機(jī)械控制工程基礎(chǔ) 4頻域分析

第四章頻域分析1頻率響應(yīng)：線性定常系統(tǒng)對(duì)諧波（正弦波）輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)線性定常系統(tǒng)對(duì)諧波（正弦波）輸入的響應(yīng)：包括穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)。其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)根據(jù)頻率保持特性，也是一個(gè)同頻率的正弦信號(hào)，但幅值和相位與輸入信號(hào)不同。即若系統(tǒng)的輸入為則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為2－、引言頻率特性分析：將傳遞函數(shù)從復(fù)數(shù)域引到頻域來分析系統(tǒng)的特性。時(shí)域分析：重點(diǎn)研究過渡過程，通過階躍或脈沖輸入下系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)來研究系統(tǒng)的性能。頻域分析：通過系統(tǒng)在不同頻率w的諧波輸入作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)來研究系統(tǒng)的性能。31、時(shí)域分析的缺陷

高階系統(tǒng)的分析難以進(jìn)行；

難以研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響；

當(dāng)系統(tǒng)某些元件的傳遞函數(shù)難以列寫時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的分析工作將無法進(jìn)行。42、頻域分析的目的頻域分析：以輸入信號(hào)的頻率為變量，在頻率域，研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與性能的關(guān)系。

可用圖解(頻率特性圖)法間接揭示系統(tǒng)性能并指明改進(jìn)性能的方向；

易于實(shí)驗(yàn)分析；優(yōu)點(diǎn)：

可方便設(shè)計(jì)出能有效抑制噪聲的系統(tǒng)。5二、頻率特性概述1、頻率響應(yīng)與頻率特性線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對(duì)頻率的關(guān)系特性。6頻率響應(yīng)與頻率特性的概念考慮線性定常系統(tǒng)：當(dāng)正弦輸入xi(t)=Xsint

時(shí)，相應(yīng)的輸出為：7假設(shè)系統(tǒng)只具有不同的極點(diǎn)，則：其中為一對(duì)待定共軛復(fù)常數(shù)Ai(i=1,2,…,n)為待定常數(shù)。從而：8如果系統(tǒng)包含有rj個(gè)重極點(diǎn)pj，則xo(t)將包含有類似：的這樣一些項(xiàng)。對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng)而言，這些項(xiàng)隨

t趨于無窮大都趨近于零。9因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：其中：由于：因此：10上式表明，穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)在正弦激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)輸出仍然為同頻率的正弦信號(hào)，且輸出與輸入的幅值比為|G(j)|，相位差為G(j)。輸出信號(hào)的幅值和相角是頻率的函數(shù)，隨頻率而變化。

11幅頻特性與相頻特性一起構(gòu)成系統(tǒng)的頻率特性。

幅頻特性：當(dāng)由0到變化時(shí)，|G(j)|的變化特性，記為A()。

相頻特性：當(dāng)由0到變化時(shí)，G(j)的變化特性稱為相頻特性，記為()。

頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)諧波輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

頻率特性：系統(tǒng)在不同頻率的正弦信號(hào)輸入時(shí)，其穩(wěn)態(tài)輸出隨頻率而變化(由0變到)的特性。12當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用代替時(shí)，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。2、頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系13微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)1415A（）——幅頻特性；G（j）的模，它等于穩(wěn)態(tài)的輸出分量與輸入分量幅值之比.（）——相頻特性；G（j）的幅角，它等于穩(wěn)態(tài)輸出分量與輸入分量的相位差。U（）——實(shí)頻特性；V（）——虛頻特性；都是的函數(shù)，之間的關(guān)系用矢量圖來表示。163、頻率特性求解(1)、根據(jù)定義求取。即對(duì)已知系統(tǒng)的微分方程，把正弦輸入函數(shù)代入，求出其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比即可得到。

