高中數(shù)學(xué)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題型分類總結(jié)

天道酬勤王江編撰I(xiàn)I）因?yàn)?，是方程的根，所以，?；在處取得極大值，在處取得極小值.函數(shù)圖像與軸有3個(gè)交點(diǎn)，，12解：（Ⅰ）設(shè)其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即得∴，則有由，依題意得∴①，②由①②得故所求的解析式為：.（Ⅱ）由解得：或，∴時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；設(shè)是時(shí)，函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)，且，則有∴過(guò)這兩點(diǎn)的直線的斜率.13、解：（1）又直線（2）由（1）知，列表如下：xf′+0－0+f（x）極大值極小值所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是和14、解：（1）由得c=1 ，得∴ （2）得，時(shí)取得極值.由，得∴.，，∴當(dāng)時(shí)，，∴在上遞減.又∴函數(shù)的零點(diǎn)有且僅有1個(gè) 15、解：（I）又（II）。16、解：（Ⅰ），依題意，即解得∴（Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解。設(shè)，則，由0的或，當(dāng)時(shí)，于是在上遞增；當(dāng)時(shí)，于是在上遞減.依題意有∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.17、解：（Ⅰ）由題意：∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，數(shù)列滿足：，故，（Ⅲ）令，相減得：∴18、解：（Ⅰ），與軸交點(diǎn)為，，（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，由，得或（舍），∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。當(dāng)時(shí)，由得在上單調(diào)遞增。如圖所示，為在上的圖像?！弋?dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，由故的最大值的情形如下：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴19、解：⑴f'(x)＝3x2＋2bx＋c，由題知f'(1)＝03＋2b＋c＝0，f(1)＝－11＋b＋c＋2＝－1∴b＝1，c＝－5，f(x)＝x3＋x2－5x＋2，f'(x)＝3x2＋2x－5f(x)在[－，1]為減函數(shù)，f(x)在(1，＋∞)為增函數(shù)∴b＝1，c＝－5符合題意⑵即方程：恰有三個(gè)不同的實(shí)解：x3＋x2－5x＋2＝k(x≠0)即當(dāng)x≠0時(shí)，f(x)的圖象與直線y＝k恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，由⑴知f(x)在為增函數(shù)，f(x)在為減函數(shù)，f(x)在(1，＋∞)為增函數(shù)，又，f(1)＝－1，f(2)＝2∴且k≠2 20、解：（1）由題意當(dāng)時(shí)，取得極值，所以即此時(shí)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，是函數(shù)的最小值。（2）設(shè)，則，……8分設(shè)，，令解得或列表如下：__0+函數(shù)在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí),有極小值函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)與的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)或21、解：(1)由知，在R上單調(diào)遞增，恒成立，且，即且，．（2），由余弦定理：，，（3）在R上單調(diào)遞增，且，所以，故，即，，即，即．題型三：函數(shù)的切線問(wèn)題；問(wèn)題1：在點(diǎn)處的切線，易求；問(wèn)題2：過(guò)點(diǎn)作曲線的切線需四個(gè)步驟；第一步：設(shè)切點(diǎn)，求斜率；第二步：寫切線（一般用點(diǎn)斜式）；第三步：根據(jù)切點(diǎn)既在曲線上又在切線上得到一個(gè)三次方程；第四步：判斷三次方程根的個(gè)數(shù)；例22.已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)的的取值范圍為，求：（1）的解析式；（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例23.已知（為常數(shù)）在時(shí)取得一個(gè)極值，（1）確定實(shí)數(shù)的取值范圍，使函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)；（2）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，c）（）可作曲線的三條切線，求的取值范圍．答案：22、解：（1）由題意得：∴在上；在上；在上因此在處取得極小值∴①，②，③由①②③聯(lián)立得：，∴ （2）設(shè)切點(diǎn)Q，過(guò)令，求得：，方程有三個(gè)根。需：故：；因此所求實(shí)數(shù)的范圍為： 23、解：（1）∵函數(shù)在時(shí)取得一個(gè)極值，且，， ．或時(shí)，或時(shí)，時(shí)，， 在上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)． ∴使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)的的取值范圍是 （2）由（1）知．設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率，所以切線方程為：． 將點(diǎn)代人上述方程，整理得：． ∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，∴方程有三個(gè)不同的實(shí)根． 設(shè)，則 ，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故 得：．題型四：函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式線性規(guī)劃精彩交匯；例24.設(shè)函數(shù)，在其圖象上一點(diǎn)處的切線的斜率記為．(1)若方程有兩個(gè)實(shí)根分別為-2和4，求的表達(dá)式；(2)若在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求的最小值。例25.已知函數(shù)（1）若圖象上的是處的切線的斜率為的極大值。（2）在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求的最小值。例26.已知函數(shù)（，，且）的圖象在處的切線與軸平行.(I)試確定、的符號(hào)；(II)若函數(shù)在區(qū)間上有最大值為，試求的值.