氣體分子運(yùn)動(dòng)論

天津理工大學(xué)理學(xué)院物理系氣體分子運(yùn)動(dòng)論kinetictheoryofmolecules1熱學(xué)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)熱力學(xué)氣體分子運(yùn)動(dòng)論統(tǒng)計(jì)力學(xué)漲落現(xiàn)象理論熱學(xué)----研究熱現(xiàn)象的理論熱現(xiàn)象----與溫度有關(guān)的物理性質(zhì)的變化2由觀察和實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來的熱現(xiàn)象規(guī)律，構(gòu)成了熱現(xiàn)象的宏觀理論，此即為熱力學(xué)。王竹溪(1911～1983)中國物理學(xué)家、教育家。在熱力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)和數(shù)學(xué)物理等方面具有很深的造詣。微觀理論則由物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，即從分子、原子的運(yùn)動(dòng)以及它們之間的相互作用出發(fā)去研究熱現(xiàn)象的規(guī)律，此即統(tǒng)計(jì)物理學(xué)。3小球在伽爾頓板中的分布規(guī)律

.當(dāng)小球數(shù)N

足夠大時(shí)小球的分布具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律..................................................................................

所謂統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是指大量偶然事件整體所遵循的規(guī)律。

尋找統(tǒng)計(jì)規(guī)律的方法是求統(tǒng)計(jì)平均值的方法。4熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)在對(duì)熱的研究上起著相輔相成的作用。熱力學(xué)對(duì)熱現(xiàn)象給出普遍而可靠的結(jié)果，可以用它來驗(yàn)證微觀理論的正確性。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)則可以深入到熱現(xiàn)象的本質(zhì)，使熱力學(xué)的理論獲得更深刻的意義，并可以求出宏觀觀測(cè)量的微觀決定因素，從而為控制材料性能在理論上起輔導(dǎo)作用。

熱力學(xué)不涉及物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)，只是根據(jù)由觀察和實(shí)驗(yàn)所總結(jié)出來的熱力學(xué)定律，用邏輯推理的方法去研究物體的熱的性質(zhì)。統(tǒng)計(jì)物理學(xué)則是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，依每個(gè)粒子所遵循的力學(xué)規(guī)律用統(tǒng)計(jì)的方法研究宏觀物體的熱的性質(zhì)。

熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)雖研究對(duì)象相同都是熱現(xiàn)象，但它們的研究方法截然不同。5氣體分子運(yùn)動(dòng)論分子運(yùn)動(dòng)論的基本概念

通常的氣體、液體和固體都是宏觀物體，實(shí)驗(yàn)和理論都指出了宏觀物體是具有微觀結(jié)構(gòu)的，即由大量微觀粒子：分子、原子所組成。而這些微觀粒子在不停地作熱運(yùn)動(dòng)。本章就是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，以氣體為研究對(duì)象研究分子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。6

分子運(yùn)動(dòng)論的一些基本概念都是在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)之上總結(jié)出來的?，F(xiàn)分別敘述如下：1.宏觀物體是由大量分子（或原子）所組成雖然我們用肉眼不能直接觀察到氣體、液體和固體這些物質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，但借助于近代的實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)方法，人們還是能觀察到氣體、液體和固體這些物質(zhì)是由大量的分子所組成。實(shí)驗(yàn)表明：任何一種物質(zhì)1mol所含有的分子數(shù)目均相同，這個(gè)數(shù)即阿伏伽德羅(Avogadro)數(shù)NA：

NA=6.0220451023mol-1

計(jì)算時(shí)可取NA=6.0221023mol-1?？梢姎怏w、液體和固體內(nèi)的分子數(shù)目是很多的。7

每一個(gè)分子的尺度有多大？分子有單原子分子（如He），雙原子分子（如O2），多原子分子（如CO2），甚至還有由成千上萬個(gè)原子所構(gòu)成的高分子（如聚丙烯）。因此不同結(jié)構(gòu)的分子其尺度是不一樣的。Y型分子篩微觀結(jié)構(gòu)（放大80萬倍）8當(dāng)然隨著氣體壓力的增加分子間的距離要變小，但分子占有的體積仍比分子本身的大小要大得多。以氧分子為例在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下直徑約為410-10m實(shí)驗(yàn)表明：在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氣體分子間的距離約為分子直徑的10倍在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下每個(gè)氧分子占有的體積V約為：V10310-10=100010-10m。即氧分子占有的體積約為分子體積的1000倍在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下容器中的氣體分子可以看成大小可略去不計(jì)的質(zhì)點(diǎn)9

不僅氣體，液體和固體也是如此；分子間是有空隙的。用壓縮機(jī)給輪胎打氣，可把大量的空氣分子打到輪胎中去就是氣體分子間有很大空隙的例證。如在量筒內(nèi)裝上50cm3的水，在倒入50cm3的酒精使兩種液體混合，會(huì)發(fā)現(xiàn)混合后的液體體積不是100cm3而是97cm3。這說明兩種液體分子相互滲透到對(duì)方的空隙中去了。氟碳鈰鋇礦的結(jié)構(gòu)像平行四邊形代表一個(gè)晶胞的投影10

不但氣體、液體分子間有空隙，看起來很堅(jiān)實(shí)的固體的分子之間也有空隙存在。如用2萬個(gè)大氣壓來壓縮貯在鋼管中的油，發(fā)現(xiàn)油會(huì)從鋼管中滲透出來；為增加鋼的表面硬度和耐磨性，可采用表面滲碳的方法，把鋼件放入木炭和碳酸鹽的混合物中，或是含有碳的氣體中加熱至接近1000oC的高溫，維持一段時(shí)間后碳就滲進(jìn)鋼的表面層。在制作半導(dǎo)體元件時(shí)，也往往要在半導(dǎo)體中摻進(jìn)其他雜質(zhì)以改變材料的物理性能。鍺酸鉍晶體(BGO晶體)112.分子在時(shí)刻不停地作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)

可以舉出不少分子作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的例子。打開一瓶香水，過一會(huì)兒整個(gè)屋子中都會(huì)嗅到香味。把香水倒入水中它會(huì)在水中擴(kuò)散開來。你到飯館里吃飯，炒菜的香味不斷地在空中擴(kuò)散。這些例子都說明宏觀物體（氣、液、固體）中的分子是在不停地運(yùn)動(dòng)著。12

最著名的分子作無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的間接驗(yàn)證是布朗運(yùn)動(dòng)。把少量碳素墨水滴入水中，在顯微鏡下觀察，可看到墨汁的小顆粒不停地作無規(guī)則的運(yùn)動(dòng)。顆粒越小，運(yùn)動(dòng)越劇烈；溫度越高，運(yùn)動(dòng)也越劇烈。當(dāng)只注視其中一個(gè)墨汁顆粒時(shí)，發(fā)現(xiàn)它的運(yùn)動(dòng)是短促的、跳躍的、無定向的，即是無規(guī)則的。若每隔相等的時(shí)間記錄一次顆粒的位置，會(huì)得到一相當(dāng)曲折的運(yùn)動(dòng)路徑。13墨汁顆粒的運(yùn)動(dòng)是大量水分子與它碰撞的結(jié)果。水分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生墨汁顆粒的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，而分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的劇烈程度又與溫度有關(guān)，因此大量分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)叫做分子的熱運(yùn)動(dòng)。布朗運(yùn)動(dòng)是怎樣發(fā)生的呢？顆粒越小，受到來自各個(gè)方向的水分子的沖力越不平衡，因而運(yùn)動(dòng)也就越激烈。143.分子間有相互作用力

為什么固體和液體的分子會(huì)聚集在一起，而不是一個(gè)個(gè)地分散開呢？這是因?yàn)榉肿又g有相互吸引力。例如，切削一塊金屬或鋸開一段木材都必須用力。要使鋼材發(fā)生變形也需要用很大的力。這些都說明物體各部分之間存在著相互吸引力。15

制造精密光學(xué)儀器時(shí)，需將兩個(gè)光學(xué)元件如透鏡進(jìn)行粘合，把兩個(gè)需要粘合的表面磨得既光滑又相吻合，表面處理得非常干凈，在施加一定的壓力就可以把它們粘合在一起。這種方法叫做光膠合，它就是利用了分子間的吸引力。分子間不僅表現(xiàn)有吸引力，而且也表現(xiàn)有排斥力。液體和固體都很難壓縮，就說明分子間有排斥力，阻止它們靠攏。16

關(guān)于分子力的定性的概念，可由一些簡單的實(shí)驗(yàn)獲得。一般來說，當(dāng)兩個(gè)分子比較接近時(shí)，它們之間存在著引力；當(dāng)分子彼此非常接近時(shí)分子力變成斥力。在一些簡單的情形下，分子間的相互作用力可以近似地用一個(gè)半經(jīng)驗(yàn)公式來表示：式中和是兩個(gè)大于零的比例系數(shù)。上式中第一項(xiàng)是正的，表示斥力；第二項(xiàng)是負(fù)的，表示引力，s在9~15之間，t在4~7之間。由于s和t都比較大，所以分子力隨分子間距的增加而迅速地減小。17斥力引力

分子力f和分子間距r之間的關(guān)系曲線如圖所示；兩條虛線分別表示引力和斥力隨距離r變化的情況，實(shí)線代表兩力的合力。18在一定距離處，引力和斥力相互抵消，合力為零。這一位置稱為平衡位置。（r010-10m）在rr0處是強(qiáng)大的斥力作用范圍；在rr0處是引力作用范圍；由圖中可以看出其斥力隨距離減小得很快，而引力在r較大時(shí)幾乎為零。19

