2021版高考文科數(shù)學(xué)(北師大版)一輪復(fù)習(xí)高效演練分層突破第二章第9講函數(shù)模型及其應(yīng)用Word版解析版

[基礎(chǔ)題組練

]1．某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個(gè)月銷售

100臺，第二個(gè)月銷售

200臺，第三個(gè)月銷售400臺，第四個(gè)月銷售

790臺，則以下函數(shù)模型中能較好地反響銷量

y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是

(

)A．y＝100x

B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2xD．y＝100log2x＋100分析：選C.依據(jù)函數(shù)模型的增添差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型

，代入數(shù)據(jù)考據(jù)即可得．應(yīng)選

C.2．已知正方形ABCDP運(yùn)動(dòng)的行程為x，△ABP

的邊長為的面積為

4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是(

BCDA)

向

A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)分析：選D.依題意知當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)＝2x；當(dāng)4<x≤8時(shí)，f(x)＝8；當(dāng)8<x≤12時(shí)，f(x)＝24－2x，觀察四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)吻合要求．3．成都市某物流公司為了配合“北改”項(xiàng)目順利進(jìn)行，決定把三環(huán)內(nèi)的租用庫房搬家到北三環(huán)外重新租地建設(shè)．已知庫房每個(gè)月占用費(fèi)y1與庫房到車站的距離成反比，而每個(gè)月車載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與庫房到車站的距離成正比．據(jù)測算，假如在距離車站10千米處建庫房，這兩項(xiàng)花費(fèi)y1，y2分別是2萬元和8萬元，那么要使這兩項(xiàng)花費(fèi)之和最小，庫房應(yīng)建在離車站()A．5千米處B．4千米處C．3千米處D．2千米處分析：選A.設(shè)庫房應(yīng)建在離車站x千米處．由于庫房每個(gè)月占用費(fèi)y1與庫房到車站的距離成反比，所以令反比率系數(shù)為m(m>0)，則y1m1m＝2，所以m＝20.＝x.當(dāng)x＝10時(shí)，y＝10由于每個(gè)月車載貨物的運(yùn)費(fèi)y2與庫房到車站的距離成正比，所以令正比率系數(shù)為n(n>0)，則4204xy2＝nx.當(dāng)x＝10時(shí)，y2＝10n＝8，所以n＝5.所以兩項(xiàng)花費(fèi)之和為y＝y(tǒng)1＋y2＝x＋5≥2204x204x，倉x·＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝5時(shí)取等號．所以要使這兩項(xiàng)花費(fèi)之和最小5x5庫應(yīng)建在離車站5千米處．應(yīng)選A.4．某高校為提高科研能力，計(jì)劃逐年加大科研經(jīng)費(fèi)投入．若該高校2017年整年投入科研經(jīng)費(fèi)1300萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的科研經(jīng)費(fèi)比上一年增添12%，則該高校整年投入的科研經(jīng)費(fèi)開始超出2000萬元的年份是(參照數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年分析：選B.若2018年是第一年，則第n年科研費(fèi)為1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg1.3＋nlg1.12>lg2，得n×0.05>0.19，n>3.8，n≥4，即4年后，到2021年科研經(jīng)費(fèi)超出2000萬元．應(yīng)選B.5．(2019高·考北京卷)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足5E1mk的星的亮度為Ek(k＝1，2)．已知太陽的m2－m1＝lg，此中星等為2E2星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1D.10－10.1分析：選A.依據(jù)題意，設(shè)太陽的星等與亮度分別為m1與E1，天狼星的星等與亮度分別為m2與E2，則由已知條件可知m1＝－26.7，m2＝－1.45，依據(jù)兩顆星的星等與亮度滿足m25E5EE1－m1＝lg1，把m1與m2的值分別代入上式得，－1.45－(－26.7)＝lg1，得lgE22E2＝10.1，2E2所以E1＝1010.1，應(yīng)選A.E26．某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的狀況．加油時(shí)間加油量(升)加油時(shí)的累計(jì)里程(千米)2019年5月1日12350002019年5月15日4835600注：“累計(jì)里程”指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的行程．在這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米均勻耗油量為升．分析：由于每次都把油箱加滿，第二次加了48升油，說明這段時(shí)間總耗油量為48升，而行駛的行程為35600－35000＝600(千米)，故每100千米均勻耗油量為48÷6＝8(升)．答案：87．