正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象 課件(人教A版必修四)

1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象思考：怎樣由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=cosx的圖象？提示：只需將y=sinx的圖象向左平移個單位即可得到y(tǒng)=cosx的圖象.二、“五點法”作正弦函數(shù)的圖象1.五點法作圖的一般步驟2.五點法作正弦函數(shù)圖象的五個關(guān)鍵點(0,0)，______，(π,0)，______，(2π,0).思考：利用五點法作正、余弦函數(shù)圖象的關(guān)鍵是什么？提示：利用五點法作圖的關(guān)鍵是抓住三角函數(shù)中的最值點以及與x軸的交點.【知識點撥】1.幾何法和五點法作正、余弦函數(shù)圖象的優(yōu)缺點(1)幾何法：就是利用單位圓中的正弦線和余弦線作出正、余弦函數(shù)圖象的方法，該方法作圖較為精確，但畫圖時較為煩瑣.(2)五點法：是我們作三角函數(shù)圖象的基本方法，在要求精度不太高的情況下常用此法.作圖時要注意五個關(guān)鍵點的確定.2.y＝sinx,x∈［0,2π］與y＝sinx,x∈R的圖象的關(guān)系(1)前者是后者圖象的一部分.(2)結(jié)合誘導公式一可知，只需將函數(shù)y＝sinx,x∈［0,2π］的圖象向右或向左平移2kπ(k∈Z)個單位即可得函數(shù)y＝sinx,x∈R的圖象.3.“五點”的確定y=sinx,x∈［0,2π］和y=cos

x,x∈［0,2π］圖象上的五個關(guān)鍵點，分別是圖象與x軸的交點，圖象上最高點和最低點.需注意的是前者與x軸有三個交點，圖象上有一個最高點和一個最低點，后者與x軸有兩個交點，圖象上有兩個最高點和一個最低點.

類型一正、余弦函數(shù)的圖象

【典型例題】1.下列敘述正確的有()①y=sinx,x∈［0,2π］的圖象關(guān)于點P(π,0)成中心對稱；②y=cos

x,x∈［0,2π］的圖象關(guān)于直線x=π成軸對稱；③正、余弦函數(shù)的圖象不超過直線y=1和y=-1所夾的范圍.A.0個B.1個C.2個D.3個2.對于余弦函數(shù)y＝cosx的圖象，有以下三項描述：①向左向右無限延伸；②與x軸有無數(shù)多個交點；③與y＝sinx的圖象形狀一樣，只是位置不同．其中正確的有()A．0個B．1個C．2個D．3個【解題探究】1.解答題1的關(guān)鍵是什么？2.解答正、余弦函數(shù)圖象問題的依據(jù)是什么？探究提示：1.解答題1的關(guān)鍵是作出正、余弦函數(shù)的圖象，由觀察圖象從直觀上得函數(shù)性質(zhì).2.解答此類問題應以圖象為依據(jù)，畫出相應圖象，觀察圖象解決問題.【解析】1.選D.分別畫出函數(shù)y=sinx,x∈［0,2π］和y=cos

x,x∈［0,2π］的圖象，由圖象觀察可知①②③均正確.2.選D.如圖所示為y＝cosx的圖象．可知三項描述均正確．【拓展提升】解決正、余弦函數(shù)圖象的注意點對于正、余弦函數(shù)的圖象問題，要畫出正確的正弦曲線、余弦曲線，掌握兩者的形狀相同，只是在坐標系中的位置不同，可以通過相互平移得到.【變式訓練】(2013·蕪湖高一檢測)關(guān)于三角函數(shù)的圖象，有下列說法：①y＝sin|x|與y＝sinx的圖象關(guān)于y軸對稱；②y＝cos(-x)與y＝cos|x|的圖象相同；③y＝|sinx|與y＝sin(-x)的圖象關(guān)于x軸對稱；④y＝cosx與y＝cos(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱.其中正確的序號是_______.【解析】對②，y＝cos(-x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其圖象相同；對④，y＝cos(－x)＝cosx，故其圖象關(guān)于y軸對稱，由作圖可知①③均不正確．答案：②④類型二用“五點法”作三角函數(shù)圖象

【典型例題】1.用五點法作函數(shù)y=1-cosx，x∈［0，2π］的圖象時，應取的五個關(guān)鍵點分別是_______.2.用“五點法”作出下列函數(shù)的簡圖．(1)y＝sinx－1，x∈［0,2π］.(2)y＝2＋cosx，x∈［0,2π］．【解題探究】1.五點法作圖中的五個關(guān)鍵點分別是什么？2.函數(shù)y=sinx,y=cosx與y=sinx+m,y=cos

x+m的圖象有什么關(guān)系？探究提示：1.五點法作圖的五個關(guān)鍵點是2.y=sinx+m,y=cos

x+m的圖象與y=sinx,y=cosx的圖象形狀、大小一樣，就是位置不一樣.【解析】1.由五點法作圖可知，x應取的值分別是2π.此時y相應的取值是0,1,2,1,0，即五個關(guān)鍵點分別是答案：2.(1)列表：x0π2πsinx010-10sinx-1-10-1-2-1描點連線，如圖(2)列表：

x0π2πcosx10-1012+cosx32123描點連線,如圖【互動探究】題1中若函數(shù)為y=1-cos2x，其他條件不變，則五個關(guān)鍵點又分別是什么？【解析】令z=2x，則函數(shù)為y=1-cosz，分別令z=0，則此時y相應的取值是0,1,2,1,0，即五個關(guān)鍵點分別是【拓展提升】“五點法”作圖的步驟作形如y=asinx+b(或y=acosx+b)，x∈［0,2π］的圖象時，可由“五點法”作出，其步驟如下：(1)列表.取(2)描點.(3)連線.用平滑的曲線將各點連接成圖.【變式訓練】用“五點法”畫出函數(shù)y＝3-sinx(x∈［0,2π］)的圖象．【解析】(1)列表，如表所示：x0π2πsinx010-103-sinx32343(2)描點,連線,如圖所示類型三正、余弦函數(shù)圖象的簡單運用

【典型例題】1.作出函數(shù)y＝-sinx，x∈［-π，π］的簡圖，并回答下列問題：(1)觀察函數(shù)圖象，寫出滿足下列條件的x的區(qū)間：①sinx>0的x的取值區(qū)間是_______；②sinx<0的x的取值區(qū)間是_______.(2)直線與y＝-sinx的圖象有_______個交點.2.求下列函數(shù)的定義域：【解題探究】1.如何由y=sinx的圖象判斷三角函數(shù)值的正負？判斷圖象交點個數(shù)的方法有哪些？2.利用正、余弦函數(shù)圖象求解三角不等式的思路是什么？探究提示：1.作出正弦曲線，在x軸上方的三角函數(shù)值為R，在x軸下方的三角函數(shù)值為負.判斷圖象交點個數(shù)可以利用數(shù)形結(jié)合或解方程組的方法進行判斷.2.先作簡圖，然后觀察在哪個區(qū)域內(nèi)不等式成立,進而求解不等式.【解析】1.利用“五點法”作圖，(1)根據(jù)圖象可知圖象在x軸上方的部分sinx>0，在x軸下方的部分sinx<0，所以當x∈(-π，0)時，sinx>0；當x∈(0，π)時，sinx<0.(2)畫出直線可知有2個交點．答案：(1)(-π,0)(0,π)(2)22.(1)要使有意義，則必須滿足2sinx＋1≥0即結(jié)合正弦曲線或三角函數(shù)線，如圖所示：知函數(shù)的定義域為(2)要使函數(shù)有意義，必須使sinx－cosx≥0.利用圖象．在同一坐標系中畫出［0,2π］上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示．在［0,2π］內(nèi)，滿足sinx＝cosx的x為再結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象．所以定義域為【拓展提升】1.用三角函數(shù)的圖象解sinx＞a(或cosx＞a)的方法(1)作出直線y=a，作出y=sinx(或y=cosx)的圖象.(2)確定sinx=a(或cosx=a)的x值.(3)確定sinx＞a(或cosx＞a)的解集.2.利用三角函數(shù)線解sinx＞a(或cosx＞a)的方法(1)找出使sinx=a(或cosx=a)的兩個x值的終邊所在的位置.(2)根據(jù)變化趨勢，確定不等式的解集.【變式訓練】1.函數(shù)y＝2sinx與函數(shù)y＝x圖象的交點有_______個.【解題指南】準確在同一坐標系內(nèi)畫出兩個函數(shù)的圖象是解答此類問題的關(guān)鍵.【解析】在同一坐標系中作出函數(shù)y＝2sinx與y＝x的圖象可見有3個交點．答案：32.求函數(shù)的定義域．【解析】為使函數(shù)有意義，需滿足即由正弦曲線或三角函數(shù)線，如圖所示．所以定義域為【規(guī)范解答】與正弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象的作法【典例】【條件分析】【規(guī)范解答】由tanx≠0,得x≠kπ,k∈Z,又①…………3分所以…………5分所以函數(shù)的定義域為…………6分

………………8分在［0,2π］上，由得

②…………10分其圖象如圖所示：……………12分【失分警示】【防范措施】1.準確求三角函數(shù)定義域在求三角函數(shù)定義域時，除使得解析式有意義外，還要考慮三角函數(shù)本身的定義域，如本例正切函數(shù)y=tanx中2.準確作圖畫函數(shù)圖象應注意與定義域和所給區(qū)間結(jié)合，不符合定義域內(nèi)的點應用虛點畫出，例如本例要求【類題試解】作出函數(shù)在［－2π，2π］上的圖象.【解析】由于因此只需作出函數(shù)y＝|cosx|，x∈［－2π，2π］的圖象即可．而函數(shù)y＝|cosx|，x∈［-2π，2π］的圖象可采用將函數(shù)y＝cosx，x∈［－2π，2π］的圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方的方法得到，所得圖象如圖所示．1.在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)y=sinx，x∈［0,2π］與y=sinx，x∈［2π,4π］的圖象()A.重合B.形狀相同，位置不同C.關(guān)于y軸對稱D.形狀不同，位置不同【解析】選B.結(jié)合正弦曲線，可知函數(shù)圖象形狀相同，位置不同.2.已知則f(x)的圖象()A.與g(x)的圖象相同B.與g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱C.向左平移個單位，得g(x)的圖象D.向右平移個單位，得g(x)的圖象【解析】選D.f(x)=cosx，g(x)=sinx，故f(x)的圖象向右平移個單位即得g(x)的圖象.3.用“五點法”作y＝2sin2x的圖象時，首先描出的五個點的橫坐標是()【解析】選B.令得4.函數(shù)y＝