從上面的討論中可得到如下概念：宏觀物體是由大量分子所組成的，分子之間有間隙，分子在時(shí)刻不停地作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，分子之間有相互作用力。這就是分子運(yùn)動(dòng)論的基本概念。20平衡態(tài)：

考慮一封閉容器，用隔板分成A、B兩部分，A部儲(chǔ)有氣體，B部為真空。把隔板抽去，A部的氣體就會(huì)向B部運(yùn)動(dòng)。在此過程中，氣體內(nèi)各處的狀態(tài)不均勻，且隨時(shí)間改變，一直到最后達(dá)到各處均勻一致的狀態(tài)時(shí)為止。以后若無外部影響，容器中的氣體將始終保持這一狀態(tài)不再發(fā)生變化。AB理想氣體狀態(tài)方程21AB平衡態(tài)：

考慮一封閉容器，用隔板分成A、B兩部分，A部儲(chǔ)有氣體，B部為真空。把隔板抽去，A部的氣體就會(huì)向B部運(yùn)動(dòng)。在此過程中，氣體內(nèi)各處的狀態(tài)不均勻，且隨時(shí)間改變，一直到最后達(dá)到各處均勻一致的狀態(tài)時(shí)為止。以后若無外部影響，容器中的氣體將始終保持這一狀態(tài)不再發(fā)生變化。22

再看一個(gè)例子。當(dāng)兩個(gè)冷熱程度不同的物體互相接觸時(shí)，熱的物體變冷，冷的物體變熱，直到最后兩物體達(dá)到各處冷熱程度均勻一致的狀態(tài)時(shí)為止。這時(shí)如果沒有外部影響，則兩物體將始終保持這一狀態(tài)不再發(fā)生宏觀變化。類似的例子還可以舉出很多；從這類現(xiàn)象中可以得出一個(gè)結(jié)論：即處在沒有外界影響的條件下的熱力學(xué)系統(tǒng)，經(jīng)過一段時(shí)間后將達(dá)到一個(gè)確定的狀態(tài)，而不再有任何宏觀變化。這種在不受外界影響的條件下，宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間變化的狀態(tài)就叫做平衡態(tài)。熱冷溫度均勻一致23

當(dāng)然在實(shí)際上并不存在這種完全不受外界影響，而且宏觀性質(zhì)絕對(duì)保持不變的系統(tǒng)，所以平衡態(tài)只是一個(gè)理想的概念，它只是在一定條件下對(duì)實(shí)際情況的概括和抽象，在物理學(xué)中我們經(jīng)常使用這種方法。以后我們會(huì)看到，在許多實(shí)際問題中，我們可以把實(shí)際狀態(tài)近似地當(dāng)作平衡態(tài)來處理。需要注意的是，上面指出了平衡態(tài)是指系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間變化，但從微觀上來看，在平衡態(tài)下組成系統(tǒng)的分子仍在不停地運(yùn)動(dòng)著，只不過是分子運(yùn)動(dòng)的平均效果不隨時(shí)間改變，而這種平均效果的不變?cè)诤暧^上就表現(xiàn)為這個(gè)系統(tǒng)達(dá)到了平衡態(tài)。因此熱力學(xué)中的平衡態(tài)是動(dòng)的平衡。通常把這種平衡稱為熱動(dòng)平衡。242.狀態(tài)參量：stateparameters

定量描述熱力學(xué)系統(tǒng)性質(zhì)的可測(cè)量的宏觀物理量，簡稱狀態(tài)參量或態(tài)參量。一般來說，處于平衡態(tài)的熱力學(xué)系統(tǒng)，其狀態(tài)的性質(zhì)可由下面四類狀態(tài)參量來描述：25①幾何參量用以描述系統(tǒng)的大小、形狀、體積等幾何性質(zhì)。②力學(xué)參量用以描述系統(tǒng)的壓強(qiáng)、應(yīng)力、表面張力等力學(xué)性質(zhì)。③化學(xué)參量用來描述組成系統(tǒng)的各種化學(xué)組分的數(shù)量等化學(xué)性質(zhì)，例如組分的摩爾數(shù)。④電磁參量用來描述系統(tǒng)處在電、磁場(chǎng)作用下的性質(zhì)，如電場(chǎng)強(qiáng)度、電極化強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁化強(qiáng)度等。26以上這四類狀態(tài)參量都不是熱學(xué)所特有的量，它們不能直接表征系統(tǒng)的熱性質(zhì)。直接描述系統(tǒng)的熱性質(zhì)的參量是溫度。實(shí)驗(yàn)指出，處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，其溫度同上述四類狀態(tài)參量之間存在著一定的聯(lián)系；或者說系統(tǒng)的溫度是其他狀態(tài)參量的函數(shù)，即態(tài)函數(shù)。它們之間的函數(shù)關(guān)系就是系統(tǒng)的狀態(tài)方程。①幾何參量②力學(xué)參量③化學(xué)參量④電磁參量273.溫度temperature

表征物體冷熱程度的物理量。這是對(duì)溫度概念的通俗理解。物體的冷熱程度是從人類的直覺觀念引伸出來的，因而具有一定的主觀因素。通過直覺來判斷物體溫度有時(shí)會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果。嚴(yán)格的溫度定義是建立在熱平衡定律基礎(chǔ)上的

熱平衡定律指出：處于任意狀態(tài)兩物體的狀態(tài)參量，在兩個(gè)物體達(dá)到熱平衡時(shí)不能取任意值，而要受一定的數(shù)學(xué)關(guān)系的約束。它指出兩物體相互處于熱平衡時(shí)，存在一個(gè)數(shù)值相等的態(tài)函數(shù)，這個(gè)態(tài)函數(shù)稱為溫度。

溫度具有標(biāo)志一個(gè)物體是否同其他物體處于熱平衡狀態(tài)的性質(zhì)，它的特征就在于一切互為熱平衡的物體都具有相同的數(shù)值。28

熱平衡定律不僅給出了溫度的概念，而且指明了比較溫度的方法：處于熱平衡的一切物體都具有相同的溫度，所以比較各個(gè)物體的溫度時(shí)，只需將一個(gè)選為標(biāo)準(zhǔn)的物體分別與各個(gè)物體接觸，經(jīng)過一段時(shí)間，兩者達(dá)到熱平衡，標(biāo)準(zhǔn)物體的溫度就是待測(cè)物體的溫度。這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)物體叫做溫度計(jì)。對(duì)溫度計(jì)的限制是它的熱容必須足夠小，使得在它與待測(cè)物體接觸而進(jìn)行熱交換的過程中，待測(cè)物體原狀態(tài)幾乎不變。29為實(shí)現(xiàn)溫度的測(cè)量，還需要規(guī)定溫度的數(shù)值表示法──溫標(biāo)。歷史上首先采用了經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)，包括攝氏溫標(biāo)、華氏溫標(biāo)、蘭氏溫標(biāo)等。熱力學(xué)第二定律建立后，定義了一種與測(cè)溫系統(tǒng)性質(zhì)無關(guān)的溫標(biāo)──熱力學(xué)溫標(biāo)。對(duì)應(yīng)于各種溫標(biāo)可以得到溫度（態(tài)函數(shù)）的不同表示如攝氏溫度、華氏溫度等。由熱力學(xué)溫標(biāo)所定義的熱力學(xué)溫度是具有最嚴(yán)格科學(xué)意義的溫度。通常采用氣體溫度計(jì)進(jìn)行熱力學(xué)溫度的測(cè)量。30攝氏溫標(biāo)與熱力學(xué)溫標(biāo)之間的關(guān)系是：華氏溫標(biāo)與攝氏溫標(biāo)之間的關(guān)系是：

例如，對(duì)于華氏溫度，冰點(diǎn)為32oF(0oC)；沸點(diǎn)為212oF(100oC)。313233冷庫、集裝箱運(yùn)輸用溫度記錄器非接觸式紅外線溫度計(jì)ST系列(-32℃~760℃)34

由于氣體溫度計(jì)的復(fù)現(xiàn)性較差，國際間又協(xié)議定出實(shí)用性的標(biāo)準(zhǔn)溫標(biāo)──國際實(shí)用溫標(biāo)，以統(tǒng)一國際間的溫度量值，并使由國際實(shí)用溫標(biāo)定出的溫度盡可能地接近相應(yīng)的熱力學(xué)溫度，相對(duì)地具有一定穩(wěn)定性。中國計(jì)量科學(xué)研究院用一套裝置來復(fù)現(xiàn)國際實(shí)用溫標(biāo)，并以此作為中國最高的溫度標(biāo)準(zhǔn)。中國計(jì)量科學(xué)研究院復(fù)現(xiàn)熱力學(xué)溫度單位開爾文的實(shí)驗(yàn)裝置35分子運(yùn)動(dòng)論的基本概念：宏觀物體是由大量分子所組成的，分子之間有間隙，分子在時(shí)刻不停地作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，分子之間有相互作用力。平衡態(tài)：處在沒有外界影響的條件下的熱力學(xué)系統(tǒng)，經(jīng)過一段時(shí)間后將達(dá)到一個(gè)確定的狀態(tài)，而不再有任何宏觀變化。狀態(tài)參量：①幾何參量②力學(xué)參量③化學(xué)參量④電磁參量以上這四類狀態(tài)參量都不是熱學(xué)所特有的量，它們不能直接表征系統(tǒng)的熱性質(zhì)。直接描述系統(tǒng)的熱性質(zhì)的參量是溫度。實(shí)驗(yàn)指出，處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，其溫度同上述四類狀態(tài)參量之間存在著一定的聯(lián)系；或者說系統(tǒng)的溫度是其他狀態(tài)參量的函數(shù)，即態(tài)函數(shù)。它們之間的函數(shù)關(guān)系就是系統(tǒng)的狀態(tài)方程。表征物體冷熱程度的物理量。溫度建立在熱平衡定律基礎(chǔ)上364.理想氣體狀態(tài)方程equationofstateofidealgas

描寫理想氣體狀態(tài)變化規(guī)律的方程。對(duì)于一定質(zhì)量的氣體，可以用壓強(qiáng)P和體積V來描述它的平衡態(tài)，而溫度T是P和V的函數(shù)，

F(P,T,V)=0。這個(gè)關(guān)系式叫做氣體的狀態(tài)方程，它的具體形式需由實(shí)驗(yàn)確定。37

玻意耳定律

又稱玻意耳—馬略特定律，是英國化學(xué)家R.玻意耳在1662年和法國物理學(xué)家E.馬略特在1679年分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的。它的內(nèi)容是：一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度保持不變時(shí)，壓強(qiáng)和體積成反比且乘積是一個(gè)常數(shù)

p1V1=p2V2=p3V3=…或pV=C。常數(shù)C在不同溫度時(shí)有不同數(shù)值.

