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§1.2有限元法有限元法以數(shù)學(xué)上的變分法或加權(quán)余量法為基礎(chǔ),由變分法導(dǎo)出的變分表達(dá)式或由加權(quán)余量法導(dǎo)出的加權(quán)積分表達(dá)式是有限元法求解的出發(fā)點(diǎn)?!?.2.1加權(quán)余量法:::§1.2.2伽遼金加權(quán)余量法::::從形式上看,強(qiáng)解積分表達(dá)式與弱解積分表達(dá)式完全相同,但二者對(duì)近似解的要求不同。強(qiáng)解積分表達(dá)式以(3)作為求解的出發(fā)點(diǎn),對(duì)近似函數(shù)的連續(xù)性要求高一些。::::
:xu1u2u*u1’u2’u*’0.250.22790.20940.20790.78130.76990.79330.500.39060.38490.38730.52080.55400.62430.750.48830.49640.51160.26040.33830.35421.000.52080.55400.557400.12230加權(quán)余量法的弱點(diǎn):(1)基函數(shù)的選取沒(méi)有一定的法則可以遵循(2)積分繁瑣為解決上述困難,提出了“分塊逼近”的思想,隨著高速計(jì)算機(jī)的出現(xiàn),使得伽遼金法和Ritz法發(fā)展成為廣泛應(yīng)用的、效率很高的有限元法?!?.2.3有限元法有限元法是以變分法或加權(quán)余量法為基礎(chǔ),結(jié)合分塊逼近技術(shù)而形成的、系統(tǒng)化的數(shù)值計(jì)算方法。分塊:將求解區(qū)域劃分為若干個(gè)互相連接而又不重疊的、一定形狀的有限個(gè)子區(qū)域,即單元。逼近:在單元中選擇基函數(shù)(插值函數(shù)),構(gòu)造單元近似解去代替求解函數(shù)。由于單元的幾何形狀是規(guī)則的,在單元內(nèi)構(gòu)造基函數(shù)可以給出一定的法則,單元積分也比較容易。
有限元法解題步驟:(1)區(qū)域劃分(2)選取單元基函數(shù)(插值函數(shù))(3)寫(xiě)出積分表達(dá)式(變分或加權(quán)余量法)(4)單元分析,建立單元有限元方程(5)總體合成(總裝),建立總體有限元方程(6)處理邊界條件(7)求解總體有限元方程,計(jì)算有關(guān)物理量為了說(shuō)明有限元法的解題步驟及每一步的要點(diǎn),下面以一個(gè)簡(jiǎn)單的常微分方程為例進(jìn)行分析。
解:1.區(qū)域剖分(1)單元?jiǎng)澐帧⒋_定結(jié)點(diǎn)數(shù)目和位置(2)編寫(xiě)單元號(hào)、總體結(jié)點(diǎn)號(hào)和單元結(jié)點(diǎn)號(hào)單元號(hào):全區(qū)域的單元統(tǒng)一編號(hào),e=1,2…E總體結(jié)點(diǎn)號(hào):全區(qū)域的結(jié)點(diǎn)按一定順序統(tǒng)一編號(hào),n=1,2…N單元結(jié)點(diǎn)號(hào):每一單元的結(jié)點(diǎn)按一定順序統(tǒng)一編號(hào),i=1,2…I單元分析時(shí)采用單元結(jié)點(diǎn)號(hào),總體合成時(shí)采用總體結(jié)點(diǎn)號(hào)(3)列出單元結(jié)點(diǎn)號(hào)與總體結(jié)點(diǎn)號(hào)之間的對(duì)照表
en
i12341123422345(4)給出結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值(5)列出本質(zhì)邊界結(jié)點(diǎn)號(hào)與邊界值總體結(jié)點(diǎn)號(hào)n12345坐標(biāo)x00.25h0.5h0.75hh邊界結(jié)點(diǎn)號(hào)n15邊界值un002.選取單元基函數(shù)有限元法的基函數(shù)在單元中選取,可以遵循一定法則:3.寫(xiě)出積分表達(dá)式4.單元分析將單元近似函數(shù)表達(dá)式代入加權(quán)積分式(三種形式之一),在一個(gè)典型單元內(nèi)積分,建立單元有限元方程。單元積分表達(dá)式::
:::5.總體合成將單元有限元方程逐個(gè)累加,合成為總體有限元方程。::::6.邊界條件處理
(1)消行修正法:(2)消行重新編號(hào)修正法:7.求解總體有限元方程§1.2.4有限元法求解二維問(wèn)題::
:
::::
:以上兩式表明,面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間是線性變換關(guān)系,可以將(x,y)平面上的任意三角形單元變換為(ζ1,ζ2)平面上的等腰直角三角形單元
A(x1,y1)
C(x3,y3)
B(x2,y2)xyA(1,0
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