管理里統(tǒng)計學(xué)3統(tǒng)計資料的綜合

表示統(tǒng)計資料的特征數(shù)有哪些？幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)各適合于什么情況？計算樣本方差與總體方差公式有何區(qū)別？集中位置分散程度偏倚程度3.1表示集中位置的特征數(shù)3.1.1平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）幾何平均數(shù)（GeometricMean）調(diào)和平均數(shù)定義：一組n個觀測值x1,x2,…，xn的算術(shù)平均數(shù)，定義為(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）如果資料已經(jīng)分組，組數(shù)為k，用x1,x2,…，xk

表示各組中點，f1，f2…,fk

表示相應(yīng)的頻數(shù)，那么(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）表3-1某校125位大學(xué)一年級新生體重表體重（公斤）組中值(x)

人數(shù)(f)46—4847449—51502052—54532555—57563858—60592161—63621264—66655(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）其平均體重：=＝＝55.592(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）

當時最小

性質(zhì)(1)算術(shù)平均數(shù)（Arithmeticaverage）在數(shù)據(jù)為環(huán)比類型的問題中，算術(shù)平均數(shù)是不適用的。例如下表是天津市工業(yè)總產(chǎn)值在“十五”期間的逐年增長率，如求該期間平均增長率，算術(shù)平均數(shù)是不恰當?shù)摹缀纹骄鶖?shù)可以解決這個問題。(2)幾何平均數(shù)（GeometricMean）表3-2天津市工業(yè)總產(chǎn)值年份比上年增長％2000200114.0200219.6200324.1200431.0200520.8（天津市2005統(tǒng)計年鑒）

(2)幾何平均數(shù)（GeometricMean）定義:一組n個數(shù)據(jù)的幾何平均數(shù)定義為在上式中，依次為114.0，119.6，124.1，十五期間天津市工業(yè)總產(chǎn)值年均增長率為21.8%。131.0，120.8于是幾何平均數(shù)：(2)幾何平均數(shù)（GeometricMean）當數(shù)據(jù)是相對變化率，求平均數(shù)時，算術(shù)平均數(shù)也不恰當。例如：甲乙兩地相距120公里，某人乘車往返甲乙兩地之間，去時速度每小時20公里，回來時速度為每小時30公里，若求平均速度，這時用算術(shù)平均數(shù)是不對的，但調(diào)和平均數(shù)可解決此類問題。(3)調(diào)和平均數(shù)在上例中，（公里/小時）定義：一組n個數(shù)據(jù)的調(diào)和平均數(shù)H，由下式定義(3)調(diào)和平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)是三種不同形式平均數(shù)，分別有各自的應(yīng)用條件

進行統(tǒng)計研究時，適宜采用算術(shù)平均數(shù)時就不能用調(diào)和平均數(shù)或幾何平均數(shù)，適宜用調(diào)和平均數(shù)時，同樣也不能采用其他兩種平均數(shù)。但從數(shù)量關(guān)系來考慮，如果用同一資料（變量各值不相等）：調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)表示了集中位置特征，它照顧到每一個值，但它不見得是出現(xiàn)次數(shù)最多的值（甚至也可能不是觀測值中的一個）。所以有必要研究表示集中位置的其它的特征數(shù)。3.1.2眾數(shù)（Mode）定義：對于有頻數(shù)分布的變量，它的眾數(shù)指頻數(shù)最大的變量的值表3-3頻數(shù)分布表Xf3155273對于已分組且等組距的頻數(shù)分布，根據(jù)最大頻數(shù)，可求得眾數(shù)所在組。根據(jù)眾數(shù)定義，可知眾數(shù)不唯一。3.1.2眾數(shù)（Mode）算術(shù)平均數(shù)作為集中位置的特征還有一缺點，就是受觀測值中極端值的影響很大，而一組觀測值中的極端值常常沒有代表性。中位數(shù)將避免這種影響。3.1.3中位數(shù)（Median）

一組n個觀測值按數(shù)值大小排列，處于中央位置的值稱為中位數(shù)以表示，，當n為奇數(shù)，當n為偶數(shù)定義：即3.1.3中位數(shù)（Median）性質(zhì)：一組觀測值中小于Me的個數(shù)和大于Me的個數(shù)相等。當最小第25百分位數(shù)又稱第一個四分位數(shù)（FirstQuartile）,用Q1表示；第50百分位數(shù)又稱第二個四分位數(shù)（SecondQuartile），用Q2表示；第75百分位數(shù)又稱第三個四分位數(shù)（ThirdQuartile）,用Q3表示。中位數(shù)是第50百分位數(shù)一組n個觀測值按數(shù)值大小排列如x1,x2,x3,x4…處于p%位置的值稱第p百分位數(shù)。定義：3.1.4百分位數(shù)（Percentile）計算第p百分數(shù)第1步：以遞增順序排列原數(shù)據(jù)（即從小到大排列）。第2步：計算指數(shù)

