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文檔簡介
第七章第五節(jié)正態(tài)總體的區(qū)間估計(二)
本節(jié)討論兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計.
在實際應(yīng)用中經(jīng)常會遇到兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計問題.例如:
考察一項新技術(shù)對提高產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標的作用──把實施新技術(shù)前產(chǎn)品的質(zhì)量指標看成一個正態(tài)總體N(1,12),而把實施新技術(shù)后產(chǎn)品質(zhì)量指標看成另一個正態(tài)總體N(2,22).
于是,評價此新技術(shù)的效果問題,就歸結(jié)為研究兩個正態(tài)總體均值之差1-2的問題.
比較甲乙兩廠生產(chǎn)某種藥物的治療效果──把兩個廠的藥效分別看成服從正態(tài)分布的兩個總體N(1,12)和N(2,22).
于是,評價兩廠生產(chǎn)的藥物的差異,就歸結(jié)為研究對應(yīng)的兩個正態(tài)總體的均值之差1-2的問題.
下面討論如何構(gòu)造兩個正態(tài)總體均值之差1-2的區(qū)間估計.
設(shè)X1,X2,
,Xm是抽自正態(tài)總體X~N(1,12)的樣本.
它的樣本均值,樣本方差為:定理
Y1,Y2,
,Yn是抽自正態(tài)總體Y~N(2,22)的樣本.
它的樣本均值,樣本方差為:
則有以下結(jié)論:
(是S12與S22的加權(quán)平均.)證明:(1).根據(jù)定理6.4.1,有:∵X1,X2,
,Xm與Y1,Y2,
,Yn抽自兩個不同總體.∴X1,X2,
,Xm與Y1,Y2,
,Yn是獨立的.
(2).根據(jù)定理6.4.1和12=22=2,∴有:
∵12=22=2,∴前面(1)中的:于是由t分布的定義,就得到:
欲比較甲乙兩種棉花品種的優(yōu)劣.
現(xiàn)假設(shè)用它們紡出的棉紗強度分別服從X~N(1,2.182)和Y~N(2,1.762).
試驗者從這兩種棉紗中分別抽取樣本X1,X2,,X200和Y1,Y2,,Y100.其樣本均值分別為:例1求:1-2的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計.
解:∴1-2的置信系數(shù)為1-的區(qū)間估計是:
代入1=2.18,2=1.76,m=200,n=100,=0.05查得Z0.025=1.96∴1-2的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計是:[-0.899,0.019].
某公司利用兩條自動化流水線灌裝礦泉水.
設(shè)這兩條流水線所裝礦泉水的體積
(毫升)分別服從X~N(1,2)和
Y~N(2,2).
現(xiàn)從生產(chǎn)線上分別抽取樣本
X1,X2,,X12和Y1,Y2,,Y17.
其樣本均值樣本方差分別為:例2求:1-2的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計.解:∴1-2的置信系數(shù)為1-的區(qū)間估計是:m=12,n=17,=0.05查得t27(0.025)=2.05∴1-2的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計是:[-0.101,2.901].
說明
基于上述認識,我們考慮這樣一個問題應(yīng)該如何處理.
有時我們面臨判定這樣一個問題:未知參數(shù)是否等于某個值0.
我們該怎么辦呢?其實不妨這樣來思考.
如果果真等于0的話,在這種情況下:
通常認為小概率事件在一次試驗中幾乎是不會發(fā)生的.這時如果
那就讓我們來做一次抽樣,然后把樣本值代入,算出剛才分析了,果真=0的話,以上小概率事件幾乎是不會發(fā)生的.但現(xiàn)實是在這次抽樣試驗中居然發(fā)生了.那我們可以認為這是由于≠0導(dǎo)致的.在這種情況下我們判決≠0.
而如果現(xiàn)實是在這種情況下我們則判決=0.
比較甲乙兩種棉紗的強度是否有差異.
問題可以歸結(jié)為判決假設(shè):
1=2,即1-2=0是否成立的問題.∵0[-0.899,0.019].∴我們判決如下:
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