平面問題的直角坐標(biāo)解答

要點(diǎn)——用逆解法、半逆解法求解平面彈性力學(xué)問題。3.1逆解法與半逆解法多項(xiàng)式解答3.2矩形梁的純彎曲3.3位移分量的求出3.4簡(jiǎn)支梁受均布載荷3.5楔形體受重力和液體壓力主要內(nèi)容3.1逆解法與半逆解法多項(xiàng)式解答

當(dāng)體力為常量時(shí)，按應(yīng)力求解平面問題，最后歸結(jié)為求解一個(gè)應(yīng)力函數(shù)F(x,y)，它必須滿足下列條件：(2-25)（1）相容方程（2）應(yīng)力邊界條件（2-15）（3）多連體中的位移單值條件求出應(yīng)力函數(shù)F(x,y)，可求得應(yīng)力分量：(2-24)再求得變形分量和位移分量。由于相容方程是偏微分方程，它的通解不能寫成有限項(xiàng)數(shù)的形式。因此，一般不能直接求解問題，只能采用逆解法或半逆解法。1.

應(yīng)力函數(shù)求解方法（1）逆解法（2）半逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)各種滿足相容方程（2-25）的F(x,y)

的形式；（2）——主要適用于簡(jiǎn)單邊界條件的問題。然后利用應(yīng)力分量計(jì)算式（2-24），求出（具有待定系數(shù)）；（3）再利用應(yīng)力邊界條件式（2-15），來考察這些應(yīng)力函數(shù)F(x,y)

對(duì)應(yīng)什么樣的邊界面力問題，從而得知所設(shè)應(yīng)力函數(shù)F(x,y)

可以求解什么問題。逆解法半逆解法（1）根據(jù)問題的條件（幾何形狀、受力特點(diǎn)、邊界條件等），假設(shè)部分應(yīng)力分量的某種函數(shù)形式；（2）根據(jù)與應(yīng)力函數(shù)F(x,y)的關(guān)系及，求出F(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）計(jì)算出并讓其滿足邊界條件和位移單值條件?！肽娼夥ǖ臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)：數(shù)理方程中分離變量法。2多項(xiàng)式解答適用性：由一些直線邊界構(gòu)成的彈性體。目的：考察一些簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)作為應(yīng)力函數(shù)F(x,y)

，能解決什么樣的力學(xué)問題?！娼夥ㄆ渲校篴、b、c

為待定系數(shù)。檢驗(yàn)F

(x,y)是否滿足雙調(diào)和方程：顯然F

(x,y)

滿足雙調(diào)和方程，因而可作為應(yīng)力函數(shù)。（1）(a)

一次多項(xiàng)式（2）（3）對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量：若體力：fx

=fy

=0，則有：結(jié)論1：（1）（2）一次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；在該函數(shù)F(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無影響。(b)

二次多項(xiàng)式（1）其中：a、b、c

為待定系數(shù)。檢驗(yàn)F(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù)

)(假定：fx

=fy

=0;a>0,b>0,c>0)（3）由式（2-24）計(jì)算應(yīng)力分量：結(jié)論2：二次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力分布。xy2c2c2a2axy試求圖示板的應(yīng)力函數(shù)。例：xy(c)

三次多項(xiàng)式（1）其中:a、b、c

、d為待定系數(shù)。檢驗(yàn)F(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程，顯然有（2）(可作為應(yīng)力函數(shù)

)(假定：fx

=fy

=0)（3）由式（2-24）計(jì)算應(yīng)力分量：結(jié)論3：三次多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)于線性應(yīng)力分布。討論：可算得：xy1llMM可見：——對(duì)應(yīng)于矩形截面梁的純彎曲問題應(yīng)力分布。(d)

四次多項(xiàng)式（1）檢驗(yàn)F(x,y)

是否滿足雙調(diào)和方程（2）代入：得其待定系數(shù)，須滿足上述關(guān)系才能作為應(yīng)函數(shù)總結(jié)：（多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)F的性質(zhì)）（1）多項(xiàng)式次數(shù)n