大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)于各種實(shí)際氣體，只要它的壓強(qiáng)不太高，溫度不太低，都近似地遵從此定律；氣體的壓強(qiáng)越低，它遵從玻意耳定律的精確度就越高。38

蓋－呂薩克定律一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)體積不變時(shí)，它的壓強(qiáng)隨溫度作線性變化：

P=P0(1+

t),P0是0°C時(shí)的氣體壓強(qiáng)，P是t°C時(shí)的氣體壓強(qiáng),是在氣體體積不變時(shí)的壓強(qiáng)系數(shù)。對(duì)于理想氣體,的數(shù)值為一普適常數(shù)，其值為1/273.15，于是

若令T=t＋273.15，則上式簡化為

Pt=P0

T,T即為熱力學(xué)溫標(biāo)，其單位是開爾文(K)；t=0時(shí)，T0=273.15K。39

根據(jù)玻意耳定律、阿伏伽德羅定律和理想氣體的定義，可以確定玻意耳定律中常數(shù)C與溫度的關(guān)系，并可導(dǎo)出式中P0

、V0

、T0為標(biāo)準(zhǔn)狀況下一摩爾理想氣體的壓強(qiáng)、體積、溫度；為摩爾數(shù)。因此,P0V0/T0的數(shù)值對(duì)各種氣體都一樣。該數(shù)值叫摩爾氣體常數(shù)并用R表示：

我們把嚴(yán)格遵守玻意耳定律和蓋－呂薩克定律，并且的數(shù)值為1/273.15的氣體稱為理想氣體，它是一個(gè)理想模型，一般情況下各種實(shí)際氣體都近似地可以看成是理想氣體。40

在壓強(qiáng)為幾個(gè)大氣壓以下時(shí)，各種實(shí)際氣體一般都近似地遵從理想氣體狀態(tài)方程。壓強(qiáng)越低，符合的程度越高。在壓強(qiáng)趨于零的極限情況下，一切氣體都嚴(yán)格地遵從它。根據(jù)理想氣體模型,從氣體分子運(yùn)動(dòng)論出發(fā),也可以推導(dǎo)出該狀態(tài)方程。式中М代表氣體的質(zhì)量，是氣體的分子量。這就是理想氣體狀態(tài)方程。于是41

摩爾氣體常數(shù)R

R的數(shù)值可由一摩爾理想氣體在水的三相點(diǎn)(273.16K)及一個(gè)大氣壓下的體積V0推出。也可以由一摩爾理想氣體在冰點(diǎn)(273.15K)及一個(gè)大氣壓下的體積V0推出。用V0來推算的原因是

V0可根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果求得比較準(zhǔn)確的數(shù)值。由

V0=22.4×10-3m3/mol可算得R=8.31J/(mol·K)。42VP(P1V1T1)(P2V2T1)由式可看出，如果氣體的溫度一定，那末以P為縱坐標(biāo)，V為橫坐標(biāo)畫出P-V圖，P和V的關(guān)系應(yīng)是一條雙曲線。這曲線稱為理想氣體的等溫線。對(duì)于一定質(zhì)量的氣體，每一個(gè)平衡態(tài)都可用一組P、V、T的量值來表示，在這個(gè)圖上的一點(diǎn)就表示氣體的平衡態(tài)，而對(duì)于氣體的一個(gè)平衡過程（準(zhǔn)靜態(tài)過程）就可用一條相應(yīng)的曲線來表示。圖中曲線Ⅰ→Ⅱ就表示初狀態(tài)Ⅰ向末狀態(tài)Ⅱ逐步變化的一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)過程。43

前面說過在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，即常溫常壓下氧分子所占的體積約為分子本身體積的1000倍。對(duì)于其它分子亦大致如此。這就是說，我們可以把氣體看作是相距有很大間距的分子的集合。而且我們說過：壓強(qiáng)越低也就是氣體越稀薄，實(shí)際氣體就越接近于理想氣體。因此理想氣體的微觀模型應(yīng)具有以下特點(diǎn)：

從分子運(yùn)動(dòng)論的觀點(diǎn)來看，理想氣體是和物質(zhì)分子結(jié)構(gòu)的一定的微觀模型相聯(lián)系的。我們根據(jù)這種模型就能在一定程度上解釋一些宏觀實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，那末這種微觀模型具有什么樣的特點(diǎn)呢？一.理想氣體的微觀模型理想氣體壓強(qiáng)公式44分子運(yùn)動(dòng)論的基本概念：宏觀物體是由大量分子所組成的，分子之間有間隙，分子在時(shí)刻不停地作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，分子之間有相互作用力。1.

分子的大小比起它們之間的距離來可以忽略不計(jì)。由于分子之間的相互作用力是短程力，即分子力隨間距r的增加而急劇減小，因此除碰撞的瞬間外，分子間相互作用力可以忽略不計(jì)。又因分子動(dòng)能平均來說遠(yuǎn)比它們?cè)谥亓?chǎng)中的勢(shì)能大，所以分子所受到的重力也可以忽略不計(jì)。在平衡狀態(tài)下，氣體的狀態(tài)參量P、T等都不隨時(shí)間變化，下面我們會(huì)看到溫度T是由分子的平均熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能所決定的，因此這就要求氣體分子整體的熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能不隨時(shí)間變化。因此還需要假設(shè)：理想氣體的微觀模型的特點(diǎn)：3.分子相互間以及分子與器壁間的碰撞是完全彈性的，氣體分子的動(dòng)能不因碰撞而損失。45沿空間各方向運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)目是相等的。分子速度在各個(gè)方向上的分量的各種平均值相等。例如：

在具體運(yùn)用理想氣體的微觀模型時(shí)，還要作出一些統(tǒng)計(jì)性的假設(shè)。我們知道，當(dāng)氣體處于平衡態(tài)時(shí)，氣體分子在空間的分布應(yīng)是處處均勻的。因此在一密閉的容器中，只要?dú)怏w處于平衡態(tài)，那末容器中任一位置處單位體積內(nèi)的分子數(shù)都應(yīng)相等，并且分子沿任一方向的運(yùn)動(dòng)都不比其它方向更占有優(yōu)勢(shì)。這樣我們作出如下假設(shè)：46

上述兩點(diǎn)統(tǒng)計(jì)的論斷只有在平均的意義上才是正確的。氣體的分子數(shù)目越多，準(zhǔn)確程度就越高。例如，在氣體中取一體積為V的立方體，由于沿各方向運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)目是相等的，所以我們認(rèn)為飛向上下左右的分子數(shù)各為1/6。由于體積元中的分子數(shù)目是一個(gè)相當(dāng)大的數(shù)目，因此即使飛向某一面的分子數(shù)有成百上千的偏差，但這在分子總數(shù)中所占的百分比是很小的，因此上述的假設(shè)只具有統(tǒng)計(jì)平均的意義。47

下面我們從上面所講的理想氣體微觀模型出發(fā)來闡明壓強(qiáng)的實(shí)質(zhì)，并推導(dǎo)出理想氣體的壓強(qiáng)公式

我們知道容器中氣體在宏觀上施于器壁的壓強(qiáng)是大量分子對(duì)器壁不斷碰撞的結(jié)果。就一個(gè)分子來講，它對(duì)器壁的碰撞是斷續(xù)的，而且它每一次給器壁多大的沖力，碰在什么地方都是偶然的，但對(duì)大量分子整體來說，每一時(shí)刻都有許多分子與器壁相碰，所以在宏觀上就表現(xiàn)出一個(gè)恒定的持續(xù)的壓力。這和雨點(diǎn)打在雨傘上的情形很相似，一個(gè)個(gè)的雨點(diǎn)打在雨傘上是斷續(xù)的，大量密集的雨點(diǎn)打在傘上就使我們感受到了一個(gè)持續(xù)的向下的壓力。理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)48單個(gè)分子碰撞器壁的作用力是不連續(xù)的、偶然的、不均勻的。但是從總的效果上來看，就有一個(gè)持續(xù)的平均作用力作用在器壁之上。單個(gè)分子多個(gè)分子平均效果49

