常微分方程第一章

常微分方程O(píng)rdinaryDifferentialEquations董素媛理學(xué)院Welcometomyclass!—積分問(wèn)題

—微分方程問(wèn)題推廣課程評(píng)價(jià):作業(yè)(10%)課堂參與小測(cè)驗(yàn)筆記期末考試(70-80%)dongsuyuan2002@163.com315866606982

課程內(nèi)容:(2)一階微分方程的初等解法(3)微分方程解的存在唯一性定理(4)高階微分方程(5)線性微分方程組

4

參考書(shū)

iii.常微分方程習(xí)題解，莊萬(wàn)iv.常微分方程習(xí)題集，周尚仁v.常微分方程解題方法，錢(qián)祥征i.常微分方程教程，丁同仁、李承治，高等教育出版社，1991。

ii.常微分方程講義(第二版)，葉彥謙，人民教育出版社，1982。vi.常微分方程考研教案，竇雯虹5第一章緒論

微分方程的基本概念引例幾何問(wèn)題物理問(wèn)題一、問(wèn)題的提出二、微分方程的基本概念三、小結(jié)一、問(wèn)題的提出【引例1】

一曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),在該曲線上任意點(diǎn)處的【解】

設(shè)所求曲線方程為y=y(x),則有如下關(guān)系式:①(C為任意常數(shù))由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.【引例2】

列車(chē)在平直路上以的速度行駛,制動(dòng)時(shí)獲得加速度求制動(dòng)后列車(chē)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.【解】

設(shè)列車(chē)在制動(dòng)后

t

秒行駛了s

米,已知由前一式兩次積分,可得利用后兩式可得因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為即求

s

=s(t).

含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程.Definition微分方程（DifferentialEquation）或具體地聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式。9注：未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分是不可缺少的微分方程中的未知量是函數(shù).注意與代數(shù)方程的區(qū)別。常微分方程

(ODE)-自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)的微分方程；(1)常/偏微分方程（ordinarydifferentialequation/partialdifferentialequation

）基本概念偏微分方程(PDE)-自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程。10微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。(2)微分方程的階數(shù):11練習(xí)1指出下面微分方程的階數(shù)，并回答方程是常微分方程還是偏微分方程：12二階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：為自變量，為的函數(shù)的一階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為：13一般地，

階常微分方程具有形式

的已知函數(shù)，而且一定含有

是注1：14（3）線性和非線性微分方程如果方程

及

的一次有理整式，

則稱(chēng)(1）為

的左端為階線性微分方程。（1）15這里

是的已知函數(shù)。階線性微分方程具有形式一般地，不是線性方程的方程稱(chēng)為非線性方程。例如，方程

是二階非線性方程，而方程是一階非線性方程。16練習(xí)2指出下面微分方程的階數(shù)，并回答是否線性的：03)()24)1222=-+-=ydxdyxdxdyyxdxdy17（4）解和隱式解如果將函數(shù)

（1）代入方程為方程（1）的解。

能使它變?yōu)楹愕仁?，則稱(chēng)函數(shù)

后，18確定的隱函數(shù)

的解，則稱(chēng)

為方程（1）的隱式解。如果關(guān)系式是（1）19Remark：解和隱式解統(tǒng)稱(chēng)為方程的解。有解

和

而關(guān)系式

為方程的隱式解。例如，一階微分方程事實(shí)上，由得所以為的解。由得所以20為方程的隱式解。練習(xí)3驗(yàn)證下列各函數(shù)是相應(yīng)微分方程的解：(c是任意常數(shù))21（5）通解和特解

含有

個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)

的解

稱(chēng)為

階方程的通解（隱式通解）。22

Remark:為n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)

23求微分方程滿足初始條件解的問(wèn)題，稱(chēng)為初值問(wèn)題或Cauchy問(wèn)題。滿足初始條件的解稱(chēng)為微分方程的特解。求微分方程滿足邊值條件解的問(wèn)題，稱(chēng)為邊值問(wèn)題。求微分方程滿足定解條件的解，就是所謂定解問(wèn)題2424

實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常需要尋找微分方程滿足某種特定條件的解，這個(gè)特定條件就是定解條件。定解條件：初值條件，邊值條件一階微分方程的初值問(wèn)題可表示為或25階微分方程的初值問(wèn)題可表示為引例2—使方程成為恒等式的函數(shù).通解—解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相等.特解引例1

通解:特解:微分方程的解

—不含任意常數(shù)的解,其圖形稱(chēng)為積分曲線.【例】驗(yàn)證函數(shù)是微分方程的解,的特解.【解】

這說(shuō)明是方程的解.是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件【6】微分方程組.【分類(lèi)1】常微分方程,偏微分方程.一階微分方程高階(n)微分方程【分類(lèi)2】【分類(lèi)3】線性與非線性微分方程.【分類(lèi)4】單個(gè)微分方程與微分方程組.客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程中量與量之間的關(guān)系簡(jiǎn)單問(wèn)題直接寫(xiě)出關(guān)系式：函數(shù)表達(dá)式復(fù)雜關(guān)系不易寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式，但易建立變量滿足的微分方程30常微分方程是一門(mén)與實(shí)際聯(lián)系比較密切的數(shù)學(xué)課程，注意它的實(shí)際背景與應(yīng)用；而作為一門(mén)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，應(yīng)該把重點(diǎn)放在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究微分方程本身的問(wèn)題上?！狙a(bǔ)充】微分方程的初等解法: