時(shí)間序列分析

第4章時(shí)間序列分析和預(yù)測4.1

時(shí)間序列及其分解4.2趨勢型序列的預(yù)測4.3季節(jié)型序列的預(yù)測4.4復(fù)合型序列的分解預(yù)測4.5周期性分析4.6時(shí)間序列的描述性分析4.1時(shí)間序列及其分解4.1.1時(shí)間序列的構(gòu)成要素4.1.2時(shí)間序列的分解方法時(shí)間序列

(timesseries)1. 同一現(xiàn)象在不同時(shí)間上的相繼觀察值排列而成的數(shù)列2. 形式上由現(xiàn)象所屬的時(shí)間和現(xiàn)象在不同時(shí)間上的觀察值兩部分組成3. 排列的時(shí)間可以是年份、季度、月份或其他任何時(shí)間形式時(shí)間序列的分類時(shí)間序列的分類平穩(wěn)序列(stationaryseries)基本上不存在趨勢的序列，各觀察值基本上在某個(gè)固定的水平上波動(dòng)或雖有波動(dòng)，但并不存在某種規(guī)律，而其波動(dòng)可以看成是隨機(jī)的非平穩(wěn)序列

(non-stationaryseries)有趨勢的序列線性的，非線性的有趨勢、季節(jié)性和周期性的復(fù)合型序列時(shí)間序列的成分時(shí)間序列的成分趨勢(trend)持續(xù)向上或持續(xù)下降的狀態(tài)或規(guī)律季節(jié)性(seasonality)也稱季節(jié)變動(dòng)(seasonalfluctuation)時(shí)間序列在一年內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的周期性波動(dòng)

周期性(cyclity)

也稱循環(huán)波動(dòng)(cyclicalfluctuation)圍繞長期趨勢的一種波浪形或振蕩式變動(dòng)

隨機(jī)性(random)

也稱不規(guī)則波動(dòng)(irregularvariations)除去趨勢、周期性和季節(jié)性之后的偶然性波動(dòng)

含有不同成分的時(shí)間序列平穩(wěn)趨勢季節(jié)季節(jié)與趨勢時(shí)間序列的分解模型乘法模型

Yi=Ti×Si×Ci×Ii加法模型

Yi=Ti+Si+Ci+Ii

4.2趨勢型序列的預(yù)測4.2.1線性趨勢預(yù)測4.2.2非線性趨勢預(yù)測趨勢序列及其預(yù)測方法趨勢(trend)持續(xù)向上或持續(xù)下降的狀態(tài)或規(guī)律有線性趨勢和非線性趨勢方法主要有線性趨勢預(yù)測非線性趨勢預(yù)測自回歸模型預(yù)測線性趨勢預(yù)測線性趨勢

(lineartrend)現(xiàn)象隨著時(shí)間的推移而呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長或下降的線性變化規(guī)律由影響時(shí)間序列的基本因素作用形成時(shí)間序列的成分之一預(yù)測方法：線性模型法線性模型法

(線性趨勢方程)線性方程的形式為

—時(shí)間序列的預(yù)測值

t—時(shí)間標(biāo)號

a—趨勢線在Y軸上的截距

b—趨勢線的斜率，表示時(shí)間t

變動(dòng)一個(gè)單位時(shí)觀察值的平均變動(dòng)數(shù)量線性模型法

(a和b的求解方程)根據(jù)最小二乘法得到求解a

和b

的標(biāo)準(zhǔn)方程為解得預(yù)測誤差可用估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差來衡量m為趨勢方程中待確定的未知常數(shù)的個(gè)數(shù)

線性模型法

(例題分析)【例】根據(jù)人口自然增長率數(shù)據(jù)，用最小二乘法確定直線趨勢方程，計(jì)算出各期的預(yù)測值和預(yù)測誤差，預(yù)測2001年的人口自然增長率，并將原序列和各期的預(yù)測值序列繪制成圖形進(jìn)行比較線性趨勢方程：預(yù)測的R2和估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：R2=0.9545