為了使結(jié)果具有更普遍的意義，我們選一個(gè)任意形狀的容器，在這個(gè)容器中貯有一定量的理想氣體。容器容積是V，共含有N個(gè)分子，單位體積內(nèi)的分子數(shù)目是n=N/V，每個(gè)分子的質(zhì)量是m，分子具有各種可能的速度。為了計(jì)算的方便，我們可以把分子分成若干組，認(rèn)為每組內(nèi)的分子具有大小相等方向一致的速度，并假設(shè)在單位體積內(nèi)各組的分子數(shù)分別為n1、n2……ni，這樣就有

在平衡狀態(tài)下，器壁上各處的壓強(qiáng)相等。取直角坐標(biāo)系x、y、z，在垂直于x軸的器壁上任意取一小塊面積dA來計(jì)算它受到的壓強(qiáng)。dA50

首先考察單個(gè)分子在一次碰撞中對(duì)dA的作用。設(shè)某一分子i與dA碰撞，其速度是v，速度的三個(gè)分量是vix、viy

、viz

。由于碰撞是完全彈性的，所以碰撞前后分子在y、z兩方向上的速度分量不變。而在x方向上的速度分量由-vix變?yōu)関ix

，即大小不變，但方向相反。yxvxvyvxvyvv這樣分子i在碰撞過程中的動(dòng)量改變?yōu)?/p>

按動(dòng)量定理，這應(yīng)等于分子i施于dA的沖量。51

接著我們來確定在一段時(shí)間dt內(nèi)所有分子施于dA的總沖量。在全部速度為vi的分子中，在時(shí)間dt內(nèi)能與dA相碰的，只是位于以dA為底，vixdt為高，以vi為軸線的斜形柱體內(nèi)的那部分，其余部分速度為vi的分子不可能與dA面相碰。按照前面的假設(shè)，單位體積內(nèi)速度為vi的分子數(shù)是ni，而柱體體積是vixdtdA。所以在時(shí)間dt內(nèi)能與dA相碰的分子數(shù)是：nivixdtdAvidtvixdtx52由此知，速度為vi的一組分子在時(shí)間dt內(nèi)施于dA的總沖量為：2mvix(nivixdtdA)=2mniv2

ixdtdAdt時(shí)間內(nèi)能與dA相碰的分子數(shù)將這個(gè)結(jié)果對(duì)所有可能的速度求和，就得到了所有分子施于dA的總沖量。另外在求和時(shí)，我們必須限制速度在vix

＞0的范圍內(nèi)，因?yàn)関ix

＜0的分子是不會(huì)與dA相碰的。因此應(yīng)有：vidtvixdtx53

容器中的氣體作為整體來講并無運(yùn)動(dòng)，所以平均來看vix

＞0的分子數(shù)只占總分子數(shù)的一半，而vix

＜0的分子也占總數(shù)的一半。因此求和時(shí)，若不受vix

＞0這一條件的限制，則應(yīng)在上式中除以2。于是有這個(gè)沖量體現(xiàn)出氣體分子在時(shí)間dt內(nèi)對(duì)dA面的持續(xù)作用。54

dI與dt之比為氣體施于器壁的宏觀壓力，即F=dI/dt，而單位面積上的壓力即為壓強(qiáng)，所以有：表示單位體積內(nèi)具有速度為v1x的分子有n1個(gè)；具有速度為v2x的分子有n2個(gè)；以此類推，具有速度為vix的分子有ni個(gè)。如果我們用對(duì)所有的分子求平均值，即55則有代入前式中得到

前面我們說過在平衡狀態(tài)下，氣體的性質(zhì)與方向無關(guān)。分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的幾率相等，所以對(duì)大量分子而言，必有56由于所以即式中表示氣體分子平動(dòng)能的平均值，叫做分子的平均平動(dòng)動(dòng)能，它是一個(gè)微觀量，不能直接由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。57

上式說明：理想氣體的壓強(qiáng)P決定于單位體積內(nèi)的分子數(shù)n和分子的平均平動(dòng)動(dòng)能，n和越大，P也就越大。這個(gè)式子把宏觀量P和微觀量聯(lián)系了起來。P可以由實(shí)驗(yàn)測(cè)定，而不能由實(shí)驗(yàn)直接測(cè)定，所以上式不能直接由實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。但從這個(gè)式子出發(fā)可以滿意地解釋和推證許多實(shí)驗(yàn)定律，例如阿伏伽德羅定律和道爾頓分壓定律，因此它應(yīng)該是正確的。

58需要說明的是，壓強(qiáng)表示單位時(shí)間單位面積器壁所獲得的平均沖量。由于分子對(duì)器壁的碰撞是斷續(xù)的，分子施于器壁的沖量的大小也是漲落不定，所以壓強(qiáng)P是一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均量。在氣體中單位體積內(nèi)的分子數(shù)也是漲落不定的，所以n也是一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均量。因此上式是表征三個(gè)統(tǒng)計(jì)平均量P、、n之間相互聯(lián)系的一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是一個(gè)力學(xué)規(guī)律。59

根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程和壓強(qiáng)公式，可以導(dǎo)出氣體的溫度和分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之間的關(guān)系，從而闡明溫度這一概念的微觀實(shí)質(zhì)。溫度的微觀解釋

temperature601mol氣體中的分子數(shù)目是設(shè)每個(gè)分子的質(zhì)量是m，氣體的質(zhì)量是mol質(zhì)量單位體積內(nèi)的分子數(shù)即：由理想氣體狀態(tài)方程改寫為61K為玻耳茲曼常數(shù)。因此理想氣體狀態(tài)方程可寫為上式說明：在相同的溫度和壓強(qiáng)下，各種氣體在相同的體積內(nèi)所含有的分子數(shù)相等。式中R與N0都是恒量，它們的比值也應(yīng)是個(gè)恒量.62在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下（P=1atm=1.013105Pa，T=273.15K）任何氣體在1m3中含有的分子數(shù)都等于：叫做洛喜密脫數(shù)（Loschmidt）63把與相比較，知即

這說明：氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能只與氣體溫度有關(guān)，并與熱力學(xué)溫度成正比。這個(gè)式子就是使分子運(yùn)動(dòng)論適合于理想氣體狀態(tài)方程所必須滿足的關(guān)系式；也可以認(rèn)為它是從分子運(yùn)動(dòng)論的角度對(duì)溫度下的定義。64

從微觀的角度闡明了溫度的實(shí)質(zhì)：溫度標(biāo)志著物體內(nèi)部分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。溫度越高，物體內(nèi)部分子的熱運(yùn)動(dòng)越劇烈；兩種氣體具有相同的溫度，就意味著氣體的分子平均平動(dòng)動(dòng)能相等；一種氣體的溫度高些，就意味著這種氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能大些。按照這種觀點(diǎn)，熱力學(xué)溫度零度將是理想氣體分子熱運(yùn)動(dòng)停止時(shí)的溫度，然而實(shí)際上分子運(yùn)動(dòng)是永遠(yuǎn)不會(huì)停止的，因此熱力學(xué)溫度零度也就永遠(yuǎn)達(dá)不到。實(shí)際上，即使在熱力學(xué)零度時(shí)，固體中的粒子也還保持著某種振動(dòng)能量。關(guān)于這些不再討論。65還可看出：上式是反映了宏觀量T和微觀量的平均值之間的聯(lián)系。由于溫度是和大量分子的平均平動(dòng)動(dòng)能相聯(lián)系的，所以溫度也應(yīng)是大量分子的集體表現(xiàn)，也是具有統(tǒng)計(jì)意義的。對(duì)單個(gè)分子說它有溫度是沒有意義的。66氣體分子的方均根速率得到由

上式是大量氣體分子速率平方的平均值的平方根，叫做氣體分子的方均根速率。由于上式是一個(gè)統(tǒng)計(jì)的關(guān)系式，所以知道了宏觀量T和只能求出微觀量v的一種統(tǒng)計(jì)平均值，而不能直接算出每個(gè)分子的速率來，雖然每個(gè)分子的速率不能算出來，但算出了統(tǒng)計(jì)平均值方均根速率之后就能使對(duì)氣體分子的運(yùn)動(dòng)情況得到一些統(tǒng)計(jì)的了解。例如算出的方均根速率越大，就可推知?dú)怏w中速率大的分子比較多。67分子運(yùn)動(dòng)論的基本概念：宏觀物體是由大量分子所組成的，分子之間有間隙，分子在時(shí)刻不停地作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，分子之間有相互作用力。平衡態(tài)：處在沒有外界影響的條件下的熱力學(xué)系統(tǒng)，經(jīng)過一段時(shí)間后將達(dá)到一個(gè)確定的狀態(tài)，而不再有任何宏觀變化。68狀態(tài)參量：①幾何參量②力學(xué)參量③化學(xué)參量④電磁參量以上這四類狀態(tài)參量都不是熱學(xué)所特有的量，它們不能直接表征系統(tǒng)的熱性質(zhì)。直接描述系統(tǒng)的熱性質(zhì)的參量是溫度。實(shí)驗(yàn)指出，處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，其溫度同上述四類狀態(tài)參量之間存在著一定的聯(lián)系；或者說系統(tǒng)的溫度是其他狀態(tài)參量的函數(shù)，即態(tài)函數(shù)。它們之間的函數(shù)關(guān)系就是系統(tǒng)的狀態(tài)方程。表征物體冷熱程度的物理量。溫度建立在熱平衡定律基礎(chǔ)上691.在一密閉容器中，儲(chǔ)有A、B、C三種理想氣體，處于平衡狀態(tài)。A種氣體的分子數(shù)密度為n1，它產(chǎn)生的壓強(qiáng)為P1；B種氣體的分子數(shù)密度為2n1

