2020年中考數(shù)學(xué)培優(yōu) 專(zhuān)題講義 第13講 反比例函數(shù)與面積

ΔPABSΔΔ公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)eduΔPABSΔΔ第講

反例面模型講

OB

QOBxOABxS

矩ABCD=

1S=S=2

ΔPOQ梯1S=S=2yy

y

AP

A

P

PA

B

B

B

x

xPA=BQAB//PQPA=BQ【題解例1如圖，直線(xiàn)x=k（k）反比例函數(shù)上任意一點(diǎn)，連接、，則△PAB面積是y

2和y=-一圖像分別交于、兩，若點(diǎn)是y軸xx

x=k

x答案：

32公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

112112例、如圖，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的兩條直線(xiàn)ll，別與雙曲線(xiàn)y=P兩在第一象限，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為（31）（1）求k值B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若P點(diǎn)標(biāo)a3值四邊形APBQ的面積y

kx

公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)edu（k）相交于Q四，其中、P

l

l

B

Ax答案：(1)A(3,1)入=

k得k，∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)y=(相于A、B∴點(diǎn)A與x點(diǎn)B于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，B點(diǎn)標(biāo)為?3,；(2)把Pa,3)代入y=

3x

k得，解得=1∵P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，∵經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y=(≠0)相x交于PQ點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)Q關(guān)原點(diǎn)對(duì)點(diǎn)Q的標(biāo)為(?1,OA=OP=OQ四邊形APBQ為平行四邊形，2=(3+3)2

+(1+1)2

=40,PQ2

=(1+1)2，=PQ，∴四邊形APBQ為形，∵PB2

2

+(3+1)=32,PQ2?1)+(1

=8∴=

2

=

2

，∴四邊形APBQ的積=PB242=16.例如在中C是的點(diǎn)，反比例函數(shù)y=

kx

（k>0在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若△OAB的積6求k的（代數(shù)法與幾何法均嘗試用一下）yCB答案別過(guò)點(diǎn)作垂線(xiàn)足分別為點(diǎn)N圖點(diǎn)為的點(diǎn)CN為△AMB的中位線(xiàn)，∴==a，=b，AM=2b，∵?AM=ON，∴OMOM)?b∴=a，∴?2ab，，=?b，故答案為：4.公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

CEFDEF公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)eduCEFDEF例4如圖，在以為點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的兩邊OCOA分在x軸y軸正半軸上，反比例函數(shù)。k=y

kx

（x）與相交于點(diǎn)D，相于點(diǎn)E若，eq\o\ac(△,且)面積是9，則

D答案:

245例、如圖，四邊形的點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，若/，與△ACD的積分別為20和，若雙曲線(xiàn)y

kx

恰好經(jīng)過(guò)BC的點(diǎn)，則k的為。DC

x答案:6k例如一函數(shù)y=ax+b的象與x軸y軸于B兩與反比例函數(shù)的圖象相交于CxD兩別過(guò)CD兩作軸軸的垂線(xiàn)足為E接CF有下列四個(gè)結(jié)論；②△AOB相于；△DCECDF④AC=BD.其中正確的結(jié)論（把你為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）yOC答案：①②④

DF公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

k陰影1公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)eduk陰影1【固習(xí)、已知是比例函數(shù)y=

kx

的圖象上的一點(diǎn)ABx軸點(diǎn)，的面積是3，則的值是

yAOx是曲線(xiàn)y

3x

上的點(diǎn)經(jīng)A兩點(diǎn)向x軸軸垂線(xiàn)段S=S

S

x、如圖，菱形的點(diǎn)O是點(diǎn)，頂點(diǎn)By軸，菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別是6和，反比例函k數(shù)y=（<0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則k值為。xyBCAOx、正比例函數(shù)與反比例函數(shù)

1x

的圖象相交于、兩點(diǎn)AB⊥于，⊥x軸D如圖所示，則四邊形的積為。yDO

xC公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

12211221、如圖，己知函數(shù)=

公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)edu144（x=（>0為數(shù)y=的圖像上的一點(diǎn)，且⊥x軸點(diǎn)，xxx1PBy軸點(diǎn)B，、PB分交函數(shù)=的圖像于DC兩，eq\o\ac(△,則)的積為。xyBDA、如圖比函y=

kx

（x）的圖像經(jīng)過(guò)矩形OABC對(duì)線(xiàn)的交點(diǎn)，分別于BC交點(diǎn)D，若四邊形ODBE的積為9，則k的值為。yC

DMOx、如圖，已知的點(diǎn)A和邊中點(diǎn)C在雙曲線(xiàn)y=CD⊥于D若△的面積為，則的為。yCDB

kx

（x）的一個(gè)分支上，點(diǎn)在x軸，、如圖，是比例函數(shù)

kx

圖像上一點(diǎn)，C線(xiàn)段OA上點(diǎn)，且OCOA=1，作CDx，垂足為點(diǎn)D，延長(zhǎng)交比例函數(shù)圖像于點(diǎn)B，=8則k的為。