答案：n02324、解：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知由已知-2，4是方程的兩個(gè)實(shí)根由韋達(dá)定理，∴，n023（2）在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以在區(qū)間上恒有，即在區(qū)間上恒成立這只需滿足即可，也即而可視為平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方由圖知當(dāng)時(shí)，有最小值13；25、解：（1）由題意得令由此可知－13+0－0+↗極大值↘極小值－9↗時(shí)取極大值（2）上是減函數(shù)上恒成立作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)取最小值26、解：(I)由圖象在處的切線與軸平行，知，∴①…………3分又，故，.…………4分(II)令,得或……6分易證是的極大值點(diǎn)，是極小值點(diǎn)（如圖）.…………7分令，得或.…………8分分類：(I)當(dāng)時(shí)，，∴.②由①，②解得，符合前提.(II)當(dāng)時(shí)，,∴.③由①，③得.記,∵,∴在上是增函數(shù)，又，∴,∴在上無(wú)實(shí)數(shù)根.綜上，的值為.題型五：函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式數(shù)列的精彩交匯例27.已知函數(shù)滿足且有唯一解。求的表達(dá)式；（2）記，且＝，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。（３）記，數(shù)列｛｝的前ｎ項(xiàng)和為，求證例28.已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）若對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.例29.在數(shù)列中，，且已知函（）在時(shí)取得極值.學(xué)科網(wǎng)（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)；學(xué)科網(wǎng)（Ⅱ）設(shè)，且對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．學(xué)例30.已知函數(shù)，為實(shí)數(shù)）有極值，且在處的切線與直線平行.（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)的極小值為1，若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；例31.已知函數(shù)（a、c、d∈R）滿足且在R上恒成立。（1）求a、c、d的值；（2）若，解不等式；（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)在區(qū)間[m，m+2]上有最小值－5？若存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。例32.設(shè)函數(shù)（），其中（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)（2，）處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值和極小值；（3）當(dāng)時(shí)，證明存在，使得不等式對(duì)任意的恒成立。例33.已知函數(shù)為常數(shù)）（Ⅰ）若（Ⅱ）若在和處取得極值，且在時(shí)，函數(shù)的圖象在直線的下方，求的取值范圍？答案：27、解：(1)由即有唯一解又(2)由又?jǐn)?shù)列是以首項(xiàng)為，公差為(3)由=28、解：（Ⅰ），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，于是．由切點(diǎn)在直線上可得，解得．所以函數(shù)的解析式為．（Ⅱ）解：．當(dāng)時(shí)，顯然（）．這時(shí)在，上內(nèi)是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，令，解得．當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：＋0－－0＋↗極大值↘↘極小值↗所以在，內(nèi)是增函數(shù)，在，內(nèi)是減函數(shù)．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值為與的較大者，對(duì)于任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，對(duì)任意的成立．從而得，所以滿足條件的的取值范圍是．科網(wǎng)29、解：(Ⅰ)∵(1)＝0∴(an＋2－an＋1)－(3an＋1－4an)＝0即an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)又a2－2a1＝4∴數(shù)列｛an＋1－2an｝是以2為公比，以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列?！郺n＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1∴且∴數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，∴＝＋(n－1)×1＝n∴（Ⅱ）由，令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝eq\f(2,3)＋2(eq\f(2,3))2＋3(eq\f(2,3))3＋…＋n(eq\f(2,3))neq\f(2,3)Sn＝(eq\f(2,3))2＋2(eq\f(2,3))3＋…＋(n－1)(eq\f(2,3))n＋n(eq\f(2,3))n＋1得eq\f(1,3)Sn＝eq\f(2,3)＋(eq\f(2,3))2＋(eq\f(2,3))3＋…＋(eq\f(2,3))n－n(eq\f(2,3))n+1＝eq\f(eq\f(2,3)[1－(eq\f(2,3))n],1－eq\f(2,3))－n(eq\f(2,3))n+1＝2[1－(eq\f(2,3))n]－n(eq\f(2,3))n+1∴Sn＝6[1－(eq\f(2,3))n]－3n(eq\f(2,3))n+1＜要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＜m對(duì)于n∈N＊恒成立,只須，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.30、解：（1）由題意 ① ② 由①、②可得，故 （2）存在 由（1）可知， +0－0+單調(diào)增極大值單調(diào)減極小值單調(diào)增 ， . 的極小值為1.31、解：（1），，，即，從而。在R上恒成立，，即，解得。（2）由（1）知，，，∴不等式化為，即，∴（a）若，則不等式解為；（b）若，則不等式解為空集；（c）若，則不等式解為。（3）。該拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為。若，即時(shí)，在[m，m+2]上為增函數(shù)。當(dāng)時(shí)，由已知得，解得。若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，。由已知得，無(wú)解。若，即時(shí)，在[m，m+2]上為減函數(shù)。當(dāng)時(shí)，。由已知得，解得。綜上所述，存在實(shí)數(shù)或，使函數(shù)在區(qū)間[m，m+2]上有最小值－5。32、解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，得，且，．所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程是，整理得．（Ⅱ）解：．令，解得或．由于，以下分兩種