<4

時(shí)，則系數(shù)可以任意選取，總可滿足。多項(xiàng)式次數(shù)n

≥4

時(shí)，則系數(shù)須滿足一定條件，才能滿足。多項(xiàng)式次數(shù)

n

越高，則系數(shù)間需滿足的條件越多。（2）一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于無體力和無應(yīng)力狀態(tài)；任意應(yīng)力函數(shù)F(x,y)上加上或減去一個(gè)一次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)力無影響。二次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)均勻應(yīng)力狀態(tài)，即全部應(yīng)力為常量；三次多項(xiàng)式，對(duì)應(yīng)于線性分布應(yīng)力。（3）（4）用多項(xiàng)式構(gòu)造應(yīng)力函數(shù)F

(x,y)

的方法——逆解法（只能解決簡(jiǎn)單直線應(yīng)力邊界問題）。3.2矩形梁的純彎曲可算得：xy圖示梁對(duì)應(yīng)的邊界條件：1llMM常數(shù)a與彎矩M的關(guān)系：(1)由梁端部的邊界條件：(2)可見：此結(jié)果與材力中結(jié)果相同，說明材力中純彎曲梁的應(yīng)力結(jié)果是正確的。xy1llMMxy1llMM說明：(1)組成梁端力偶M

的面力須線性分布，且中心處為零，結(jié)果才是精確的。(2)若按其它形式分布，如：則此結(jié)果不精確，有誤差；但按圣維南原理，僅在兩端誤差較大，離端部較遠(yuǎn)處誤差較小。(3)當(dāng)l

遠(yuǎn)大于h

時(shí)，誤差較??；反之誤差較大。按應(yīng)力求解平面問題，其基本未知量為：，本節(jié)說明如何由求出形變分量、位移分量？問題：3.3

位移分量的求出以純彎曲梁為例，說明如何由求出形變分量、位移分量？xyl1hMM1.

形變分量與位移分量由前節(jié)可知，其應(yīng)力分量為：平面應(yīng)力情況下的物理方程：（1）形變分量(a)將式（a）代入得：(b)xyl1hMM（2）位移分量將式（b）代入幾何方程得：(c)(b)將式（c）前兩式積分，得：(d)將式(d)代入(c)中第三式，得：整理得：（僅為x的函數(shù)）（僅為y的函數(shù)）要使上式成立，須有(e)式中：ω為常數(shù)。積分上式，得將上式代入式（d），得(f)式中：u0、v0、ω

由位移邊界條件確定。（1）討論：當(dāng)x=x0=常數(shù)——u關(guān)于鉛垂方向的變化率，即鉛垂方向線段的轉(zhuǎn)角。說明：

同一截面上的各鉛垂線段轉(zhuǎn)角相同。橫截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假設(shè)成立。xyl1hMM（2）將下式中的第二式對(duì)x

求二階導(dǎo)數(shù)：說明：在微小位移下，梁縱向纖維的曲率相同。即——材料力學(xué)中撓曲線微分方程2.

位移邊界條件的利用（1）兩端簡(jiǎn)支(f)其邊界條件：將其代入(f)式，有將其代回(f)式，有(3-3)梁的撓曲線方程：——與材力中結(jié)果相同（2）懸臂梁(f)邊界條件h/2h/2由式（f）可知，此邊界條件無法滿足。邊界條件改寫為：（中點(diǎn)不動(dòng)）（軸線在端部不轉(zhuǎn)動(dòng)）h/2h/2代入式（f），有可求得：(3-4)h/2h/2撓曲線方程：與材料力學(xué)中結(jié)果相同說明：（1）求位移的過程：（a）將應(yīng)力分量代入物理方程h/2h/2（b）再將應(yīng)變分量代入幾何方程（c）再利用位移邊界條件，確定常數(shù)。（2）若為平面應(yīng)變問題，則將材料常數(shù)E、μ作相應(yīng)替換。（3）若取固定端邊界條件為：（中點(diǎn)不動(dòng)）（中點(diǎn)處豎向線段轉(zhuǎn)角為零）h/2h/2得到：求得：此結(jié)果與前面情形相同。3.4

簡(jiǎn)支梁受均布載荷要點(diǎn)——用半逆解法求解梁、長(zhǎng)板類平面問題。llqlql1yzh/2h/2q1.