，C種氣體的分子數(shù)密度為3n1

，則混合氣體的壓強(qiáng)P為________P1。理想氣體狀態(tài)方程：702.若理想氣體的體積為V，壓強(qiáng)為P，溫度為T，一個(gè)分子的質(zhì)量為m，k為玻爾茲曼常量R為普適氣體常量，則該理想氣體的分子數(shù)為____________。71P、V、T相同，則3.有一截面均勻的封閉圓筒,中間被一光滑的活塞分隔成兩邊,如果其中的一邊裝有0.1kg的某一溫度的氫氣，為了使活塞停留在圓筒的正中央，則另一邊應(yīng)裝入同一溫度的氧氣質(zhì)量為________kg。725在室內(nèi)生起爐子后溫度從150C升高到270C，而室內(nèi)氣壓不變，則此時(shí)室內(nèi)的分子數(shù)減少了______﹪。即減少了4﹪。73理想氣體壓強(qiáng)公式：分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：它是從微觀的角度闡明了溫度的實(shí)質(zhì)：溫度標(biāo)志著物體內(nèi)部分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。744.A、B、C三個(gè)容器中皆裝有理想氣體，它們的分子數(shù)密度之比為nA:nB:nC=4:2:1，而分子的平均平動(dòng)動(dòng)能之比為A:B:C=1:2:4，則它們的壓強(qiáng)之比PA:PB:PC為(A)1:1:1(B)1:2:2(C)1:2:3(D)1:2:4[]A75氣體分子的方均根速率由上式是一統(tǒng)計(jì)的關(guān)系式，所以知道了宏觀量T和只能求出微觀量v的一種統(tǒng)計(jì)平均值，而不能直接算出每個(gè)分子的速率來，雖然每個(gè)分子的速率不能算出來，但算出了統(tǒng)計(jì)平均值方均根速率之后就能使對(duì)氣體分子的運(yùn)動(dòng)情況得到一些統(tǒng)計(jì)的了解。例如算出的方均根速率越大，就可推知?dú)怏w中速率大的分子比較多。得到大量氣體分子速率平方的平均值的平方根767.在容積為10–2m3的容器中，裝有質(zhì)量100g的氣體，若氣體分子的方均根速率為200ms–1，則氣體壓強(qiáng)為(A)0.67105Pa(B)1.33105Pa(C)2.66105J(D)3.99105Pa[]B77理想氣體壓強(qiáng)公式：理想氣體狀態(tài)方程：分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：氣體分子的方均根速率：由：78

在這一節(jié)中，要說明分子熱運(yùn)動(dòng)的能量所遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在此基礎(chǔ)之上建立理想氣體內(nèi)能的經(jīng)典理論。能量按自由度均分定理

energyequipatirtiontheorem理想氣體的內(nèi)能79自由度（degreeoffreedom）

前面討論分子的熱運(yùn)動(dòng)時(shí)，只考慮了分子的平動(dòng)，實(shí)際上，除了單原子分子之外，一般分子的運(yùn)動(dòng)并不只限于平動(dòng)，它還應(yīng)有轉(zhuǎn)動(dòng)和分子內(nèi)原子之間的振動(dòng)。因此在討論氣體分子的能量時(shí)，不但要考慮到平動(dòng)動(dòng)能，還要考慮其它能量，這就首先需要引入自由度的概念。單值地確定某一力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)所必需的，互相獨(dú)立并可以自由變動(dòng)的物理量的數(shù)目就稱為某一力學(xué)體系的自由度。簡單地講所謂自由度就是決定一個(gè)物體在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。80

例如一質(zhì)點(diǎn)在空間自由運(yùn)動(dòng)，則它的位置需要用三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)如x、y、z來決定，所以這個(gè)質(zhì)點(diǎn)有三個(gè)自由度。若此質(zhì)點(diǎn)被限定在某一平面或曲面上運(yùn)動(dòng)，它的位置只需兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來決定，它有兩個(gè)自由度，另一個(gè)自由度是被約束了，稱為約束了的自由度。同樣被限制在一直線或曲線上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)只有一個(gè)自由度。若把火車、輪船、飛機(jī)都看作質(zhì)點(diǎn)，則火車只有一個(gè)自由度，輪船有兩個(gè)自由度，而飛機(jī)有三個(gè)自由度。81剛體自由度的確定：ⅰ.用三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)如x、y、z來決定其質(zhì)心的位置。ⅱ.用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)如、來決定轉(zhuǎn)軸的方位。因?yàn)閏os2+cos2+cos2=1所以三個(gè)方位角中只有兩個(gè)是獨(dú)立的。ⅲ.用一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)如來決定剛體相對(duì)于某一起始位置轉(zhuǎn)過的角度。

剛體除平動(dòng)之外還有轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的一般運(yùn)動(dòng)可分解為質(zhì)心的平動(dòng)和繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，所以剛體的位置可這樣確定：82

可見自由運(yùn)動(dòng)的剛體共有6個(gè)自由度，其中3個(gè)表示平動(dòng)的位移，另外3個(gè)是轉(zhuǎn)動(dòng)角。當(dāng)剛體的運(yùn)動(dòng)受到某種限制時(shí)，其自由度數(shù)會(huì)減少，如繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體只有一個(gè)自由度。另外，自由度的數(shù)目可以是有限的，也可以是無限的。連續(xù)的流體、固體以及電場(chǎng)和磁場(chǎng)等都具有無限的自由度。83單原子分子：由于原子很小，單原子分子如氦、氖、氬等可被看作自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，所以有三個(gè)自由度。分子的自由度雙原子分子：雙原子分子除整體作平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)外，兩個(gè)原子還沿著連線方向作微振動(dòng)，因此可用一根質(zhì)量可以忽略的彈簧及兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的模型來表示這種分子。顯然對(duì)于這樣一個(gè)模型，需用三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來描述其質(zhì)心的位置，兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來確定其聯(lián)心的位置。由于兩個(gè)原子被看作質(zhì)點(diǎn)，所以繞聯(lián)線為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)是不存在的，最后還要用一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來確定兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置，這就是說雙原子分子一般有6個(gè)自由度。84某些雙原子分子可看成是剛性的，也就是沒有振動(dòng)存在。兩個(gè)原子的相對(duì)位置不會(huì)變化，那末剛性雙原子可以看成是由一無質(zhì)量的細(xì)桿連接的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這樣剛性雙原子只有5個(gè)自由度。85

多原子分子的自由度較復(fù)雜，需根據(jù)其結(jié)構(gòu)的情況進(jìn)行具體分析才能確定。一般地說，若某一分子由n個(gè)原子組成，則這個(gè)分子最多只能有3n個(gè)自由度，其中3個(gè)是平動(dòng)的；3個(gè)是轉(zhuǎn)動(dòng)的；其余（3n-6）個(gè)是振動(dòng)的。當(dāng)分子的運(yùn)動(dòng)受到某種限制時(shí)，其自由度數(shù)就會(huì)減少。例如多原子分子間的相對(duì)位置保持不變，它就可以看作是一自由剛體，只有6個(gè)自由度。86分子的自由度數(shù)目：單原子分子：3雙原子分子（剛性）：5雙原子分子（非剛性）：6多原子分子（剛性）：6多原子分子（非剛性）：最多3n個(gè)87能量按自由度均分定理式中它們表示沿x、y、z三個(gè)方向的速度分量的平方的平均值。改寫一下得到在平衡態(tài)下，大量氣體分子沿各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)相等。因此有前面已給出過理想氣體的平均平動(dòng)動(dòng)能為88這樣我們得到一個(gè)重要的結(jié)果：

即分子在每一個(gè)平動(dòng)自由度上具有相同的平動(dòng)動(dòng)能，其大小等于零1/2KT。也就是說分子的平動(dòng)動(dòng)能3/2KT是均勻地分配于每一個(gè)平動(dòng)自由度的。89

這個(gè)結(jié)論可以推廣到分子的振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，根據(jù)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)的原理，可以導(dǎo)出一個(gè)普遍的定理：能量按自由度均分定理：在溫度為T的平衡態(tài)下，物質(zhì)（氣體、液體、或固體）分子的每一個(gè)自由度都具有相同的平均動(dòng)能，其大小均為1/2KT。舉例來說，如果某種氣體分子有t個(gè)平動(dòng)自由度，r個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，s個(gè)振動(dòng)自由度，則分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為(t/2)KT；平均振動(dòng)動(dòng)能為(s/2)KT；平均轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為(r/2)KT

。這樣分子的平均總動(dòng)能為90分子的平均總動(dòng)能：

我們以后會(huì)看到，簡諧振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能和平均勢(shì)能是相等的，由于分子內(nèi)原子的微振動(dòng)可以近似地看成是簡諧振動(dòng)，所以對(duì)于每個(gè)振動(dòng)自由度，分子除了具有1/2KT的平均動(dòng)能之外，還具有1/2KT的平均勢(shì)能。因此如果分子的振動(dòng)自由度是s,則分子的平均振動(dòng)動(dòng)能和平均振動(dòng)勢(shì)能應(yīng)各為s/2KT。因而分子的平均總能量為91分子的平均總能量單原子分子t=3r=s=0雙原子分子（剛性）t=3r=2s=0雙原子分子（非剛性）t=3r=2s=192

最后需要說明的是，能均分定理是關(guān)于分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是對(duì)大量分子統(tǒng)計(jì)平均所得的結(jié)果。對(duì)個(gè)別分子來說，在任一瞬間，它們的各種形式的動(dòng)能和總能量完全可能與能均分定理所確定的平均值有很大的差別，而且每一種形式的能量也不見得按自由度均分，但是對(duì)于大量分子的整體而言，在平衡態(tài)下能量是按自由度均分的。93