OD公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

1122121211211221212112、如圖，點(diǎn)A、在反比例函數(shù)

kx

公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)edu的圖象上，過(guò)點(diǎn)A、B軸垂線(xiàn)，垂足分別為M、N延長(zhǎng)線(xiàn)段AB交軸點(diǎn)，OM=MN=NC，且的積為，則的為。yOMNC、圖，已知四邊形的邊AO在x軸上BC//AO⊥，過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)且OD:DB=1：，若△的面積等于，的

kx

交于D，y

C

DAx11如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y=

1和y=-的象分別是l和l，點(diǎn)P在l上⊥軸垂足為，xxl于A，⊥軸垂足為D，交l于點(diǎn)B則三角形的積為y

BD

P

A

x、圖，已知反比例函數(shù)y=

kk1與=（k<0k>0y圖上任意一點(diǎn)分別作x軸y的平xx行線(xiàn)交坐標(biāo)軸于D、點(diǎn)，交y的象于A、直線(xiàn)交標(biāo)軸于點(diǎn)、N則=含k、的數(shù)式表示）yPBDN

xMC公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

123n13n1n1123n13n1n13n-12n1122n-1-1、圖，在x軸正半軸上依次截取OAA=...=AA（n為整數(shù)點(diǎn)A、、A、…、2分別作x軸垂線(xiàn)，與反比例函數(shù)y=（交于點(diǎn)PP，接PP…，x過(guò)點(diǎn)P、…分向P、、作線(xiàn)段，構(gòu)成的一系列直角三角形（見(jiàn)圖中陰影部分）的面積和是（含n的數(shù)式表示）yP

P

P

P

O

A

A

A

x、圖，四邊形ABCD的點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上，若∥，△ACD與的面積分別為10和，若雙曲線(xiàn)y=E

kx

恰好經(jīng)過(guò)邊AB的等分點(diǎn)E（<AE的為。yABD如平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)B坐標(biāo)分別是（-20-4CD在雙曲線(xiàn)

kx上，邊軸E點(diǎn)且四邊形BCDE面積是ABE面積的5倍，則yD

。E

A

B

x公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

12121212、圖，反比例函數(shù)y=

公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)eduk（k）的圖像與一次函數(shù)的像交于、B兩（點(diǎn)在第一象限x（1）當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。①求k的；②根據(jù)反比例函數(shù)的圖像，直接寫(xiě)出當(dāng)一4<x（x時(shí)，的取值范圍；（2）點(diǎn)C為軸半軸上點(diǎn)，ACB=，且△的積為10求kyA

xB6、知點(diǎn)P（ab）是反比例函數(shù)y=（）圖象上的動(dòng)點(diǎn)∥軸y，分別交反比例函x數(shù)

2x

（x）的圖象于點(diǎn)A、B，交坐標(biāo)軸于、D。（1）記△POD的積為，BOD面積為，接寫(xiě)出：；(求比值）（2）請(qǐng)用含a的代數(shù)式分別表示、、點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在點(diǎn)動(dòng)過(guò)程中，連接，設(shè)的積為，是變化？若不變，請(qǐng)求的值；若改變，請(qǐng)寫(xiě)出S于函數(shù)關(guān)系式；P

y=-

6yxy=-A

2xBDOx公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)edu、圖，在平面直角坐標(biāo)系中有eq\o\ac(△,Rt)，∠A=，，A（-2，0（，d（-32（1）求d值；（2）將ABC沿軸正方向平移a個(gè)位，在第一象限內(nèi)B、C兩的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'正好落在某反比函數(shù)圖象上請(qǐng)求出這個(gè)反比例函數(shù)和此時(shí)的直線(xiàn)B'C'解析式；（3）在（）的條件下，直線(xiàn)交軸點(diǎn)，作⊥x軸，是段B'C'上的一點(diǎn)，eq\o\ac(△,若)PMC'和△PBB'面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)yCG

B'O

A'4EFAEBFAOxyx0CD1ABCD2E

y

y

2x

y

4xACBDOF

x公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

.如，己知直線(xiàn)＝－（1）求證：AC；

公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)edu3x＋6交軸點(diǎn)，軸點(diǎn)B，交雙曲線(xiàn)y＝于CD兩點(diǎn)2（2）若△、△、△BOD的面積為S、S、，足SyBDCxO

＝S·，的值k、知，如圖，直線(xiàn)l與比例函數(shù)＝（k＞）位于第一象限的圖像相交于B兩，并與軸xx軸別交于E、.（1）試判斷與BF數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理.（2）如圖，若將直線(xiàn)l繞A時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使其與反比例函數(shù)y＝判斷與BF的量關(guān)系是否依然成立？請(qǐng)說(shuō)明理.

kx

的另一支圖像相交，設(shè)交點(diǎn)為.試l

y

ylE

AAB

x

E

xO

F

F

OB（圖1）（圖2）公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)edu1OykxxyABy

mx

CD1AB

CDAB

2AxD①EFCEFD②

CDAB

＝2y

yB6

D

F

DC

BO

1

x

E

AO

xC圖1

圖2公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

ACB1212公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)eduACB1212參考答案答4答：-6答2

答案：

98

答案：3答案：4答案：9答案：6

答案：

3410.答：

9211.