應(yīng)力函數(shù)的確定(1)分析：——主要由彎矩引起；——主要由剪力引起；——由q

引起（擠壓應(yīng)力）。又∵q

=常數(shù)，圖示坐標(biāo)系和幾何對(duì)稱，∴不隨x

變化。推得：xy(2)由應(yīng)力分量表達(dá)式確定應(yīng)力函數(shù)的形式：積分得：(a)(b)——任意的待定函數(shù)llqlql1yzh/2h/2qxy(3)由確定：代入相容方程：llqlql1yzh/2h/2qxy方程的特點(diǎn)：關(guān)于x的二次方程，且要求－l≤x≤l內(nèi)方程均成立。由“高等代數(shù)”理論，須有x的一、二次的系數(shù)、自由項(xiàng)同時(shí)為零。即：對(duì)前兩個(gè)方程積分：(c)此處略去了f1(y)中的常數(shù)項(xiàng)由第三個(gè)方程得：積分得：(d)(c)(d)(a)(b)將(c)(d)代入(b)，有(e)（d）式略去了f2(y)中的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)式中含有9個(gè)待定常數(shù)。2.

應(yīng)力分量的確定(f)(g)(h)(e)(f)(g)(h)3.

對(duì)稱條件與邊界條件的應(yīng)用（1）對(duì)稱條件的應(yīng)用：由q

對(duì)稱、幾何對(duì)稱：——x

的偶函數(shù)——x

的奇函數(shù)由此得：要使上式對(duì)任意的y成立，須有：llqlql1yzh/2h/2qxy（2）邊界條件的應(yīng)用：(a)上下邊界（主要邊界）：llqlql1yzh/2h/2qxy由此解得：代入應(yīng)力公式(i)(j)(k)(b)左右邊界（次要邊界）：（由于對(duì)稱，只考慮右邊界即可。）——難以滿足，需借助于圣維南原理。靜力等效條件：軸力FN

=0；彎矩M=0；剪力FS

=－ql；llqlql1yzh/2h/2qxy可見，這一條件自動(dòng)滿足。(p)截面上的應(yīng)力分布：三次拋物線llqlql1yzh/2h/2qxy(p)4.

與材料力學(xué)結(jié)果比較材力中幾個(gè)參數(shù)：截面寬：b=1,截面慣矩：靜矩：彎矩：剪力：將其代入式(p)，有（3-6）llqlql1yzh/2h/2qxyllqlql1yzh/2h/2qxy（3-6）比較，得：（1）第一項(xiàng)與材力結(jié)果相同，為主要項(xiàng)。第二項(xiàng)為修正項(xiàng)。當(dāng)h/l<<1，該項(xiàng)誤差很小，可略；當(dāng)h/l較大時(shí)，須修正。（2）為梁各層纖維間的擠壓應(yīng)力，材力中不考慮。（3）與材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右邊界存在水平面力：說明式（3-6）在兩端不適用。解題步驟小結(jié)：（1）（2）（3）根據(jù)問題的條件：幾何特點(diǎn)、受力特點(diǎn)、約束特點(diǎn)（面力分布規(guī)律、對(duì)稱性等），估計(jì)某個(gè)應(yīng)力分量（）的變化形式。由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式（2-24），求得應(yīng)力函數(shù)的具體形式（具有待定函數(shù)）。（5）將具有待定函數(shù)的應(yīng)力函數(shù)代入相容方程：確定中的待定函數(shù)形式。（4）由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系式（2-24），求得應(yīng)力分量。由邊界條件確定中的待定常數(shù)。用半逆解法求解梁、矩形長(zhǎng)板類彈性力學(xué)平面問題的基本步驟：附：應(yīng)力函數(shù)確定的“材料力學(xué)方法”要點(diǎn)：利用材料力學(xué)中應(yīng)力與梁內(nèi)力的關(guān)系，假設(shè)某個(gè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。適用性：直梁、長(zhǎng)板條等受連續(xù)分布面力、桿端集中力、桿端集中力偶等。應(yīng)力函數(shù)?？杀硎緸椋涸O(shè)法由邊界面力先確定其中之一，然后將其代入確定另外一個(gè)函數(shù)。材力中，應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系為：式中：M(x)——彎矩方程；Q(x)——剪力方程。當(dāng)有橫向分布力q(x)作用時(shí)，縱向纖維間存在擠壓應(yīng)力，同時(shí)，橫向分布力q(x)的擠壓作用時(shí)，對(duì)軸向應(yīng)力也產(chǎn)生影響。應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：考慮擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致然后由：確定應(yīng)力函數(shù)的具體形式。例：懸臂梁，厚度為單位1，τ=常數(shù)。求：應(yīng)力函數(shù)及梁內(nèi)應(yīng)力。bl解：(1)應(yīng)力函數(shù)的確定xQM取任意截面，其內(nèi)力如圖：取作為分析對(duì)象，可假設(shè)：（a）——f(y)為待定函數(shù)由與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系，有：（b）對(duì)x積分一次，有：xyO對(duì)y再積分一次，有：其中：（c）blxQMxyO由確定待定函數(shù)：（d）要使上式對(duì)任意的x，y成立，有（e）（f）由式（e）求得（g）由式（f）得（h）（i）積分式（h）和（i）得（j）（k）blxQMxyO(l)包含9個(gè)待定常數(shù)，由邊界條件確定。(2)應(yīng)力分量的確定(m)blxQMxyO(3)利用邊界條件確定常數(shù)(o)代入可確定常數(shù)為：代入式（m）得blxQMxyO(m)注：也可利用M（x）=0，考慮進(jìn)行分析。此時(shí)有：為待定函數(shù)，由相容方程確定。blxQMxyO3.5

