時間序列分析

第4章時間序列分析和預測4.1

時間序列及其分解4.2趨勢型序列的預測4.3季節(jié)型序列的預測4.4復合型序列的分解預測4.5周期性分析4.6時間序列的描述性分析4.1時間序列及其分解4.1.1時間序列的構(gòu)成要素4.1.2時間序列的分解方法時間序列

(timesseries)1. 同一現(xiàn)象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的數(shù)列2. 形式上由現(xiàn)象所屬的時間和現(xiàn)象在不同時間上的觀察值兩部分組成3. 排列的時間可以是年份、季度、月份或其他任何時間形式時間序列的分類時間序列的分類平穩(wěn)序列(stationaryseries)基本上不存在趨勢的序列，各觀察值基本上在某個固定的水平上波動或雖有波動，但并不存在某種規(guī)律，而其波動可以看成是隨機的非平穩(wěn)序列

(non-stationaryseries)有趨勢的序列線性的，非線性的有趨勢、季節(jié)性和周期性的復合型序列時間序列的成分時間序列的成分趨勢(trend)持續(xù)向上或持續(xù)下降的狀態(tài)或規(guī)律季節(jié)性(seasonality)也稱季節(jié)變動(seasonalfluctuation)時間序列在一年內(nèi)重復出現(xiàn)的周期性波動

周期性(cyclity)

也稱循環(huán)波動(cyclicalfluctuation)圍繞長期趨勢的一種波浪形或振蕩式變動

隨機性(random)

也稱不規(guī)則波動(irregularvariations)除去趨勢、周期性和季節(jié)性之后的偶然性波動

含有不同成分的時間序列平穩(wěn)趨勢季節(jié)季節(jié)與趨勢時間序列的分解模型乘法模型

Yi=Ti×Si×Ci×Ii加法模型

Yi=Ti+Si+Ci+Ii

4.2趨勢型序列的預測4.2.1線性趨勢預測4.2.2非線性趨勢預測趨勢序列及其預測方法趨勢(trend)持續(xù)向上或持續(xù)下降的狀態(tài)或規(guī)律有線性趨勢和非線性趨勢方法主要有線性趨勢預測非線性趨勢預測自回歸模型預測線性趨勢預測線性趨勢

(lineartrend)現(xiàn)象隨著時間的推移而呈現(xiàn)出穩(wěn)定增長或下降的線性變化規(guī)律由影響時間序列的基本因素作用形成時間序列的成分之一預測方法：線性模型法線性模型法

(線性趨勢方程)線性方程的形式為

—時間序列的預測值

t—時間標號

a—趨勢線在Y軸上的截距

b—趨勢線的斜率，表示時間t

變動一個單位時觀察值的平均變動數(shù)量線性模型法

(a和b的求解方程)根據(jù)最小二乘法得到求解a

和b

的標準方程為解得預測誤差可用估計標準誤差來衡量m為趨勢方程中待確定的未知常數(shù)的個數(shù)

線性模型法

(例題分析)【例】根據(jù)人口自然增長率數(shù)據(jù)，用最小二乘法確定直線趨勢方程，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2001年的人口自然增長率，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較線性趨勢方程：預測的R2和估計標準誤差：R2=0.9545

2001年人口自然增長率的預測值

(‰)用Excel進行線性趨勢預測線性模型法

(例題分析)線性模型法

(例題分析)非線性趨勢預測現(xiàn)象的發(fā)展趨勢為拋物線形態(tài)一般形式為根據(jù)最小二乘法求a，b，c的標準方程二次曲線

(seconddegreecurve)二次曲線

(例題分析)【例】根據(jù)能源生產(chǎn)總量數(shù)據(jù)，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2001年的能源生產(chǎn)總量，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較二次曲線方程：預測的估計標準誤差：

2001年能源生產(chǎn)總量的預測值

用Excel進行二次趨勢預測二次曲線

(例題分析)二次曲線

(例題分析)時間序列以幾何級數(shù)遞增或遞減一般形式為指數(shù)曲線

(exponentialcurve)a，b為待估的未知常數(shù)若b>1，增長率隨著時間t的增加而增加若b<1，增長率隨著時間t的增加而降低若a>0，b<1，趨勢值逐漸降低到以0為極限指數(shù)曲線