除了上面所講的各種形式的動(dòng)能以及分子內(nèi)原子間的振動(dòng)勢(shì)能外，由于分子間還存在著相互作用的保守力，所以分子還應(yīng)具有與這種力相關(guān)的勢(shì)能，分子的所有這些形式的動(dòng)能和勢(shì)能的總和，叫做氣體的內(nèi)能。每一分子的平均總能量其中理想氣體的內(nèi)能對(duì)于理想氣體來說，分子間的相互作用力可以忽略不計(jì)，所以其內(nèi)能只是分子各種形式的動(dòng)能和分子內(nèi)原子間振動(dòng)勢(shì)能的總和。94質(zhì)量為M千克的理想氣體的內(nèi)能為單原子分子：剛性雙原子分子：

由上面的結(jié)果我們可以看出：1mol理想氣體的內(nèi)能只決定于分子的自由度和氣體的溫度，而與氣體的體積和壓強(qiáng)無關(guān)；或者說，理想氣體的內(nèi)能只是溫度的單值函數(shù)。1mol理想氣體內(nèi)有N0個(gè)分子，所以1mol理想氣體的內(nèi)能為其中R=N0K952有一瓶質(zhì)量為m的氫氣（視作剛性雙原子分子的理想氣體），溫度為T，則氫原子的平均動(dòng)能為雙原子分子，自由度是5[]B964有一瓶質(zhì)量為M的氫氣（視作剛性雙原子分子的理想氣體），溫度為T，則氫原子的平均平動(dòng)動(dòng)能為___________，氫原子的平均動(dòng)能為___________，該瓶氫氣的內(nèi)能為___________。任何原子的平動(dòng)自由度都是33個(gè)平動(dòng)自由度，兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。971.一定量氫氣（視為剛性分子的理想氣體）。若溫度每升高1K，其內(nèi)能增加20.8J，則該氫氣的質(zhì)量為(A)1.010-3kg(B)2.010-3kg(C)3.010-3kg(D)4.010-3kg（普適氣體常量R=8.31Jmol-1K-1）[]B983.有兩瓶氣體，一瓶是氦氣，另一瓶是氫氣（均視為剛性分子理想氣體），若它們的壓強(qiáng)、體積、溫度均相同，則氫氣的內(nèi)能是氦氣的(A)1/2倍(B)2/3倍(C)5/3倍(D)2倍[]CP、V、T均相同，則摩爾數(shù)相同。995.2g氫氣與2g氦氣分別裝在兩個(gè)容積相等的封閉容器內(nèi)，溫度也相同。（氫氣分子視為剛性雙原子分子）氫氣與氦氣內(nèi)能之比EH2/EHe為（A）1/3（B）5/3（C）10/3（D）16/3[]C100[]6.1mol的單原子分子理想氣體，在1atm的恒定壓強(qiáng)下，從00C加熱到1000C，則氣體的內(nèi)能改變了(A)0.25103J(B)0.5103J(C)1.0103J(D)1.25103J（普適氣體常量R=8.31Jmol-1K-1）D101理想氣體壓強(qiáng)公式：理想氣體狀態(tài)方程：其中，分子的平均平動(dòng)動(dòng)能：由：它是從微觀的角度闡明了溫度的實(shí)質(zhì)：溫度標(biāo)志著物體內(nèi)部分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。分子運(yùn)動(dòng)論的基本概念：宏觀物體是由大量分子所組成的，分子之間有間隙，分子在時(shí)刻不停地作無規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，分子之間有相互作用力。氣體分子運(yùn)動(dòng)論102質(zhì)量為M千克的理想氣體的內(nèi)能為單原子分子：剛性雙原子分子：

由上面的結(jié)果我們可以看出：1mol理想氣體的內(nèi)能只決定于分子的自由度和氣體的溫度，而與氣體的體積和壓強(qiáng)無關(guān)；或者說，理想氣體的內(nèi)能只是溫度的單值函數(shù)。1mol理想氣體的內(nèi)能為其中R=N0K理想氣體的內(nèi)能103氣體分子的速率分布率

我們知道氣體中的分子是以各種大小的速度沿著各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)著，而且由于相互碰撞每一分子的速度都在不斷地改變，因此若在某一特定時(shí)刻觀察某一特定分子，則其速度具有怎樣的數(shù)值和方向是完全偶然的但是對(duì)大量分子整體而言，在一定的條件下，它們的速度分布情況卻遵循著一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。為了說明這一點(diǎn)，我們先看一個(gè)測(cè)定氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)。104圖中O是產(chǎn)生金屬蒸汽分子流的蒸汽源。分子由狹縫S射出，一部分經(jīng)過另一狹縫S`形成一窄條射線；W和W`是兩個(gè)共軸圓盤，盤上各開一狹縫，兩縫成一小角度，P是一個(gè)接受分子的屏，整個(gè)儀器放在真空中。1.氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)測(cè)定金屬蒸氣顯示屏狹縫接抽氣泵WW’105實(shí)驗(yàn)裝置

當(dāng)盤以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，圓盤每轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，分子射線通過W一次。由于分子速率不同，分子由W到W`所需的時(shí)間也不同，所以并非所有通過W的分子都能通過W`射到屏P上。如果我們以l表示W(wǎng)和W`之間的距離，設(shè)分子速率為v，則分子從W到W`所需時(shí)間為t=l/v金屬蒸氣顯示屏狹縫接抽氣泵WW’1060sS`WW`Pl分子從W到W`所需時(shí)間為t=l/v在這段時(shí)間里，W`轉(zhuǎn)過的角度為=t顯然只有滿足上述兩關(guān)系式的分子才能通過W`，因此有t=l/v

即這就是說，W和W`是一濾速裝置。改變、l或可使不同速率的分子通過。由于W和W`的狹縫都具有一定的寬度，所以當(dāng)角速度一定時(shí)，能射到屏P上的分子速率并不相同，而是分布在一個(gè)區(qū)間v—v+v內(nèi)的。1070sS`WW`Pl

實(shí)驗(yàn)時(shí)一般使改變，也就是令圓盤先后以各種不同的角速度12轉(zhuǎn)動(dòng)，然后用光學(xué)的方法測(cè)量各次在屏上所沉積的金屬層的厚度。這樣我們就可以比較分布在不同速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)目的相對(duì)比值。上述實(shí)驗(yàn)叫斯特恩(stern)實(shí)驗(yàn)，它是stern在1920年所作的。108實(shí)驗(yàn)裝置O——蒸汽源S——分子束射出方向孔R(shí)——長為l、刻有螺旋形細(xì)槽的鋁鋼滾筒D——檢測(cè)器，測(cè)定通過細(xì)槽的分子射線強(qiáng)度從蒸汽源容器上的狹縫S可獲得分子射線，用鋁鋼材料制成的圓柱體滾筒R上，均勻地刻制了一些螺旋形細(xì)槽，細(xì)槽的入口狹縫與出口狹縫間的夾角為f，高度真空的檢測(cè)器D用來接收分子射線并測(cè)定其強(qiáng)度。氣體分子速率的實(shí)驗(yàn)測(cè)定109實(shí)驗(yàn)原理當(dāng)圓盤B、C以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，分子射線通過圓盤一次，由于分子的速率不一樣，分子由B到C的時(shí)間不一樣，所以并非所有通過B的分子都能夠通過C達(dá)到顯示屏D，只有速率滿足下式的分子才能通過S達(dá)到D。110

1930年以后蔡特曼(Zartman)和葛正權(quán)(Ko)等人又對(duì)此作了一些改進(jìn)，改進(jìn)后的實(shí)驗(yàn)裝置如圖，金屬銀在小爐O中熔化并蒸發(fā)，銀原子通過爐上小孔溢出，又通過狹縫S進(jìn)入抽真空區(qū)域，圓筒C可繞中心軸A旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速約為100rev/s。111OSS`CAG

測(cè)定分子速率的實(shí)驗(yàn)是在圓筒旋轉(zhuǎn)的情況下進(jìn)行的，此時(shí)分子僅能在狹縫S`穿過分子束的短暫時(shí)間間隔內(nèi)進(jìn)入圓筒。如圖所示，圓筒以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，則當(dāng)這些分子穿越圓筒直徑時(shí)，玻璃板向右移動(dòng)。因此這些分子撞擊玻璃板的部位是在圓筒靜止時(shí)的撞擊點(diǎn)B的左方。而且分子速率越小，其撞擊點(diǎn)越偏左，所以玻璃板變黑的程度就是分子的速率分布情況。B通過狹縫S`進(jìn)入圓筒的分子束將投射并粘附在彎曲狀玻璃板G上，取下玻璃板，用自動(dòng)記錄的測(cè)微光度計(jì)測(cè)定玻璃板上變黑的程度，就可以確定到達(dá)玻璃板上任一部分的分子數(shù)。112

無論哪一種實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明：①一般來說，分布在不同速率區(qū)間的分子數(shù)是不相同的；②在實(shí)驗(yàn)條件不變的情況下，分布在各個(gè)區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的相對(duì)比值是完全確定的，這就說明，盡管個(gè)別分子的速率等于多少是偶然的，但就大量分子的整體來說，它的速率分布卻遵從一定的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律我們就稱之為氣體分子速率的統(tǒng)計(jì)分布率。113