楔形體受重力和液體壓力要點(diǎn)——半逆解法（因次或量綱分析法）問題的提出：楔形體，下部可無限延伸。側(cè)面受水壓作用：（水的容重）；自重作用：（楔形體的容重）求：楔形體應(yīng)力分布規(guī)律。xyO1.

應(yīng)力函數(shù)及應(yīng)力分量(1)分析：(a)∵的量綱為：∴的形式應(yīng)為：的線性組合。的量綱為：(b)由推理得：應(yīng)為x、y的三次函數(shù)。應(yīng)力函數(shù)可假設(shè)為：xyOxyO(2)應(yīng)力分量考慮到：fx

=0，fy

=（常體力）(a)顯然，上述應(yīng)力函數(shù)滿足相容方程。2.

邊界條件的利用(1)

x=0（應(yīng)力邊界）：代入式（a），則應(yīng)力分量為：xyO(b)xyON(2)

（應(yīng)力邊界）：將(b)代入，有其中：代入，可求得：代入式（b），有：(3-7)——李維（Levy）解答(3-7)與材力結(jié)果比較：——沿水平方向不變，在材力中無法求得?！厮椒较蚓€性分布，與材力中偏心受壓公式算得結(jié)果相同?！厮椒较蚓€性分布，材力中為拋物線分布。沿水平方向的應(yīng)力分布(3-7)xyO結(jié)果的適用性：（1）當(dāng)壩的橫截面變化時(shí)，不再為平面應(yīng)變問題，其結(jié)果誤差較大。（2）假定壩下端無限延伸，可自由變形。而實(shí)際壩高有限，底部與基礎(chǔ)相連，有地基約束，故底部處結(jié)果誤差較大。（3）實(shí)際壩頂非尖頂，壩頂處有其它載荷，故壩頂處結(jié)果誤差較大?！切沃亓蔚木_分析，常借助于有限元數(shù)值方法求解。平面問題的直角坐標(biāo)解答一、多項(xiàng)式解答——逆解法二、梁、長(zhǎng)板類彈性體應(yīng)力函數(shù)方法應(yīng)力分量與梁內(nèi)力的關(guān)系可表示為：考慮擠壓應(yīng)力影響導(dǎo)致然后由：確定應(yīng)力函數(shù)的具體形式。三、三角形板、楔形體的求解方法因次分析法（