(a，b的求解方法)采取“線性化”手段將其化為對數(shù)直線形式根據(jù)最小二乘法，得到求解lga、lgb

的標準方程為求出lga和lgb后，再取其反對數(shù)，即得算術(shù)形式的a和b

指數(shù)曲線

(例題分析)【例】根據(jù)人均GDP數(shù)據(jù)，確定指數(shù)曲線方程，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2001年的人均GDP，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較指數(shù)曲線趨勢方程：預測的估計標準誤差：

2001年人均GDP的預測值

用Excel進行指數(shù)趨勢預測指數(shù)曲線

(例題分析)指數(shù)曲線

(例題分析)指數(shù)曲線與直線的比較比一般的趨勢直線有著更廣泛的應用可以反應現(xiàn)象的相對發(fā)展變化程度上例中，b=0.170406表示1986—2000年人均GDP的年平均增長率為17.0406%

不同序列的指數(shù)曲線可以進行比較比較分析相對增長程度在一般指數(shù)曲線的方程上增加一個常數(shù)項K一般形式為修正指數(shù)曲線

(modifiedexponentialcurve)K，a，b為未知常數(shù)K>0，a≠0，0<b≠1用于描述的現(xiàn)象：初期增長迅速，隨后增長率逐漸降低，最終則以K為增長極限修正指數(shù)曲線

(求解k，a，b

的三和法)

趨勢值K無法事先確定時采用將時間序列觀察值等分為三個部分，每部分有m個時期令預測值的三個局部總和分別等于原序列觀察值的三個局部總和修正指數(shù)曲線

(求解k，a，b

的三和法)

根據(jù)三和法求得設觀察值的三個局部總和分別為S1，S2，S3修正指數(shù)曲線

(例題分析)【例】我國1983—2000年的糖產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表。試確定修正指數(shù)曲線方程，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2001年的糖產(chǎn)量，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較修正指數(shù)曲線

(例題分析)修正指數(shù)曲線

(例題分析)解得K，a

，b

如下修正指數(shù)曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的修正指數(shù)曲線方程2001年糖產(chǎn)量的預測值預測的估計標準誤差$Yt

=753.71415–558.37179(0.82187)t修正指數(shù)曲線

(例題分析)以英國統(tǒng)計學家和數(shù)學家B·Gompertz

的名字而命名一般形式為Gompertz

曲線

(Gompertzcurve)描述的現(xiàn)象：初期增長緩慢，以后逐漸加快，當達到一定程度后，增長率又逐漸下降，最后接近一條水平線兩端都有漸近線，上漸近線為Y=K,下漸近線為Y=0K，a，b為未知常數(shù)K>0，0<a≠1，0<b≠1Gompertz

曲線

(求解K，a，b

的三和法)

仿照修正指數(shù)曲線的常數(shù)確定方法，求出lg

a、lg

K、b取

lg

a、lg

K的反對數(shù)求得a和K

則有：將其改寫為對數(shù)形式：令：Gompertz

曲線

(例題分析)【例】我國1983—2000年的糖產(chǎn)量數(shù)據(jù)如表。試確定修正指數(shù)曲線方程，計算出各期的預測值和預測誤差，預測2001年的糖產(chǎn)量，并將原序列和各期的預測值序列繪制成圖形進行比較Gompertz

曲線

(例題分析)Gompertz

曲線

(例題分析)Gompertz

曲線

(例題分析)糖產(chǎn)量的Gompertz曲線方程2001年糖產(chǎn)量的預測值預測的估計標準誤差Gompertz

曲線

(例題分析)羅吉斯蒂曲線

(Logisticcurve)1838年比利時數(shù)學家Verhulst所確定的名稱該曲線所描述的現(xiàn)象的與Gompertz曲線類似3.其曲線方程為K，a，b為未知常數(shù)K>0，a>0，0<b≠1Logistic曲線

(求解k、a、b

的三和法)

取觀察值Yt的倒數(shù)Yt-1當Yt-1

很小時，可乘以

10的適當次方

a，b，K的求解方程為趨勢線的選擇觀察散點圖根據(jù)觀察數(shù)據(jù)本身，按以下標準選擇趨勢線一次差大體相同，配合直線二次差大體相同，配合二次曲線對數(shù)的一次差大體相同，配合指數(shù)曲線一次差的環(huán)比值大體相同，配合修正指數(shù)曲線對數(shù)一次差的環(huán)比值大體相同，配合Gompertz曲線倒數(shù)一次差的環(huán)比值大體相同，配合Logistic曲線3.比較估計標準誤差4.3季節(jié)型序列的預測季節(jié)性多元回歸預測