(2)、根據(jù)傳遞函數(shù)求取。

即用s=j代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即可得到。

(3)、通過實(shí)驗(yàn)的方法直接測得。17傳遞函數(shù)->頻率特性正弦輸入xi(t)=Xsint

作用下的頻率響應(yīng)。

求一階系統(tǒng)的頻率特性及在解：

復(fù)變函數(shù)18對(duì)于正弦輸入xi(t)=Xsint，根據(jù)頻率特性的定義：19[例]：設(shè)傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：20[例]：如下圖所示RC電路。其微分方程和傳遞函數(shù)分別是：21

拉氏反變換為：上式第一項(xiàng)為瞬態(tài)項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，第一項(xiàng)趨于0。第二項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)項(xiàng)：22由上式可得系統(tǒng)的幅頻特性為：系統(tǒng)的相頻特性系統(tǒng)的頻率特性23[頻率特性曲線]：將矢量由變化時(shí)，矢量端點(diǎn)構(gòu)成的一條曲線叫做頻率特性曲線。上例的頻率特性曲線如下圖：24

1、頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定，則頻率特性也完全確定。2、頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從理論上講，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總可以分離出來，而且其規(guī)律并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，我們?nèi)钥梢杂妙l率特性來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能等。3、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率。

當(dāng)頻率改變，則輸出、輸入量的幅值之比A（）和相位移（）隨之改變。這是系統(tǒng)中的儲(chǔ)能元件引起的。25

頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系統(tǒng)或元件對(duì)不同頻率正弦輸入的響應(yīng)特性；

()大于零時(shí)稱為相角超前，小于零時(shí)稱為相角滯后。tx(t),y1(t),y2(t)x(t)y1(t)y2(t)01()2()264、頻率特性表示方法

解析表示（包括幅頻－相頻，實(shí)頻－虛頻）27頻率特性，復(fù)變量28圖示法。在坐標(biāo)上繪出幅值與相角隨著頻率變化的曲線。

29某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試根據(jù)頻率特性的物理意義，求下列輸入信號(hào)作用時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出30

3132直接用傳遞函數(shù)求解的結(jié)果？3334二、頻率特性的圖示方法Nyquist圖(極坐標(biāo)圖，幅相頻率特性圖)Bode圖(對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，對(duì)數(shù)頻率特性圖)Nichols圖(對(duì)數(shù)幅相圖)351、頻率特性的極坐標(biāo)圖(Nyquist圖、幅相頻率特性圖）

當(dāng)從0變化時(shí)，在極坐標(biāo)上表示出G(j)

幅值相角的關(guān)系曲線，稱為系統(tǒng)的奈奎斯特圖或極坐標(biāo)圖。362、對(duì)數(shù)頻率特性曲線（波德圖，Bode圖）

Bode圖由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性兩條曲線組成。⒈波德圖坐標(biāo)(橫坐標(biāo)是頻率，縱坐標(biāo)是幅值和相角)的分度：橫坐標(biāo)(稱為頻率軸)分度：它是以頻率w

的對(duì)數(shù)值logw

進(jìn)行線性分度的。但為了便于觀察仍標(biāo)以w

的值，因此對(duì)w

而言是非線性刻度。w

每變化十倍，橫坐標(biāo)變化一個(gè)單位長度，稱為十倍頻程(或十倍頻)，用dec表示。類似地，頻率w

的數(shù)值變化一倍，橫坐標(biāo)就變化0.301單位長度，稱為“倍頻程”，用oct表示。如下圖所示：由于w以對(duì)數(shù)分度，所以零頻率點(diǎn)在－∞處。37更詳細(xì)的刻度如下圖所示ω１2345678910lgω0.0000.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.00038縱坐標(biāo)分度：對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)以L(w)=20logA(w)表示。其單位為分貝(dB)。直接將20logA(w)值標(biāo)注在縱坐標(biāo)上。相頻特性曲線的縱坐標(biāo)以度或弧度為單位進(jìn)行線性分度。一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個(gè)橫坐標(biāo)（頻率軸）。幅值A(chǔ)(w

)1.001.261.562.002.513.165.6210.010