第3步1.若i不是整數(shù)，將i向上取整。大于I的毗鄰整數(shù)為第p百分位數(shù)的位置。2.若i是整數(shù)，則第P百分位數(shù)是第i項與第（i＋l）項數(shù)據(jù)的平均值。如何計算百分位數(shù)2210225523502380238023902420244024502550263028253.1.4四分位數(shù)（quartile）數(shù)據(jù)的變異程度產(chǎn)品質(zhì)量檢查的結(jié)果說明生產(chǎn)是否穩(wěn)定測量的結(jié)果說明測量方法或儀器是精密還是粗糙學(xué)生的成績成績是否整齊（而不是高低）3.2表示變異（分散）程度的特征數(shù)定義

其中xmax和xmin分別為數(shù)據(jù)中的極大值和極小值。3.2.1極差（或稱全距Range）R對于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）定義平均差M.D.是離差的絕對值的平均數(shù)，即3.2.2平均差（MeanAbsoluteDeviation）方差

樣本

對于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）總體

樣本

總體

3.2.3方差（Variance），標準差（Standard

Deviation）標準差樣本標準差總體標準差樣本標準差總體標準差對于已分組的頻數(shù)分布（組數(shù)為k）標準差的單位與X的單位相同。3.2.3方差（Variance），標準差（Standard

Deviation）定義變異系數(shù)C是一個無量綱的量。它適于用在比較有不同算術(shù)平均數(shù)或有不同量綱的兩組數(shù)據(jù)的情況。例如比較大學(xué)生身高與小學(xué)生身高，或比較130名大學(xué)生身高和體重哪個變化波動范圍比較大時，都可用變異系數(shù)。3.2.4變異系數(shù)（CoefficientofVariation）3.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對位置

下圖列舉出了對稱的、具有左偏態(tài)（負偏態(tài)）和右偏態(tài)（正偏態(tài)）的頻數(shù)分布的例子。注意到它們的特點是：①對稱的分布的眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)相同；②具有偏倚性的分布，算術(shù)平均數(shù)突出在外，偏向分布的尾端，而中位數(shù)則介于眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)之間。偏倚性是表示各觀測值分布不對稱情況或程度的。3.3表示偏倚情況或程度的特征數(shù)

圖3-13.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對位置>Me>Mo<Me<Mo

=Me=Mo可以看出，對于單峰的分布，對稱態(tài)：左偏態(tài)：右偏態(tài)：3.3.1比較眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)的相對位置（1）Pearson偏倚系數(shù)Pearson分布對稱，則k=0左偏態(tài)，則k<0右偏態(tài)，則k>03.3.2定量地描述偏倚性，常用的兩個公式（2）用標準化的三階矩陣g表示3.3.2定量地描述偏倚性，常用的兩個公式

3.4五數(shù)概括法五數(shù)概括法（2）第1四分位數(shù)（Q1）。（3）中位數(shù)（Q2）。（4）第3四分位數(shù)（Q3）。（5）最大值。（1）最小值。首先將數(shù)據(jù)按遞增順序排列，然后很容易就能確定最小值、3個四分位數(shù)和最大值了。對12個月薪數(shù)據(jù)的樣本，按照遞增順序排列如下：221022552350|238023802390|242024402450|255026302825Q1＝2365Q2＝2405Q3＝2500上述起薪數(shù)據(jù)以五數(shù)概括為：2210，2365，2405，2500，2825。3.4五數(shù)概括法盒形圖實際上是以圖形來概括數(shù)據(jù)。我們將盒形圖延至這一章才講是因為它的關(guān)鍵是計算中位數(shù)和四分位數(shù)Q1和Q3。此外還將用到四分位數(shù)間距IQR＝Q3－Q1

。盒形圖的畫法步驟如下：

（1）畫一個方盒，其邊界恰好是第1和第3四分位數(shù)。對于上述的起薪數(shù)據(jù)，Q1＝2365，Q3＝2500。這個方盒包含了中間的50％的數(shù)據(jù)。（2）在方盒上中位數(shù)的位置畫一條垂線（對起薪數(shù)據(jù)，中位數(shù)為2405）。因此中位數(shù)將數(shù)據(jù)分為相等的兩個部分。3.5盒形圖（3）利用四分位數(shù)間距IQR=Q