為了描述氣體分子按速率的分布情況，研究它的定量的規(guī)律，我們首先引入速率分布函數(shù)的概念。令N表示一定量氣體的總分子數(shù)；dN表示速率分布在某一區(qū)間v—v+dv（例如500—510m/s）內(nèi)的分子數(shù)，則dN/N就表示分布在這一區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。顯然在不同的速率v附近取相等的間隔，比率dN/N的數(shù)值一般是不相同的，也就是說dN/N與速率v有關(guān)，它應(yīng)與v的一定的函數(shù)成正比。另一方面，在給定的v附近，如果所取的間隔dv越大，則分布在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)就越多。比率dN/N也就越大。當(dāng)dv取得足夠小時(shí)，總可以認(rèn)為dN/N與dv成正比。這樣總起來說，我們就有2.速率分布函數(shù)114上式也可寫成

上式表示：分布在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。對(duì)于在一定溫度下的氣體，它只是速率的函數(shù)，叫作氣體分子的速率分布函數(shù)。如果我們確定了速率分布函數(shù)f(v)，就可以用積分的方法求出分布在任一有限速率范圍v1～v2（例如500m/s～600m/s）內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率115

由于全部分子都百分之百地分布在0～∞整個(gè)速率范圍內(nèi)，所以取v1=0，v2=∞，則上式的結(jié)果顯然是1。即這個(gè)關(guān)系式是由速率分布函數(shù)f(v)本身的物理意義所決定的，它是速率分布函數(shù)所必須滿足的條件，叫做速率分布函數(shù)的歸一化條件。116氣體分子的速率分布率速率分布函數(shù)分布在速率v附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。N—一定量氣體的總分子數(shù)dN—速率分布在某一區(qū)間v—v+dv內(nèi)的分子數(shù)dN/N—分布在這一區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率1173.麥克斯韋速率分布率Maxwell’sdistributionlawofvelocity實(shí)際上在近代測(cè)定分子速率的實(shí)驗(yàn)獲得成功以前，麥克斯韋、玻耳茲曼等人就已從理論上確定了氣體分子按速率分布的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。J.C.麥克斯韋首先獲得氣體分子速度的分布規(guī)律，爾后，又為L.玻耳茲曼由碰撞理論嚴(yán)格導(dǎo)出。理論分析結(jié)果指出：在平衡狀態(tài)下，當(dāng)氣體分子間相互作用可以忽略時(shí),分布在任一速率區(qū)間v～v+dv內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為即速率分布函數(shù)為式中T是熱力學(xué)溫度，m是每個(gè)分子的質(zhì)量，k是玻耳茲曼常數(shù)。118圖中的曲線即氣體分子速率分布曲線，它描繪出氣體分子按速率的分布情況。圖中任一區(qū)間

v～v+dv內(nèi)曲線下的窄條面積與總面積的比表示速率分布在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)的比率dN/N。119

由圖看出，速率分布曲線由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過一極大值后隨速率的增大而漸近于橫坐標(biāo)軸，這說明氣體的速率可取0～∞之間的一切數(shù)值，速率很大和很小的分子所占的比率都很小。而占有中等速率的分子所占的比率卻很大。

與曲線的極大值相對(duì)應(yīng)的速率叫做最可幾速率，用vp表示。它的物理意義是：如果把整個(gè)速率范圍分成許多相等的小區(qū)間，則分布在vp所在的區(qū)間內(nèi)的分子比率最大。120

要確定vp

，可取速率分布函數(shù)f(v)對(duì)速率v的一級(jí)微商為零，即把f(v)代入，得到121開方，v取正值得到其中即122

還可求出一些與分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量的統(tǒng)計(jì)平均值，如算術(shù)平均速率和方均根速率。

算術(shù)平均速率的定義是大量分子速率的算術(shù)平均值。因?yàn)榉肿臃植荚谌我凰俾蕝^(qū)間的分子數(shù)為由于dv很小,可近似地認(rèn)為這dN個(gè)分子的速率是相同的都等于v，dN個(gè)分子速率的總和是vNf(v)dv，對(duì)所有可能的速率間隔求和得到全部分子速率的總和，再除以總分子數(shù)N，就可求出分子的算術(shù)平均速率?？紤]到分子速率是連續(xù)分布的，可以用積分代替求和，所以有123令則上式變?yōu)橛煞e分表可查到所以124用同樣的方法可以求出分子速率平方的平均值由此可得到分子的方均根速率125最可幾速率算術(shù)平均速率均方根速率氣體分子的三種速率都與T1/2成正比，與m1/2或1/2成反比。在室溫下，它們的數(shù)量級(jí)一般為每秒幾百米。

上述三種速率就不同的問題有各自的應(yīng)用；討論速率分布時(shí)要用到最可幾速率；計(jì)算分子運(yùn)動(dòng)的平均距離時(shí)要用到平均速率；計(jì)算分子的平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)要用到方均根速率。f(v)v0126f(v)v073k273k1273k

不同溫度下的分子速率分布曲線?？煽闯霎?dāng)溫度升高時(shí)氣體分子速率普遍增大，但曲線下的總面積即分子數(shù)的百分比的總和不變，所以溫度越高，曲線就越平坦。最可幾速率127vp

隨T升高而增大，隨m增大而減小。最可幾速率1288.體積為V的鋼筒中，裝著壓強(qiáng)為P、質(zhì)量為M的理想氣體，其中速率在________附近的單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)最多。1298如圖所示的兩條曲線分別表示氫氣和氧氣在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線。由此可得氧氣分子的最概然速率為(A)500ms-1(B)1000ms-1

(C)2000ms-1

(D)4000ms-1

最可幾速率f(v)v(m.s-1)02000[]A氧氣：16氫氣：21309已知f（v）為麥克斯韋速率分布函數(shù)，N為總分子數(shù)，則速率v>100ms-1的分子數(shù)的表達(dá)式為[]B速率區(qū)間v1—v2的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比分布在100ms-1

～∞之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比速率v>100ms-1的分子數(shù)為131

在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子之間的相互作用可忽略時(shí)，速度分量vx在區(qū)間vx~vx+dvx，vy

在區(qū)間vy~vy+dvy，vz在區(qū)間vz~vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率（麥克斯韋速度分布函數(shù)）為玻爾茲曼能量分布律等溫氣壓公式dvxdvydvz為速度空間的一個(gè)體積元。1玻爾茲曼能量分布律132麥克斯韋速度分布律其指數(shù)僅包含分子運(yùn)動(dòng)動(dòng)能相應(yīng)于分子不受外力場(chǎng)的影響，只考慮分子在速度空間體積元dvxdvydvz

中的分布情況。133用

代替

用x、y、z、

vx、vy、vz

為軸構(gòu)成的六維空間中的體積元

dxdydzdvxdvydvz

代替速度空間的體積元dvxdvydvz

分子按速度的分布不受力場(chǎng)的影響，按空間位置的分布卻是不均勻的，依賴于分子所在力場(chǎng)的性質(zhì)。玻爾茲曼的推廣134玻爾茲曼能量分布律當(dāng)系統(tǒng)在力場(chǎng)中處于平衡態(tài)時(shí)，其中坐標(biāo)介于區(qū)間x~x+dx、y~y+dy、z~z+dz內(nèi)，同時(shí)速度介于vx~vx+dvx，vy~vy+dvy，vz~vz+dvz內(nèi)的分子數(shù)為n0為在εp=0處，單位體積內(nèi)具有各種速度的分子總數(shù)。135單位體積分子數(shù)n136重力場(chǎng)中粒子按高度的分布(εp=mgh)重力場(chǎng)中，氣體分子受到兩種相對(duì)立的作用，一方面是無規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)使氣體分子均勻分布于它們所能夠到達(dá)的空間。另一方面是重力要使氣體分子聚集到地面上。這兩種作用平衡時(shí)，氣體分子則在空間作非均勻分布，即氣體分子數(shù)密度隨高度的增加按指數(shù)規(guī)律減??；分子質(zhì)量越大，受重力的作用越大，分子數(shù)密度減小得越迅速；對(duì)于溫度較高的氣體，分子的無規(guī)則運(yùn)動(dòng)劇烈。分子數(shù)密度隨高度減小比較緩慢。法國物理學(xué)家佩蘭據(jù)此測(cè)量了玻耳茲曼常數(shù)進(jìn)而得到了阿伏伽德羅常數(shù)，于1922年獲得了諾貝爾物理獎(jiǎng)。137假設(shè)：大氣為理想氣體不同高度處溫度相等利用：p=nkT

可得:每升高10米，大氣壓強(qiáng)降低133Pa。近似符合實(shí)際，可粗略估計(jì)高度變化。2重力場(chǎng)中等溫氣壓公式近似估計(jì)高度138一般來說，常溫下大部分氣體分子的運(yùn)動(dòng)速度是每秒幾百米，這個(gè)速度不算太慢，因此在我們看來，似乎氣體內(nèi)的一切過程好象都應(yīng)在一瞬間就會(huì)完成。但實(shí)際情況并不如此。氣體中的擴(kuò)散過程進(jìn)行得相當(dāng)慢；氣體溫度的趨于一致也需要一定的時(shí)間才能完成。這主要是由于分子由一處移到另一處的過程中不斷地與其它分子碰撞，這就使得分子沿著迂回的折線前進(jìn)。氣體的擴(kuò)散、熱傳導(dǎo)等過程進(jìn)行的快慢都取決于分子間相互碰撞的頻繁程度，因此我們有必要研究一下分子的碰撞問題。分子的平均碰撞頻率與平均自由程1391分子碰撞的一般概念