2001年人口自然增長率的預(yù)測值

(‰)用Excel進(jìn)行線性趨勢預(yù)測線性模型法

(例題分析)線性模型法

(例題分析)非線性趨勢預(yù)測現(xiàn)象的發(fā)展趨勢為拋物線形態(tài)一般形式為根據(jù)最小二乘法求a，b，c的標(biāo)準(zhǔn)方程二次曲線

(seconddegreecurve)二次曲線

(例題分析)【例】根據(jù)能源生產(chǎn)總量數(shù)據(jù)，計(jì)算出各期的預(yù)測值和預(yù)測誤差，預(yù)測2001年的能源生產(chǎn)總量，并將原序列和各期的預(yù)測值序列繪制成圖形進(jìn)行比較二次曲線方程：預(yù)測的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：

2001年能源生產(chǎn)總量的預(yù)測值

用Excel進(jìn)行二次趨勢預(yù)測二次曲線

(例題分析)二次曲線

(例題分析)時(shí)間序列以幾何級數(shù)遞增或遞減一般形式為指數(shù)曲線

(exponentialcurve)a，b為待估的未知常數(shù)若b>1，增長率隨著時(shí)間t的增加而增加若b<1，增長率隨著時(shí)間t的增加而降低若a>0，b<1，趨勢值逐漸降低到以0為極限指數(shù)曲線

(a，b的求解方法)采取“線性化”手段將其化為對數(shù)直線形式根據(jù)最小二乘法，得到求解lga、lgb

的標(biāo)準(zhǔn)方程為求出lga和lgb后，再取其反對數(shù)，即得算術(shù)形式的a和b

指數(shù)曲線

(例題分析)【例】根據(jù)人均GDP數(shù)據(jù)，確定指數(shù)曲線方程，計(jì)算出各期的預(yù)測值和預(yù)測誤差，預(yù)測2001年的人均GDP，并將原序列和各期的預(yù)測值序列繪制成圖形進(jìn)行比較指數(shù)曲線趨勢方程：預(yù)測的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差：

2001年人均GDP的預(yù)測值

用Excel進(jìn)行指數(shù)趨勢預(yù)測指數(shù)曲線

(例題分析)指數(shù)曲線

(例題分析)指數(shù)曲線與直線的比較比一般的趨勢直線有著更廣泛的應(yīng)用可以反應(yīng)現(xiàn)象的相對發(fā)展變化程度上例中，b=0.170406表示1986—2000年人均GDP的年平均增長率為17.0406%

不同序列的指數(shù)曲線可以進(jìn)行比較比較分析相對增長程度在一般指數(shù)曲線的方程上增加一個(gè)常數(shù)項(xiàng)K一般形式為修正指數(shù)曲線

(modifiedexponentialcurve)K，a，b為未知常數(shù)K>0，a≠0，0<b≠1用于描述的現(xiàn)象：初期增長迅速，隨后增長率逐漸降低，最終則以K為增長極限修正指數(shù)曲線

(求解k，a，b

的三和法)

趨勢值K無法事先確定時(shí)采用將時(shí)間序列觀察值等分為三個(gè)部分，每部分有m個(gè)時(shí)期令預(yù)測值的三個(gè)局部總和分別等于原序列觀察值的三個(gè)局部總和修正指數(shù)曲線

(求解k，a，b

的三和法)

根據(jù)三和法求得設(shè)觀察值的三個(gè)局部總和分別為S1，S2，S3修正指數(shù)曲線

(例題分析)【例】我國1983—2000年的糖產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表。試確定修正指數(shù)曲線方程，計(jì)算出各期的預(yù)測值和預(yù)測誤差，預(yù)測2001年的糖產(chǎn)量，并將原序列和各期的預(yù)測值序列繪制成圖形進(jìn)行比較修正指數(shù)曲線

(例題分析)修正指數(shù)曲線

(例題分析)解得K，a

，b

如下修正指數(shù)曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程2001年糖產(chǎn)量的預(yù)測值預(yù)測的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差$Yt