(seasonalmultipleregression)用虛擬變量表示季節(jié)的多元回歸預測方法。如果數(shù)據(jù)是按季度記錄的，需要引入3個虛擬變量；如果數(shù)據(jù)是按月來記錄的，則需要引入11個虛擬變量季節(jié)性多元回歸模型可表示為季節(jié)性多元回歸預測

(系數(shù)的解釋)b0—時間序列的平均值b1—趨勢成分的系數(shù)，表示趨勢給時間序列帶來的影響值Q1、Q2、Q3—3個季度的虛擬變量b1、b2、b3—每一個季度與參照的第4季度的平均差值季節(jié)性多元回歸預測

(例題分析)【例】一家商場2003年～2005年各季度的銷售額數(shù)據(jù)如表(單位：萬元)。試用季節(jié)性多元回歸模型預測2006年各季度的銷售額季節(jié)性多元回歸預測

(年度折疊序列圖)繪制年度折疊時間序列圖銷售序列中只含有季節(jié)成分

季節(jié)性多元回歸預測

(引入虛擬變量)季節(jié)性多元回歸預測

(用Excel進行回歸)季節(jié)性多元回歸預測

(系數(shù)的解釋)季節(jié)性多元回歸模型各個系數(shù)的含義b0=3996.667表示平均銷售額b1=46.625表示每季度平均增加的銷售額(趨勢)b2=-278.125表示第1季度的銷售額比第4季度平均少278.125萬元b3=-1664.417表示第2季度的銷售額比第4季度平均少1664.417萬元b4=-2265.375表示第3季度的銷售額比第4季度平均少2260.375萬元季節(jié)性多元回歸預測

(歷史數(shù)據(jù)的預測)季節(jié)性多元回歸預測

(2006年的預測)實際值和預測值圖4.4復合型序列的分解預測1）確定并分離季節(jié)成分2）建立預測模型并進行預測3）計算最后的預測值預測步驟確定并分離季節(jié)成分計算季節(jié)指數(shù)，以確定時間序列中的季節(jié)成分將季節(jié)成分從時間序列中分離出去，即用每一個觀測值除以相應的季節(jié)指數(shù)，以消除季節(jié)性建立預測模型并進行預測對消除季節(jié)成分的序列建立適當?shù)念A測模型，并根據(jù)這一模型進行預測計算出最后的預測值用預測值乘以相應的季節(jié)指數(shù)，得到最終的預測值確定并分離季節(jié)成分季節(jié)指數(shù)

(例題分析)【例】下表是一家啤酒生產(chǎn)企業(yè)2000—2005年各季度的啤酒銷售量數(shù)據(jù)。試計算各季度的季節(jié)指數(shù)BEER朝日BEER朝日BEER朝日圖形描述計算季節(jié)指數(shù)

(seasonalindex)刻畫序列在一個年度內(nèi)各月或季的典型季節(jié)特征以其平均數(shù)等于100%為條件而構(gòu)成反映某一月份或季度的數(shù)值占全年平均數(shù)值的大小如果現(xiàn)象的發(fā)展沒有季節(jié)變動，則各期的季節(jié)指數(shù)應等于100%季節(jié)變動的程度是根據(jù)各季節(jié)指數(shù)與其平均數(shù)(100%)的偏差程度來測定如果某一月份或季度有明顯的季節(jié)變化，則各期的季節(jié)指數(shù)應大于或小于100%季節(jié)指數(shù)

(計算步驟)計算移動平均值(季度數(shù)據(jù)采用4項移動平均，月份數(shù)據(jù)采用12項移動平均)，并將其結(jié)果進行“中心化”處理將移動平均的結(jié)果再進行一次二項的移動平均，即得出“中心化移動平均值”(CMA)計算移動平均的比值，也成為季節(jié)比率將序列的各觀察值除以相應的中心化移動平均值，然后再計算出各比值的季度(或月份)平均值，即季節(jié)指數(shù)季節(jié)指數(shù)調(diào)整各季節(jié)指數(shù)的平均數(shù)應等于1或100%，若根據(jù)第2步計算的季節(jié)比率的平均值不等于1時，則需要進行調(diào)整具體方法是：將第2步計算的每個季節(jié)比率的平均值除以它們的總平均值季節(jié)指數(shù)