氣體內(nèi)的分子每時(shí)每刻都在不停地?zé)o規(guī)則地運(yùn)動(dòng)著，在運(yùn)動(dòng)過程中，每個(gè)分子都不斷地與其它分子發(fā)生碰撞。每個(gè)分子在任意的連續(xù)兩次碰撞之間所經(jīng)過的自由路程的長短和所需要的時(shí)間的多少，具有偶然的性質(zhì)，因此在研究氣體的性質(zhì)和規(guī)律時(shí)，特別重要的是，分子在連續(xù)兩次碰撞之間所經(jīng)路程的平均值；以及每個(gè)分子在單位時(shí)間里與其它分子相碰的次數(shù)。前者稱之為平均自由程，后者稱為分子的平均碰撞次數(shù)或碰撞頻率。它們的大小就反映了分子間碰撞的頻繁程度。140

顯然，在分子的平均速率一定的情況下，分子間的碰撞越頻繁，分子的平均自由程就越小。可以看出二者之間存在著簡單的關(guān)系。分子的平均速率：在任意一段時(shí)間t內(nèi)，分子走過的路程是分子的碰撞次數(shù)也就是整個(gè)路程所被折成的段數(shù)根據(jù)定義,平均自由程為的大小是由氣體的性質(zhì)和狀態(tài)來決定的。1412.分子的平均碰撞次數(shù)

考慮跟蹤一個(gè)原子A，數(shù)一數(shù)在一段時(shí)間t內(nèi)，A與多少分子相碰。由于對(duì)碰撞來說，重要的是分子間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因此，為簡單起見，我們可以假設(shè)分子A以平均相對(duì)速率u運(yùn)動(dòng)，這樣我們就可以認(rèn)為其它分子都靜止不動(dòng)。1422dAd在分子運(yùn)動(dòng)的過程中，顯然只有中心與A的中心間的距離小于或等于分子直徑的那些分子才可能與A相碰。因此，為了確定一段時(shí)間t內(nèi)有多少分子與A相碰，我們可以以A的中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為軸線，以分子的直徑d為半徑作一個(gè)曲折的圓柱體。這樣凡是中心在此圓柱體內(nèi)的分子都要與A相碰。143在時(shí)間dt內(nèi)A走過的路程是相應(yīng)的圓柱體的體積是以n表示氣體單位體積內(nèi)的分子數(shù)，則在此圓柱體內(nèi)的分子數(shù)也就是A與其它分子相碰撞的次數(shù)為因此碰撞頻率即平均碰撞次數(shù)為2dAd144利用麥克斯韋速率分布律可以證明，氣體分子的平均相對(duì)速率與平均速率之間有如下關(guān)系因此有根據(jù)這個(gè)式子我們就可以算出分子的平均自由程。1453.分子的平均自由程由將碰撞頻率代入得到

分子的平均自由程與分子直徑的平方及單位體積內(nèi)的分子數(shù)成反比，而與平均速率無關(guān)。由于P=nkT，所以上式也可改寫為

這說明，當(dāng)溫度恒定時(shí)，平均自由程和壓強(qiáng)成反比，也就是說壓強(qiáng)越小，則平均自由程就越長。146

標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，空氣分子的有效直徑為3.5×10-10m，平均分子量為29，利用上述公式算出其平均自由程為=6.9×10-8m?？梢?在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，空氣分子的平均自由程約為其有效直徑的200倍。

在氣體輸運(yùn)的初級(jí)理論和真空技術(shù)、氣體放電等領(lǐng)域中，平均自由程都是常用的重要物理量。1477.一固定容器內(nèi)，儲(chǔ)有一定量的理想氣體，溫度為T，分子的平均碰撞次數(shù)為，若溫度升高為2T，則分子平均碰撞次為________14810氮?dú)庠跇?biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的分子平均碰撞次數(shù)為5.42×108.s-1。分子平均自由程為6×10－6cm．若溫度不變。氣壓降為0.1atm，則分子的平均碰撞次數(shù)和平均自由程分別變?yōu)?A)1.81107s-1，210-5cm(B)2.71107s-1，310-5cm

(C)5.42107s-1，610-5cm

(D)10.84107s-1，1210-5cm

P降低10倍，增大10倍。不變，增大10倍，則

減小10倍。[]C149

前面講的都是氣體在平衡狀態(tài)下的性質(zhì)。而實(shí)際上有許多問題中都涉及到氣體在非平衡狀態(tài)下的變化過程。例如當(dāng)氣體各部分的密度不均勻時(shí)所發(fā)生的擴(kuò)散過程；溫度不均勻時(shí)所發(fā)生的熱傳導(dǎo)過程；以及在氣體內(nèi)各層流速不同時(shí)所發(fā)生的粘滯現(xiàn)象等，這些現(xiàn)象就稱之為氣體內(nèi)的遷移現(xiàn)象。因?yàn)檫@些現(xiàn)象具有共同的宏觀特征和微觀機(jī)制，我們?cè)谶@一節(jié)中集中地加以討論。1粘滯現(xiàn)象（內(nèi)摩擦現(xiàn)象）

當(dāng)氣體流動(dòng)時(shí)，如果各層的流速不同，那末相鄰兩層的接觸面上形成一對(duì)阻礙兩氣層相對(duì)運(yùn)動(dòng)的等值而反向的相互作用力，叫做粘滯力（內(nèi)摩擦力），氣體的這種性質(zhì)叫做粘滯性。氣體內(nèi)的遷移現(xiàn)象150粘滯力所遵循的實(shí)驗(yàn)規(guī)律為簡單起見，設(shè)氣體平行于X—Y平面，沿X軸正方向流動(dòng)，流速u隨y方向逐漸增大，流速在y方向上的空間變化率叫做速度梯度，用du/dy表示。151如果在y=y0處垂直于y軸作一截面，將氣體分成A、B兩部分。由于各層流速不同，那末相鄰兩層的接觸面上將形成一對(duì)阻礙兩氣層相對(duì)運(yùn)動(dòng)的等值而反向的相互作用力，也就是說，A部將施于B部一平行于X軸正方向的力；B部將施于A部一大小相等方向相反的力。152由實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果可分析出粘滯力的大小與該面所在處的速度梯度成正比，亦與所取的截面大小成正比，即153此式稱為牛頓粘滯定律。比例系數(shù)稱為粘滯系數(shù)（或內(nèi)摩擦系數(shù)）,其數(shù)值要由實(shí)驗(yàn)測(cè)定。1859年J.C.麥克斯韋用速度分布函數(shù)的概念和平均自由程，首先推算出式中為氣體的密度，v為分子熱運(yùn)動(dòng)的平均速度,為分子的平均自由程。1541904年J.H.金斯考慮了分子的速度住留效應(yīng)（分子在碰后的平均速度與碰前的速度有關(guān)，總的效果是保留了一部分碰前速度）之后，得到1916年S.查普曼和1917年D.恩斯庫格根據(jù)玻耳茲曼方程，從更嚴(yán)密的數(shù)學(xué)方法入手，進(jìn)而推算非平衡態(tài)過程的物理常數(shù)，得到這個(gè)結(jié)果可認(rèn)為是比較精確的。155在較高的壓強(qiáng)范圍內(nèi)，內(nèi)摩擦系數(shù)一般與壓強(qiáng)無關(guān)，而與氣體分子量的二次方根成正比，與氣體分子有效直徑的二次方成反比，并隨溫度的升高而增大。其國際單位是帕〔斯卡〕·秒(Pa·s)，CGS制表示的內(nèi)摩擦系數(shù)的單位是泊(P)。156粘滯現(xiàn)象的微觀解釋從氣體分子運(yùn)動(dòng)論的觀點(diǎn)來看，當(dāng)氣體流動(dòng)時(shí)，每個(gè)分子除了具有熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)量外還附加有定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)量。如果以m表示分子的質(zhì)量，u表示氣體的流速，則每個(gè)分子的定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)量是mu。按照前面的假設(shè)，氣體的流速沿y軸正方向增大，所以ds以下部分分子的定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)量小；而截面以上部分分子的定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)量大。由于熱運(yùn)動(dòng)，A、B兩部分的分子不斷進(jìn)行交換，A部分分子帶著較大的定向動(dòng)量轉(zhuǎn)移到B部分，而B部分分子帶著較小的定向動(dòng)量轉(zhuǎn)移到A部分。結(jié)果使A部總的流動(dòng)的定向動(dòng)量減小，而B部則增大了。其效果在宏觀上就相當(dāng)于A、B兩部分互相施以粘滯力，因此粘滯現(xiàn)象是由于氣體內(nèi)定向運(yùn)動(dòng)動(dòng)量輸運(yùn)的結(jié)果。157因它表示單位時(shí)間內(nèi)通過ds沿y軸正方向輸運(yùn)的動(dòng)量，（為避免和壓強(qiáng)混淆把P換成K），所以粘滯定律也可寫成式中負(fù)號(hào)表示動(dòng)量是沿流速減小的方向輸運(yùn)。158

為簡單起見，設(shè)溫度沿y軸正方向逐漸升高。如果在y=y0處垂直于y軸取一截面，將氣體分成兩部分，則熱量將通過ds由A部傳遞到B部。2熱傳導(dǎo)現(xiàn)象熱傳導(dǎo)是由于各部分氣體溫度不同，或器壁間、器壁與氣體間溫度不同，使熱量通過氣體分子熱運(yùn)動(dòng)從高溫區(qū)轉(zhuǎn)向低溫區(qū)而產(chǎn)生的傳熱效應(yīng)。此時(shí)，能量由高溫區(qū)傳向低溫區(qū)。氣體傳熱現(xiàn)象還可由另一些機(jī)制造成