=753.71415–558.37179(0.82187)t修正指數(shù)曲線

(例題分析)以英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家B·Gompertz

的名字而命名一般形式為Gompertz

曲線

(Gompertzcurve)描述的現(xiàn)象：初期增長緩慢，以后逐漸加快，當(dāng)達(dá)到一定程度后，增長率又逐漸下降，最后接近一條水平線兩端都有漸近線，上漸近線為Y=K,下漸近線為Y=0K，a，b為未知常數(shù)K>0，0<a≠1，0<b≠1Gompertz

曲線

(求解K，a，b

的三和法)

仿照修正指數(shù)曲線的常數(shù)確定方法，求出lg

a、lg

K、b取

lg

a、lg

K的反對數(shù)求得a和K

則有：將其改寫為對數(shù)形式：令：Gompertz

曲線

(例題分析)【例】我國1983—2000年的糖產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表。試確定修正指數(shù)曲線方程，計(jì)算出各期的預(yù)測值和預(yù)測誤差，預(yù)測2001年的糖產(chǎn)量，并將原序列和各期的預(yù)測值序列繪制成圖形進(jìn)行比較Gompertz

曲線

(例題分析)Gompertz

曲線

(例題分析)Gompertz

曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的Gompertz曲線方程2001年糖產(chǎn)量的預(yù)測值預(yù)測的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差Gompertz

曲線

(例題分析)羅吉斯蒂曲線

(Logisticcurve)1838年比利時(shí)數(shù)學(xué)家Verhulst所確定的名稱該曲線所描述的現(xiàn)象的與Gompertz曲線類似3.其曲線方程為K，a，b為未知常數(shù)K>0，a>0，0<b≠1Logistic曲線

(求解k、a、b

的三和法)

取觀察值Yt的倒數(shù)Yt-1當(dāng)Yt-1

很小時(shí)，可乘以

10的適當(dāng)次方

a，b，K的求解方程為趨勢線的選擇觀察散點(diǎn)圖根據(jù)觀察數(shù)據(jù)本身，按以下標(biāo)準(zhǔn)選擇趨勢線一次差大體相同，配合直線二次差大體相同，配合二次曲線對數(shù)的一次差大體相同，配合指數(shù)曲線一次差的環(huán)比值大體相同，配合修正指數(shù)曲線對數(shù)一次差的環(huán)比值大體相同，配合Gompertz曲線倒數(shù)一次差的環(huán)比值大體相同，配合Logistic曲線3.比較估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤差4.3季節(jié)型序列的預(yù)測季節(jié)性多元回歸預(yù)測

(seasonalmultipleregression)用虛擬變量表示季節(jié)的多元回歸預(yù)測方法。如果數(shù)據(jù)是按季度記錄的，需要引入3個(gè)虛擬變量；如果數(shù)據(jù)是按月來記錄的，則需要引入11個(gè)虛擬變量季節(jié)性多元回歸模型可表示為季節(jié)性多元回歸預(yù)測

(系數(shù)的解釋)b0—時(shí)間序列的平均值b1—趨勢成分的系數(shù)，表示趨勢給時(shí)間序列帶來的影響值Q1、Q2、Q3—3個(gè)季度的虛擬變量b1、b2、b3—每一個(gè)季度與參照的第4季度的平均差值季節(jié)性多元回歸預(yù)測

(例題分析)【例】一家商場2003年～2005年各季度的銷售額數(shù)據(jù)如表(單位：萬元)。試用季節(jié)性多元回歸模型預(yù)測2006年各季度的銷售額季節(jié)性多元回歸預(yù)測

(年度折疊序列圖)繪制年度折疊時(shí)間序列圖銷售序列中只含有季節(jié)成分

季節(jié)性多元回歸預(yù)測

(引入虛擬變量)季節(jié)性多元回歸預(yù)測

(用Excel進(jìn)行回歸)季節(jié)性多元回歸預(yù)測

(系數(shù)的解釋)季節(jié)性多元回歸模型各個(gè)系數(shù)的含義b0=3996.667表示平均銷售額b1=46.625表示每季度平均增加的銷售額(趨勢)b2=-278.125表示第1季度的銷售額比第4季度平均少278.125萬元b3=-1664.417表示第2季度的銷售額比第4季度平均少1664.417萬元b4=-2265.375表示第3季度的銷售額比第4季度平均少2260.375萬元季節(jié)性多元回歸預(yù)測