答案：

12k2

12.答：

nn13.答：2.514.答：4815.答①將x=4代y=

33x得=3∴點(diǎn)(4,3)反比例函數(shù)=(的圖象與一次函數(shù)y=x4的圖象交于A點(diǎn)∴3=

k4

，∴k；②∵x?4時(shí),=x=1時(shí),=12反例函數(shù)的性質(zhì)可當(dāng)時(shí)的取值范圍是<或y>12(2)設(shè)點(diǎn)A為(a

35)，則OA=，點(diǎn)C為軸正半軸上一∠=90，且ACB的積為，44∴OB=OC=

55a∴=a×2a=10解得a=2點(diǎn)(2,44

322k)∴=，222解得，=6即k的值是16.答∵(b是反比例函數(shù)y=

61圖象上動(dòng)點(diǎn)(a,)=(?)?(xa2a

B

21)，∴S=(?)?(a

，S:S=3:1=3.故答案為：(2)∵P()反比例函數(shù)y=(x<0)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，a,x

6，∵點(diǎn)反比例函數(shù)=(上且ax橫坐標(biāo)為，∴B(,

2a)，∵點(diǎn)反比例函數(shù)=(x上縱坐標(biāo)為，(，aa3a(3)不變化。(a,

62a6B(,A(,aa

∥軸,∥y軸∴=

16||=?a)?()]=2公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

MPBB公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)eduMPBB17.答作⊥x軸點(diǎn)N在eq\o\ac(△,Rt)和eq\o\ac(△,Rt)AOB中OA=ABeq\o\ac(△,Rt)CNAeq\o\ac(△,Rt)(HL，則=AN=3?2=1，d=1；(2)設(shè)反比例函數(shù)為=

kx

點(diǎn)C和在比例函數(shù)圖象上，設(shè),2),則′(a+3,1)把和的標(biāo)分別代k入y，k=2a；k=，∴=，，則k反比例數(shù)解析式為=.得；xx1設(shè)直線(xiàn)B的析式為+b,CB兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得a=2a+b=1得=直線(xiàn)C′3的解析式為：y=

13

x+3；(3)連結(jié)∵B(0,1),，∴∥x軸，設(shè)(m

13

m作PQC,PHBB，∴

11==×(?3)×2=m，=××BB′=m+31)×6=，∴m，2∴m=

93∴(,).22yCG

H

B'NAMA'18.【析ABCD

32

x1AAMxMDDHxB軸N∴AM∥∥A∵AE＝∴＝＝

m

∴

m

∴

＝

eq\o\ac(△,S)

＋

梯

－

△

＝2

14×（＋）×（2mm）－2，2m∵DH∥BN∴△∽△∴

ODDH＝＝BNON公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

eq\o\ac(△,S)公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)edueq\o\ac(△,S)∵DH·＝，BN·＝4∴（

OD2）＝＝42

1）＝OA2∴

OD＝OA∴ABCDAB∥CD；2

＝，∠＝∠AOBOAOB∴△COD∽OD1∴eq\o\ac(△,S)＝）＝∴S

△

＝

32

∴四

＝

32

32

E

y

y=

2x

y=

4xACBD

xO

MH

F19.【解）過(guò)點(diǎn)D作⊥OB于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥OA于N,接OD，OC，，CM∵k＞，∴∴

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

＝＝

k＝，＝＝，2∴點(diǎn)D到的離等于點(diǎn)到的離MN在CD的同.∴∥CD.∴四邊形NA是行四邊形，四邊形BMNC是行四邊形，∴DM＝ANBM＝，∴BD＝AC公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)edu（2）過(guò)點(diǎn)O作OE⊥ABAB于E，過(guò)點(diǎn)作CFOA交OA于F.∵

＝·，∴（

12

CD·）

1＝BD···，2∴＝BD·.∵BDAC∴＝

＝∴CD＝AC＝∴AC的等分點(diǎn)，∵∥OB∴

CFAC＝OB∵y＝－

32

x＋6∴A（4，6）∴

CF＝6∴＝∵∴

OFBC＝OAOF＝43∴OF＝

∴（，2∵y＝∴2＝

kx

（k≠0公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)

公眾號(hào)：初中數(shù)學(xué)edu∴k＝

163

.20.【解析AEAM軸MxMNOABM∵AMx∴

eq\o\ac(△,S)

＝

eq\o\ac(△,S)

＝