浙工大概率論總復習(楊愛軍)

概率論總復習主講教師：楊愛軍浙江工業(yè)大學第一章隨機事件基本概念事件的概率古典概型條件概率事件的獨立性§1.1基本概念1.

隨機試驗2.

樣本空間、樣本點3.隨機事件基本事件、必然事件、不可能事件

4.事件的關系：包含、和(并)、積(交)、差

交換律:A∪B=B∪A，AB=BA；結合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，

A(BC)=(AB)C；分配律:A(B∪C)=AB∪AC，

A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)；對偶律:5.事件的運算法則(與集合運算法則相同)(2)

若事件

A1,A2,…,An

兩兩互斥，則有：

P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+…+P(An)；(4)對兩個事件A和B，若AB,則有

P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)≥P(A);(3)對任一事件A,均有(5)對任意兩個事件A,B，有(1)

P(?)=0,

P(A)≥0,

P(Ω)=1

；§1.2事件的概率§1.3古典概率模型古典概率模型中事件概率求法經典模型方法總結1.設一批產品共N件，其中有M件次品，從這批產品中一次性抽取n件樣品，則樣品中恰有m件次品的概率為設一批產品共N件，其中有M件次品，從這批產品中隨機抽取n件樣品(一件一件的取)，則樣品中恰有m件次品的概率為

條件概率的概念§1.4條件概率乘法公式若P(B)>0,則P(AB)=P(B)P(A|B),

若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A),

當P(A1A2…An-1)>0時，有

P(A1A2…An)

=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1).全概率公式其中A1,A2,…,An為Ω的一個劃分，且P(Ai)>0,i=1,2,…,n.

§1.5事件的獨立性兩事件A,B相互獨立P(AB)=P(A)P(B)當P(A)>0,P(B)>0時,若A、B互斥，則A與B不獨立；若A、B獨立,則A與B不互斥。Φ與任何事件A都既獨立又互斥；Ω與任何事件都獨立。定理：若事件A,B獨立，則

也相互獨立。

n個獨立事件并的概率公式:第二章隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量隨機變量函數的分布

離散型隨機變量的概率分布其中p1,p2,…滿足§2.2離散型隨機變量常見離散型隨機變量的概率分布

1.

X

～B(1,p),P{X=1}=p,P{X=0}=

1-p，E(X)=p，Var(X)=p(1-p).

2.X～B(n,p)，E(X)=np,

Var(X)=p(1-p)，

3.X～P()，E(X)=Var(X)=，§2.3

連續(xù)型隨機變量概率密度函數f(x):密度函數的性質常見的連續(xù)型隨機變量1.X

～

N(μ,σ2)，E(X)=μ,Var(X)=σ2.2.X~U[a,b]，E(X)=(a+b)/2，Var(X)=(b-a)2/12.

3.X

～

E()，E(X)=1/，Var(X)=1/2.隨機變量的分布函數F(x)=P{X≤x},-∞<x<∞(1).a<b,總有F(a)≤F(b)(單調非減性)；(2).xR，總有0≤F(x)≤1(有界性)，且離散型隨機變量的分布函數連續(xù)型隨機變量的分布函數若X是離散型隨機變量，概率分布為如果g(x1),g(x2),…,g(xk),…

中有一些是相同的，把它們作適當合并即可得到一串互不相同的y1,y2,…,

yi

,…

(不妨認為從小到大).

把yi

所對應的所有xk(即yi

=g(xk))的

pk值相加，記成qi

,則q1,

q2,

…,

qi

,…就是Y=g(X)的概率分布。

§2.4隨機變量函數的分布離散型隨機變量函數的分布連續(xù)型隨機變量函數的分布其中

x=h(y)是

y=g(x)的反函數，定理:設

X是一個取值于區(qū)間[a,b],密度為

fX

(x),若y=g(x)處處可導且嚴格單調,記

(α,

β)為g(x)的值域，則Y=g(X)的概率密度為方法：把事件{g(X)≤y}轉化為X在一定范圍內取值{X∈G}的形式，然后利用X

的分布求P{g(X)≤y}.

第三章隨機向量二維隨機向量及其分布函數二維離散型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量邊緣分布隨機變量的獨立性隨機變量函數的分布§3.1二維隨機向量及其分布函數二維隨機向量(X,Y)的(聯合)分布函數定義為

P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-

F(x1,y2)+F(x1,y1).(1).F(x,y)是變量x,y的非減函數；即

yR

給定，當x1<x2時，

F(x1,y)≤F(x2,y).

同樣,xR

給定，當y1≤y2時,

F(x,y1)≤F(x,y2).(2).x,yR,有0≤F(x,y)≤1.

(3).yR,F(-∞,y)=0，

xR,F(x,-∞)=0，

F(-∞,-∞)=0，F(∞,∞)=1.二維分布函數F(x,y)的基本性質§3.2二維離散型隨機向量聯合概率分布

聯合分布函數§3.3

二維連續(xù)型隨機向量二維連續(xù)型隨機向量(X,Y)的概率密度:均勻分布§3.4邊緣分布邊緣分布函數FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<∞}=F(x,∞),FY(y)=P{Y≤y}=P{X<∞,Y≤y}=F(∞,y).離散型隨機向量的邊緣概率分布連續(xù)型隨機向量的邊緣概率密度§3.6隨機變量的獨立性X與Y相互獨立：離散型隨機變量X和Y相互獨立的條件連續(xù)型隨機向量

X與Y相互獨立的條件1.Z=X+Y§3.7隨機變量函數的分布2.M=max(X,Y)，N=min(X,Y)若X，Y

相互獨立，則

FM(z)=FX(z)FY(z)，

FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=FX(z)+FY(z)-FX(z)FY(z).第四章數字特征期望方差協(xié)方差與相關系數§4.1數學期望期望的性質

(1).設C是常數，則E(C)=C;(4).設X,Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y);

(2).若k是常數，則E(kX)=kE(X);

(3).E(X+Y)=E(X)+E(Y);推廣：推廣：(諸Xi獨立時)方差的定義

§4.2方差計算方差的一個簡化公式Var(X)=E(X2)-[E(X)]2.

方差的性質

(1).設C是常數,則Var(C)=0;(2).若C是常數,則Var(CX)=C2Var(X);(3).若X1與X2

獨立，則

Var(X1±X2)=Var(X1)+Var(X2);可推廣為：若X1,X2,…,Xn相互獨立，則(3).Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)；(1).Cov(X,Y)=Cov(Y,X)；(2).設a,b,c,d

是常數，則

Cov(aX+b,

cY+d

)=ac

Cov(X,Y)；(4).Cov(X,Y)=E(XY)-[E(X)][E(Y)]，(5).Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y).當X和Y相互獨立時，Cov(X,Y)=0；Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}協(xié)方差定義§4.3協(xié)方差與相關系數相關系數為隨機變量X和Y的相關系數。定義2:

設Var(X)>0,Var(Y)>0,則稱特別的，當ρXY=0時，稱X與Y不相關。相關系數性質(2).X和Y獨立時,ρ=0，但其逆不真；存在常數a,b(b≠0),