(歷史數(shù)據(jù)的預(yù)測)季節(jié)性多元回歸預(yù)測

(2006年的預(yù)測)實(shí)際值和預(yù)測值圖4.4復(fù)合型序列的分解預(yù)測1）確定并分離季節(jié)成分2）建立預(yù)測模型并進(jìn)行預(yù)測3）計(jì)算最后的預(yù)測值預(yù)測步驟確定并分離季節(jié)成分計(jì)算季節(jié)指數(shù)，以確定時(shí)間序列中的季節(jié)成分將季節(jié)成分從時(shí)間序列中分離出去，即用每一個(gè)觀測值除以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)，以消除季節(jié)性建立預(yù)測模型并進(jìn)行預(yù)測對消除季節(jié)成分的序列建立適當(dāng)?shù)念A(yù)測模型，并根據(jù)這一模型進(jìn)行預(yù)測計(jì)算出最后的預(yù)測值用預(yù)測值乘以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)，得到最終的預(yù)測值確定并分離季節(jié)成分季節(jié)指數(shù)

(例題分析)【例】下表是一家啤酒生產(chǎn)企業(yè)2000—2005年各季度的啤酒銷售量數(shù)據(jù)。試計(jì)算各季度的季節(jié)指數(shù)BEER朝日BEER朝日BEER朝日圖形描述計(jì)算季節(jié)指數(shù)

(seasonalindex)刻畫序列在一個(gè)年度內(nèi)各月或季的典型季節(jié)特征以其平均數(shù)等于100%為條件而構(gòu)成反映某一月份或季度的數(shù)值占全年平均數(shù)值的大小如果現(xiàn)象的發(fā)展沒有季節(jié)變動(dòng)，則各期的季節(jié)指數(shù)應(yīng)等于100%季節(jié)變動(dòng)的程度是根據(jù)各季節(jié)指數(shù)與其平均數(shù)(100%)的偏差程度來測定如果某一月份或季度有明顯的季節(jié)變化，則各期的季節(jié)指數(shù)應(yīng)大于或小于100%季節(jié)指數(shù)

(計(jì)算步驟)計(jì)算移動(dòng)平均值(季度數(shù)據(jù)采用4項(xiàng)移動(dòng)平均，月份數(shù)據(jù)采用12項(xiàng)移動(dòng)平均)，并將其結(jié)果進(jìn)行“中心化”處理將移動(dòng)平均的結(jié)果再進(jìn)行一次二項(xiàng)的移動(dòng)平均，即得出“中心化移動(dòng)平均值”(CMA)計(jì)算移動(dòng)平均的比值，也成為季節(jié)比率將序列的各觀察值除以相應(yīng)的中心化移動(dòng)平均值，然后再計(jì)算出各比值的季度(或月份)平均值，即季節(jié)指數(shù)季節(jié)指數(shù)調(diào)整各季節(jié)指數(shù)的平均數(shù)應(yīng)等于1或100%，若根據(jù)第2步計(jì)算的季節(jié)比率的平均值不等于1時(shí)，則需要進(jìn)行調(diào)整具體方法是：將第2步計(jì)算的每個(gè)季節(jié)比率的平均值除以它們的總平均值季節(jié)指數(shù)

(例題分析)季節(jié)指數(shù)

(例題分析)季節(jié)指數(shù)

(例題分析)分離季節(jié)因素將原時(shí)間序列除以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)季節(jié)因素分離后的序列反映了在沒有季節(jié)因素影響的情況下時(shí)間序列的變化形態(tài)季節(jié)性及其分離圖建立預(yù)測模型并進(jìn)行預(yù)測線性趨勢模型及預(yù)測根據(jù)分離季節(jié)性因素的序列確定線性趨勢方程根據(jù)趨勢方程進(jìn)行預(yù)測該預(yù)測值不含季節(jié)性因素，即在沒有季節(jié)因素影響情況下的預(yù)測值計(jì)算最終的預(yù)測值將回歸預(yù)測值乘以相應(yīng)的季節(jié)指數(shù)線性趨勢預(yù)測和最終預(yù)測值

