱錐的三條側(cè)棱、、兩兩垂直，且，．（Ⅰ）求點(diǎn)到平面的距離；（Ⅱ）設(shè)、、依次為線(xiàn)段、、內(nèi)的點(diǎn)．證明：是銳角三角形．參考答案：解：（Ⅰ）依題意得，則中，邊上的高．

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由即．即點(diǎn)到平面的距離為．……6分（Ⅱ）設(shè)，則有依題意得則有為銳角，同理可得、均為銳角．故是銳角三角形．……12分解法二：依題意，建立如圖所示坐標(biāo)系．（Ⅰ）則，設(shè)平面的法向量為m，則有設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．

……6分（Ⅱ）設(shè)，則有，則，又、、三點(diǎn)不共線(xiàn)為銳角，同理可得、均為銳角．故是銳角三角形．

……12分22.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB⊥DA，CE=，∠ADC=；E為AD邊上一點(diǎn)，DE=1，EA=2，∠BEC=（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的長(zhǎng)．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【專(zhuān)題】計(jì)算題；解三角形．【分析】（Ⅰ）設(shè)∠CED=α．在△CED中，由余弦定理，可解得CD=2，在△CED中，由正弦定理可解得sin∠CED的值．（Ⅱ）由題設(shè)知α∈（0，），先求cos，而∠AEB=，即可求cos∠AEB=cos（）的值．【解答