高等數(shù)學(xué)之對坐標(biāo)的曲線積分

第二節(jié)對坐標(biāo)的曲線積分一

對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1.變力沿曲線所作的功設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在xoy平面內(nèi)從點(diǎn)A沿光滑曲線弧L移動(dòng)到點(diǎn)B.在移動(dòng)過程中,這質(zhì)點(diǎn)受到力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用,其中函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在L上連續(xù),要計(jì)算在上述移動(dòng)過程中變力F(x,y)所作的功.力F作的功W等于兩個(gè)向量F和AB的數(shù)量積我們知道,如果力F是常力,且質(zhì)點(diǎn)沿直線從A到B點(diǎn)，則?，F(xiàn)在是一個(gè)變力,力在變化,方向也在變化，要解決這種變力使物體做曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)所做的功，我們按定積分的思路和方法做.

可看成直線段,即質(zhì)點(diǎn)沿小弧段的運(yùn)動(dòng)可為沿直線段的運(yùn)動(dòng).上可視為常數(shù).力在小弧段所作的功為(1)分割從A到B將曲線分成n個(gè)小弧段.由于每個(gè)小弧段很小,(2)取近似由于F的變化的連續(xù)性,及直線段很小,F在小弧段xyABMi-1MiF(ξ,η)再設(shè)點(diǎn)Mi的坐標(biāo)為(xi,yi)(i=1,2...n),記是F(x,y)在x軸和y軸上的投影.設(shè)F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，其中P(x,y)和Q(x,y)在x軸,y軸上的投影為則(3)求和(4)取極限令這就是變力沿曲線所做的功.現(xiàn)在我們抽去問題的物理意義,于是則得到下面的定義:在L上有界,按L的方向順序用分點(diǎn)把L分成n個(gè)小弧段(i=1,2...n)，小弧段在x,y軸上的取任意點(diǎn)定義:設(shè)L是從點(diǎn)A到B的一條有向光滑曲線,函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)坐標(biāo)增量記為對坐標(biāo)的曲線積分也稱為第二類曲線積分.記作若和式值為函數(shù)P(x,y)，Q(x,y)沿曲線L從A到B的對坐標(biāo)的曲線積分.當(dāng)各小弧段長度的最大值時(shí)極限總存在，則稱此極限當(dāng)Q=0時(shí),為P(x,y)對坐標(biāo)x的曲線積分；當(dāng)P=0時(shí),為Q(x,y)對坐標(biāo)y的曲線積分.上述定義可推廣到空間曲線Γ的情況：

按定義,變力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j沿曲線L從A到B對質(zhì)點(diǎn)做的功,可表示為曲線積分性質(zhì)1性質(zhì)2若光滑曲線L=L1+L2，則性質(zhì)3設(shè)L是有向曲線，L--是與L方向相反的有向曲線，則性質(zhì)4說明,對坐標(biāo)的曲線積分與積分曲線的方向有關(guān)，性質(zhì)4這是區(qū)別對弧長的曲線積分的重要特征.二對坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算方法定理設(shè)P(x,y),Q(x,y)在有向曲線弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為當(dāng)參數(shù)t單調(diào)地由α變到β時(shí),點(diǎn)M(x,y)從L的起點(diǎn)A沿L運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)B,φ(t)和ψ(t)在以α及β為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且則曲線積分存在，且根據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分的定義，有它們對應(yīng)于一列單調(diào)變化的參數(shù)值在L上取一點(diǎn)列證

之間.與在其中即對應(yīng)于參數(shù)值設(shè)點(diǎn)

應(yīng)用微分中值定理，有由于之間，于是與在其中)上的一致連續(xù)性,可將上式(或在利用從而換成中的點(diǎn)連續(xù)，這個(gè)定積分存在，因此由于函數(shù)上式右端的和的極限就是定積分存在，并且有同理可證：(1)式推廣到空間曲線,得到如下公式：P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是定義在空間曲線上的連續(xù)函數(shù).,其中L為拋物線y2=x上從點(diǎn)A(1,-1)到點(diǎn)B(1,1)的一段弧.解法一：把x作為參數(shù),利用對x的定積分來計(jì)算,把L分成AO和OB兩段,被積函數(shù)可用積分路線的方程來處理.A(1,-1)B(1,1)xyo例1計(jì)算解法二：把y作為參數(shù),利用對y的定積分來計(jì)算,x=y2,dx=2ydy，y:-1→1，則注意:對弧長的曲線積分的上限必須大于下限.對坐標(biāo)的曲線積分的上,下限是按積分的起點(diǎn)為下限,而積分的終點(diǎn)為上限的.不管對弧長或?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分,都應(yīng)該把積分曲線方程代入被積函數(shù)中計(jì)算.例2計(jì)算其中C是從點(diǎn)A(3,2,1)到點(diǎn)B(0,0,0)的直線段AB.解:直線段AB的方程是化為參數(shù)方程得到x=3t，y=2t，z=t，t從1變到0，所以例3計(jì)算其中L為xA(a,0)B(-a,0)y(1)半徑為a，圓心為原點(diǎn)，按逆時(shí)針方向繞行的上半圓周；(2)從點(diǎn)A(a,0)沿x軸到點(diǎn)B(-a,0)的直線段.解:(1)L是參數(shù)方程為x=acosθ,y=asinθ參數(shù)θ從0到π的曲線弧(按逆時(shí)針方向)，故注意：θ從0到π是按逆時(shí)針方向.由于曲線積分的被積函數(shù)和積分路線有關(guān)，所以盡管被積函數(shù)相同，積分的起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但積分路徑不同，得到的值也不同.(2)L的方程為y=0，x從a變到-a，所以例4計(jì)算其中C為(1)拋物線y=x2上從(0,0)到B(1,1)的一段?。?2)拋物線x=y2上從(0,0)到B(1,1)的一段??；(3)有向折線OAB，這里O，A，B的坐標(biāo)為(0,0)，(1,0)，(1,1)x=y2y=x2B(1,1)A(1,0)xy解:(1)化為對x的定積分，C：y=x2，x從0變到1，所以(3)在OA上，y=0，x從0變到1，故(2)化為對y的定積分，C：x=y2，y從0變到1，所以從例4中可以看出，雖然積分路線不同，曲線積分的值可能相等.在AB上，x=1，dx=0，y從0到1，所以三兩類曲線積分之間的聯(lián)系設(shè)有向曲線弧L的參數(shù)方程為L的起點(diǎn)A、終點(diǎn)B分別對應(yīng)參數(shù)，在以為端點(diǎn)的閉區(qū)間上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且P(x,y)，Q(x,y)在L上連續(xù).根據(jù)對坐標(biāo)的曲面積分公式有

，其方向余弦為