(例題分析)2006年預(yù)測值

(例題分析)實(shí)際值和最終預(yù)測值圖4.5周期性分析周期性分析近乎規(guī)律性的從低至高再從高至低的周而復(fù)始的變動(dòng)不同于趨勢變動(dòng)，它不是朝著單一方向的持續(xù)運(yùn)動(dòng)，而是漲落相間的交替波動(dòng)不同于季節(jié)變動(dòng)，其變化無固定規(guī)律，變動(dòng)周期多在一年以上，且周期長短不一時(shí)間長短和波動(dòng)大小不一，且常與不規(guī)則波動(dòng)交織在一起，很難單獨(dú)加以描述和分析分析周期性需要較長的時(shí)間序列數(shù)據(jù)周期性分析

(剩余法)先消去季節(jié)變動(dòng)，求得無季節(jié)性資料將結(jié)果除以由分離季節(jié)性因素后的數(shù)據(jù)計(jì)算得到的趨勢值，求得含有周期性及隨機(jī)波動(dòng)的序列將結(jié)果進(jìn)行移動(dòng)平均(MA)

，以消除不規(guī)則波動(dòng)，即得循環(huán)波動(dòng)值

C=MA(C×I)隨機(jī)波動(dòng)

(例題分析)周期波動(dòng)圖隨機(jī)波動(dòng)圖4.6時(shí)間序列的描述性分析4.6.1圖形描述4.6.2增長率分析圖形描述圖形描述

(例題分析)圖形描述

(例題分析)增長率分析增長率

(growthrate)也稱增長速度報(bào)告期觀察值與基期觀察值之比減1，用百分比表示由于對比的基期不同，增長率可以分為環(huán)比增長率和定基增長率由于計(jì)算方法的不同，有一般增長率、平均增長率、年度化增長率環(huán)比增長率與定基增長率環(huán)比增長率報(bào)告期水平與前一期水平之比減1定基增長率報(bào)告期水平與某一固定時(shí)期水平之比減1平均增長率

(averagerateofincrease)序列中各逐期環(huán)比值(也稱環(huán)比發(fā)展速度)的幾何平均數(shù)減1后的結(jié)果描述現(xiàn)象在整個(gè)觀察期內(nèi)平均增長變化的程度通常用幾何平均法求得。計(jì)算公式為平均增長率

(例題分析

)【例】見人均GDP數(shù)據(jù)

年平均增長率為2001年和2002年人均GDP的預(yù)測值分別為年度化增長率

(annualizedrate)增長率以年來表示時(shí)，稱為年度化增長率或年率可將月度增長率或季度增長率轉(zhuǎn)換為年度增長率計(jì)算公式為m為一年中的時(shí)期個(gè)數(shù)；n為所跨的時(shí)期總數(shù)季度增長率被年度化時(shí)，m=4

月增長率被年度化時(shí)，m=12當(dāng)m=n時(shí)，上述公式就是年增長率年度化增長率

(例題分析)【例】已知某地區(qū)如下數(shù)據(jù)，計(jì)算年度化增長率1999年1月份的社會(huì)商品零售總額為25億元，2000年1月份的社會(huì)商品零售總額為30億元1998年3月份財(cái)政收入總額為240億元，2000年6月份的財(cái)政收入總額為300億元2000年1季度完成國內(nèi)生產(chǎn)總值為500億元，2季度完成國內(nèi)生產(chǎn)總值為510億元1997年4季度完成的工業(yè)增加值為280億元，2000年4季度完成的工業(yè)增加值為350億元年度化增長率

(例題分析)解：由于是月份數(shù)據(jù)，所以m=12；從1999年1月到2000年1月所跨的月份總數(shù)為12，所以n=12

即年度化增長率為20%，這實(shí)際上就是年增長率，因?yàn)樗绲臅r(shí)期總數(shù)為1年。也就是該地區(qū)社會(huì)商品零售總額的年增長率為20%

年度化增長率

(例題分析)解：

m=12，n=27

年度化增長率為該地區(qū)財(cái)政收入的年增長率為10.43%

年度化增長率

(例題分析)解：由于是季度數(shù)據(jù)，所以