李冶(1192－1279)，真定欒城(今河北省石家莊市)人，金元時(shí)期的數(shù)學(xué)家、詩人，晚年在封龍山隱居講學(xué)，數(shù)學(xué)著作多部，此中《益古演段》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑、正方形的邊長等．此中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內(nèi)部有一個(gè)圓形水池，此中水池的邊沿與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的近來距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是步、步．(注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計(jì)算)分析：設(shè)圓池的半徑為r步，則方田的邊長為(2r＋40)步，由題意，得(2r＋40)2－3r2＝13.75×240，解得r＝10或r＝－170(舍)，所以圓池的直徑為20步，方田的邊長為60步．答案：20608．一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，其他每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增添投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N＋)件．當(dāng)x≤20時(shí)，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當(dāng)x＞20時(shí)，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這類產(chǎn)品所得的年收益為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為____________，該工廠的年產(chǎn)量為________件時(shí)，所得年收益最大(年收益＝年銷售總收入－年總投資)．分析：當(dāng)0<x≤20時(shí)，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當(dāng)x＞20時(shí)，y＝260100－x＝160－x.x2＋32x－100，0<x≤20，故y＝(x∈N＋)．160－x，x＞20當(dāng)0<x≤20時(shí)，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16時(shí)，ymax＝156.而當(dāng)x＞20時(shí)，160－x<140，故當(dāng)x＝16時(shí)獲得最大年收益．x2＋32x－100，0<x≤20，答案：y＝(x∈N＋)16160－x，x＞209.以以下圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，此中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上．(1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的分析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值．解：(1)作PQ⊥AF于點(diǎn)Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，在△EDF中，EQ＝EF，所以x－441PQFD＝，所以y＝－x＋10，定義域?yàn)閧x|4≤x≤8}．8－y22(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S，則S(x)＝xy＝x10－x21x＝10，＝－(x－10)2＋50，所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其張口向下，對稱軸為2所以當(dāng)x∈[4，8]時(shí)，S(x)是增添的，所以當(dāng)x＝8時(shí)，矩形BNPM面積獲得最大值48平方米．10．某公司對營銷人員有以下規(guī)定：①年銷售額x(單位：萬元)在8萬元以下，沒有獎(jiǎng)金；②年銷售額x(單位：萬元)，x∈[8，64]時(shí)，獎(jiǎng)金為y萬元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年銷售額越大，獎(jiǎng)金越多；③年銷售額超出64萬元，按年銷售額的10%發(fā)獎(jiǎng)金．(1)求獎(jiǎng)金y關(guān)于x的函數(shù)分析式；(2)若某營銷人員爭取獎(jiǎng)金y∈[4，10](單位：萬元)，則年銷售額x(單位：萬元)在什么范圍內(nèi)？log8＝3，解：(1)依題意，y＝logax在x∈[8，64]上為增函數(shù)，所以a解得a＝2，所以log64＝6，a0，0≤x<8，log2x，8≤x≤64，y＝110x，x>64.(2)易知x≥8，當(dāng)8≤x≤64時(shí)，要使y∈[4，10]，則4≤log2x≤10，解得16≤x≤1024，所以16≤x≤64；當(dāng)x>64時(shí)，要使y∈[4，10]，則40≤x≤100，所以64<x≤100.綜上所述，當(dāng)年銷售額x∈[16，100]時(shí)，獎(jiǎng)金y∈[4，10]．[綜合題組練]1．(創(chuàng)新式)我們定義函數(shù)y＝[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))為“下整函數(shù)”；定義y＝{x}({x}表示不小于x的最小整數(shù))為“上整函數(shù)”；比方[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某泊車場收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每小時(shí)2元，即不超出1小時(shí)(包含1小時(shí))收費(fèi)2元，超出一小時(shí)，不超出2小時(shí)(包含2小時(shí))收費(fèi)4元，以此類推．若李剛泊車時(shí)間為x小時(shí)，則李剛對付費(fèi)為(單位：元)()A．2[x＋1]C．2{x}

