浙工大概率論總復(fù)習(xí)(楊愛軍)

概率論總復(fù)習(xí)主講教師：楊愛軍浙江工業(yè)大學(xué)第一章隨機(jī)事件基本概念事件的概率古典概型條件概率事件的獨(dú)立性§1.1基本概念1.

隨機(jī)試驗(yàn)2.

樣本空間、樣本點(diǎn)3.隨機(jī)事件基本事件、必然事件、不可能事件

4.事件的關(guān)系：包含、和(并)、積(交)、差

交換律:A∪B=B∪A，AB=BA；結(jié)合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，

A(BC)=(AB)C；分配律:A(B∪C)=AB∪AC，

A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)；對偶律:5.事件的運(yùn)算法則(與集合運(yùn)算法則相同)(2)

若事件

A1,A2,…,An

兩兩互斥，則有：

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+…+P(An)；(4)對兩個(gè)事件A和B，若AB,則有

P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A);(3)對任一事件A,均有(5)對任意兩個(gè)事件A,B，有(1)

P(?)=0,

P(A)≥0,

P(Ω)=1

；§1.2事件的概率§1.3古典概率模型古典概率模型中事件概率求法經(jīng)典模型方法總結(jié)1.設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，從這批產(chǎn)品中一次性抽取n件樣品，則樣品中恰有m件次品的概率為設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件次品，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件樣品(一件一件的取)，則樣品中恰有m件次品的概率為

條件概率的概念§1.4條件概率乘法公式若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B),

若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A),

當(dāng)P(A1A2…An-1)>0時(shí)，有

P(A1A2…An)

=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).全概率公式其中A1,A2,…,An為Ω的一個(gè)劃分，且P(Ai)>0,i=1,2,…,n.

§1.5事件的獨(dú)立性兩事件A,B相互獨(dú)立P(AB)=P(A)P(B)當(dāng)P(A)>0,P(B)>0時(shí),若A、B互斥，則A與B不獨(dú)立；若A、B獨(dú)立,則A與B不互斥。Φ與任何事件A都既獨(dú)立又互斥；Ω與任何事件都獨(dú)立。定理：若事件A,B獨(dú)立，則

也相互獨(dú)立。

n個(gè)獨(dú)立事件并的概率公式:第二章隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布

離散型隨機(jī)變量的概率分布其中p1,p2,…滿足§2.2離散型隨機(jī)變量常見離散型隨機(jī)變量的概率分布

1.

X

～B(1,p),P{X=1}=p,P{X=0}=

1-p，E(X)=p，Var(X)=p(1-p).

2.X～B(n,p)，E(X)=np,

Var(X)=p(1-p)，

3.X～P()，E(X)=Var(X)=，§2.3

連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)f(x):密度函數(shù)的性質(zhì)常見的連續(xù)型隨機(jī)變量1.X

～

N(μ,σ2)，E(X)=μ,Var(X)=σ2.2.X~U[a,b]，E(X)=(a+b)/2，Var(X)=(b-a)2/12.

3.X

～

E()，E(X)=1/，Var(X)=1/2.隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)=P{X≤x},-∞<x<∞(1).a<b,總有F(a)≤F(b)(單調(diào)非減性)；(2).xR，總有0≤F(x)≤1(有界性)，且離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)若X是離散型隨機(jī)變量，概率分布為如果g(x1),g(x2),…,g(xk),…

中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)合并即可得到一串互不相同的y1,y2,…,

yi

,…

(不妨認(rèn)為從小到大).

把yi

所對應(yīng)的所有xk(即yi

=g(xk))的

pk值相加，記成qi

,則q1,

q2,

…,

qi

,…就是Y=g(X)的概率分布。

§2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布其中

x=h(y)是

y=g(x)的反函數(shù)，定理:設(shè)

X是一個(gè)取值于區(qū)間[a,b],密度為

fX

(x),若y=g(x)處處可導(dǎo)且嚴(yán)格單調(diào),記

(α,

β)為g(x)的值域，則Y=g(X)的概率密度為方法：把事件{g(X)≤y}轉(zhuǎn)化為X在一定范圍內(nèi)取值{X∈G}的形式，然后利用X

的分布求P{g(X)≤y}.

第三章隨機(jī)向量二維隨機(jī)向量及其分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量邊緣分布隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量函數(shù)的分布§3.1二維隨機(jī)向量及其分布函數(shù)二維隨機(jī)向量(X,Y)的(聯(lián)合)分布函數(shù)定義為

P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-

F(x1,y2)+F(x1,y1).(1).F(x,y)是變量x,y的非減函數(shù)；即

yR

給定，當(dāng)x1<x2時(shí)，

F(x1,y)≤F(x2,y).

同樣,xR

給定，當(dāng)y1≤y2時(shí),

F(x,y1)≤F(x,y2).(2).x,yR,有0≤F(x,y)≤1.

(3).yR,F(-∞,y)=0，

xR,F(x,-∞)=0，

F(-∞,-∞)=0，F(xiàn)(∞,∞)=1.二維分布函數(shù)F(x,y)的基本性質(zhì)§3.2二維離散型隨機(jī)向量聯(lián)合概率分布

聯(lián)合分布函數(shù)§3.3

二維連續(xù)型隨機(jī)向量二維連續(xù)型隨機(jī)向量(X,Y)的概率密度:均勻分布§3.4邊緣分布邊緣分布函數(shù)FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞),FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y).離散型隨機(jī)向量的邊緣概率分布連續(xù)型隨機(jī)向量的邊緣概率密度§3.6隨機(jī)變量的獨(dú)立性X與Y相互獨(dú)立：離散型隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立的條件連續(xù)型隨機(jī)向量

X與Y相互獨(dú)立的條件1.Z=X+Y§3.7隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.M=max(X,Y)，N=min(X,Y)若X，Y

相互獨(dú)立，則

FM(z)=FX(z)FY(z)，

FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z).第四章數(shù)字特征期望方差協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)§4.1數(shù)學(xué)期望期望的性質(zhì)

(1).設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;(4).設(shè)X,Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y);

(2).若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);

(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);推廣：推廣：(諸Xi獨(dú)立時(shí))方差的定義

§4.2方差計(jì)算方差的一個(gè)簡化公式Var(X)=E(X2)-[E(X)]2.

方差的性質(zhì)

(1).設(shè)C是常數(shù),則Var(C)=0;(2).若C是常數(shù),則Var(CX)=C2Var(X);(3).若X1與X2

獨(dú)立，則

Var(X1±X2)=Var(X1)+Var(X2);可推廣為：若X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則(3).Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)；(1).Cov(X,Y)=Cov(Y,X)；(2).設(shè)a,b,c,d

是常數(shù)，則

Cov(aX+b,

cY+d

)=ac

Cov(X,Y)；(4).Cov(X,Y)=E(XY)-[E(X)][E(Y)]，(5).Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y).當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)=0；Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}協(xié)方差定義§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)。定義2:

設(shè)Var(X)>0,Var(Y)>0,則稱特別的，當(dāng)ρXY=0時(shí)，稱X與Y不相關(guān)。相關(guān)系數(shù)性質(zhì)(2).X和Y獨(dú)立時(shí),ρ=0，但其逆不真；存在常數(shù)a,b(b≠0),