(例題分析)季節(jié)指數(shù)

(例題分析)季節(jié)指數(shù)

(例題分析)分離季節(jié)因素將原時間序列除以相應的季節(jié)指數(shù)季節(jié)因素分離后的序列反映了在沒有季節(jié)因素影響的情況下時間序列的變化形態(tài)季節(jié)性及其分離圖建立預測模型并進行預測線性趨勢模型及預測根據(jù)分離季節(jié)性因素的序列確定線性趨勢方程根據(jù)趨勢方程進行預測該預測值不含季節(jié)性因素，即在沒有季節(jié)因素影響情況下的預測值計算最終的預測值將回歸預測值乘以相應的季節(jié)指數(shù)線性趨勢預測和最終預測值

(例題分析)2006年預測值

(例題分析)實際值和最終預測值圖4.5周期性分析周期性分析近乎規(guī)律性的從低至高再從高至低的周而復始的變動不同于趨勢變動，它不是朝著單一方向的持續(xù)運動，而是漲落相間的交替波動不同于季節(jié)變動，其變化無固定規(guī)律，變動周期多在一年以上，且周期長短不一時間長短和波動大小不一，且常與不規(guī)則波動交織在一起，很難單獨加以描述和分析分析周期性需要較長的時間序列數(shù)據(jù)周期性分析

(剩余法)先消去季節(jié)變動，求得無季節(jié)性資料將結(jié)果除以由分離季節(jié)性因素后的數(shù)據(jù)計算得到的趨勢值，求得含有周期性及隨機波動的序列將結(jié)果進行移動平均(MA)

，以消除不規(guī)則波動，即得循環(huán)波動值

C=MA(C×I)隨機波動

(例題分析)周期波動圖隨機波動圖4.6時間序列的描述性分析4.6.1圖形描述4.6.2增長率分析圖形描述圖形描述

(例題分析)圖形描述

(例題分析)增長率分析增長率

(growthrate)也稱增長速度報告期觀察值與基期觀察值之比減1，用百分比表示由于對比的基期不同，增長率可以分為環(huán)比增長率和定基增長率由于計算方法的不同，有一般增長率、平均增長率、年度化增長率環(huán)比增長率與定基增長率環(huán)比增長率報告期水平與前一期水平之比減1定基增長率報告期水平與某一固定時期水平之比減1平均增長率

(averagerateofincrease)序列中各逐期環(huán)比值(也稱環(huán)比發(fā)展速度)的幾何平均數(shù)減1后的結(jié)果描述現(xiàn)象在整個觀察期內(nèi)平均增長變化的程度通常用幾何平均法求得。計算公式為平均增長率

(例題分析

)【例】見人均GDP數(shù)據(jù)

年平均增長率為2001年和2002年人均GDP的預測值分別為年度化增長率

(annualizedrate)增長率以年來表示時，稱為年度化增長率或年率可將月度增長率或季度增長率轉(zhuǎn)換為年度增長率計算公式為m為一年中的時期個數(shù)；n為所跨的時期總數(shù)季度增長率被年度化時，m=4

月增長率被年度化時，m=12當m=n時，上述公式就是年增長率年度化增長率

(例題分析)【例】已知某地區(qū)如下數(shù)據(jù)，計算年度化增長率1999年1月份的社會商品零售總額為25億元，2000年1月份的社會商品零售總額為30億元1998年3月份財政收入總額為240億元，2000年6月份的財政收入總額為300億元2000年1季度完成國內(nèi)生產(chǎn)總值為500億元，2季度完成國內(nèi)生產(chǎn)總值為510億元1997年4季度完成的工業(yè)增加值為280億元，2000年4季度完成的工業(yè)增加值為350億元年度化增長率

(例題分析)解：由于是月份數(shù)據(jù)，所以m=12；從1999年1月到2000年1月所跨的月份總數(shù)為12，所以n=12

即年度化增長率為20%，這實際上就是年增長率，因為所跨的時期總數(shù)為1年。也就是該地區(qū)社會商品零售總額的年增長率為20%

年度化增長率

(例題分析)解：

m=12，n=27

年度化增長率為該地區(qū)財政收入的年增長率為10.43%

年度化增長率

(例題分析)解：由于是季度數(shù)據(jù)，所以