B．2([x]＋1)D．{2x}分析：選C.如x＝1時(shí)，對付費(fèi)2元，此時(shí)2[x＋1]＝4，2([x]＋1)＝4，消除A，B；當(dāng)x＝0.5時(shí)，付費(fèi)為2元，此時(shí){2x}＝1，消除D，應(yīng)選C.2．一個(gè)容器裝有細(xì)沙acm3，細(xì)沙沉著器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，tmin后節(jié)余的細(xì)沙量為y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過8min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一．分析：當(dāng)t＝0時(shí)，y＝a；當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝1a，故e－8b＝1.22當(dāng)容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)－bt1－bt1－b－24b，，即y＝ae＝a，e＝＝(e8)3＝e88則t＝24，所以再經(jīng)過16min容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一．答案：163．某旅行景點(diǎn)估計(jì)2019年1月份起前x個(gè)月的旅行人數(shù)的和p(x)(單位：萬人)與x的關(guān)系近似為p(x)＝1x(x＋1)·(39－2x)(x∈N＋，且x≤12)．已知第x個(gè)月的人均花費(fèi)額q(x)(單235－2x，x∈N＋，且1≤x≤6，位：元)與x的近似關(guān)系是q(x)＝160，x∈N＋且7≤x≤12.x(1)寫出2019年第x個(gè)月的旅行人數(shù)f(x)(單位：萬人)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試問2019年第幾個(gè)月的旅行花費(fèi)總數(shù)最大？最大月旅行花費(fèi)總數(shù)為多少元？1解：(1)當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝p(1)＝37，當(dāng)2≤x≤12，且x∈N＋時(shí)，f(x)＝p(x)－p(x－1)＝2x(x1)(39－2x)－1x(x－1)(41－2x)＝－3x2＋40x，經(jīng)考據(jù)x＝1時(shí)也滿足此式．2所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋，且1≤x≤12)．(2)第x(x∈N＋)個(gè)月的旅行花費(fèi)總數(shù)為g(x)＝（－3x2＋40x）（35－2x），x∈N＋，且1≤x≤6，480x＋6400，x∈N＋，且7≤x≤12.①當(dāng)1≤x≤6，且x∈N＋時(shí)，g′(x)＝18x2－370x＋1400，140令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝9(舍去)．當(dāng)1≤x≤5時(shí)，g′(x)≥0，當(dāng)5<x≤6時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)max＝g(5)＝3125；②當(dāng)7≤x≤12，且x∈N時(shí)，g(x)＝－480x＋6400是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(7)＝3040.＋綜上，2019年5月份的旅行花費(fèi)總數(shù)最大，最大月旅行花費(fèi)總數(shù)為3125萬元．4．某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲取投資收益的范圍是[10，100](單位：萬元)．現(xiàn)準(zhǔn)備擬定一個(gè)對科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：資本y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增添而增添且資本不超出5萬元，同時(shí)資本不超出投資收益的20%.(1)若建立函數(shù)模型y＝f(x)擬定獎(jiǎng)勵(lì)方案，請你依據(jù)題意，寫出獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型應(yīng)滿足的條件；1(2)現(xiàn)有兩個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型：(ⅰ)y＝20x＋1；(ⅱ)y＝log2x－2.試分析這兩個(gè)函數(shù)模型能否吻合公司要求．解：(1)設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y＝f(x)，則該函數(shù)模型滿足的條件是：①當(dāng)x∈[10，100]時(shí)，f(x)是增函數(shù)；②當(dāng)x∈[10，100]時(shí)，f(x)≤5恒建立；③當(dāng)x∈[10，100]時(shí)，f(x)≤x5恒建立．1(2)(a)關(guān)于函數(shù)模型(ⅰ)y＝20x＋1，它在[10，100]上是增函數(shù)，滿足條件①；但當(dāng)x＝80時(shí)，y＝5，所以，當(dāng)x>80時(shí)，y>5，不滿足條件②；故該函數(shù)模型不吻合公司要求．(b)關(guān)于函數(shù)模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]