高中數(shù)學(xué)人教A版本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 省一等獎(jiǎng)2

湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2023上學(xué)期高二期中考試數(shù)學(xué)試題(文科)命題人：武漢中學(xué)張怡審題人：武漢市49中唐宗保一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)1.下列命題正確的是（）A.若一條直線平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線平行B．若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行C．若兩條直線和同一個(gè)平面所成的角相等，則這兩條直線平行D．若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行2.如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入正整數(shù)N（N≥2）和實(shí)數(shù)a1，a2，…，an，輸出A，B，則（）A．A+B為a1，a2，…，an的和B．為a1，a2，…，an的算術(shù)平均數(shù)C．A和B分別是a1，a2，…，an中最大的數(shù)和最小的數(shù)D．A和B分別是a1，a2，…，an中最小的數(shù)和最大的數(shù)3.平行于直線且與圓相切的直線方程是（）A．或B．或C．或D．或4.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，O為底面ABCD的中心，P為棱A1B1上任意一點(diǎn)，則直線OP與直線AM所成的角是（）A． B． C． D．與P點(diǎn)位置有關(guān)5.在同一坐標(biāo)系下，直線ax+by=ab和圓（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（ab≠0，r＞0）的圖象可能是（）A． B． C． D．6.在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A．2π3B.4π3C.5π7.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是（）A．2 B． C． D．38.為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入（萬元）支出（萬元）根據(jù)上表可得回歸直線方程，其中，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為()A．萬元B．萬元C．萬元D．萬元9.右邊程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．1410.如圖，矩形中，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)為．且點(diǎn)與點(diǎn)在函數(shù)的圖像上．若在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影部分的概率等于（）A．B．C．D．11.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動點(diǎn)，且A1F∥平面D1AE，則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值構(gòu)成的集合是（）A．{t|} B．{t|≤t≤2}C．{t|2}D．{t|2}12.已知△ABC的三邊分別為AB=5，BC=4，AC=3，M是AB邊上一點(diǎn)，P是平面ABC外一點(diǎn)，下列四個(gè)命題正確的是（）①若PA⊥平面ABC，則三棱錐P﹣ABC的四個(gè)面都是直角三角形；②若PM⊥平面ABC，M是AB邊上中點(diǎn)，則有PA=PB=PC；③若PC=5，PC⊥平面ABC，則△PCM面積的最小值為；④若PC=5，P在平面ABC上的射影是△ABC內(nèi)切圓的圓心，則點(diǎn)P到平面ABC是的距離為．其中正確命題的序號是A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.與直線3x+4y+5=0關(guān)于x軸對稱的直線的方程為．14.已知直線kx﹣y+1=0與圓C：x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M在圓C上，且有（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)k=．15.在棱錐P﹣ABC中，側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直，Q為底面△ABC內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)Q到三個(gè)側(cè)面的距離分別為3、4、5，則以線段PQ為直徑的球的表面積為．16.已知AC、BD為圓O：x2+y2=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），則四邊形ABCD的面積的最大值為．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.（本題滿分10分）空氣污染，又稱為大氣污染，是指由于人類活動或自然過程引起某些物質(zhì)進(jìn)入大氣中，呈現(xiàn)出足夠的濃度，達(dá)到足夠的時(shí)間，并因此危害了人體的舒適、健康和福利或環(huán)境的現(xiàn)象．全世界也越來越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問題．當(dāng)空氣污染指數(shù)（單位：μg/m3）為0～50時(shí)，空氣質(zhì)量級別為一級，空氣質(zhì)量狀況屬于優(yōu)；當(dāng)空氣污染指數(shù)為50～100時(shí)，空氣質(zhì)量級別為二級，空氣質(zhì)量狀況屬于良；當(dāng)空氣污染指數(shù)為100～150時(shí)，空氣質(zhì)量級別為三級，空氣質(zhì)量狀況屬于輕度污染；當(dāng)空氣污染指數(shù)為150～200時(shí)，空氣質(zhì)量級別為四級，空氣質(zhì)量狀況屬于中度污染；當(dāng)空氣污染指數(shù)為200～300時(shí)，空氣質(zhì)量級別為五級，空氣質(zhì)量狀況屬于重度污染；當(dāng)空氣污染指數(shù)為300以上時(shí)，空氣質(zhì)量級別為六級，空氣質(zhì)量狀況屬于嚴(yán)重污染．2023年8月某日某省x個(gè)監(jiān)測點(diǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：空氣污染指數(shù)（單位：μg/m3）[0，50]（50，100]（100，150][（150，200]監(jiān)測點(diǎn)個(gè)數(shù)1540y10（Ⅰ）根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出x，y的值，并完成頻率分布直方圖；（Ⅱ）在空氣污染指數(shù)分別為50～100和150～200的監(jiān)測點(diǎn)中，用分層抽樣的方法抽取5個(gè)監(jiān)測點(diǎn)，從中任意選取2個(gè)監(jiān)測點(diǎn)，事件A“兩個(gè)都為良”發(fā)生的概率是多少？18.（本題滿分12分）如圖，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC中點(diǎn)，AA1=AB=a．（Ⅰ）求證：AD⊥B1D；（Ⅱ）求證：A1C∥平面AB1D；（Ⅲ）求三棱錐C﹣AB1D的體積．19.（本題滿分12分）是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095﹣2023，日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)．從某自然保護(hù)區(qū)2023年全年每天的監(jiān)測值數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取12天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如莖葉圖所示（十位為莖，個(gè)位為葉）：（I）求空氣質(zhì)量為超標(biāo)的數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差；（II）從空氣質(zhì)量為二級的數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，求這2個(gè)數(shù)據(jù)的和小于100的概率；（III）以這12天的日均值來估計(jì)2023年的空氣質(zhì)量情況，估計(jì)2023年（366天）大約有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級．20.（本題滿分12分）已知矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)P（2，0），邊AB所在直線的方程為x﹣3y﹣6=0，點(diǎn)（﹣1，1）在邊AD所在的直線上．（1）求矩形ABCD的外接圓的方程；（2）已知直線l：（1﹣2k）x+（1+k）y﹣5+4k=0（k∈R），求證：直線l與矩形ABCD的外接圓恒相交，并求出相交的弦長最短時(shí)的直線l的方程．21.（本題滿分12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC，F(xiàn)是PB的中點(diǎn)．（1）求證：DF⊥AP；（2）在線段AD上是否存在點(diǎn)G，使GF⊥平面PBC？若存在，說明點(diǎn)G的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．22.（本題滿分12分）已知圓O：x2+y2=4內(nèi)一點(diǎn)P（0，1），過點(diǎn)P的直線l交圓O于A，B兩點(diǎn)，且滿足（λ為參數(shù)）．（1）若，求直線l的方程；（2）若λ=2，求直線l的方程；湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2023學(xué)年度上學(xué)期高二期中考試文科數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題(每小題5分,共60分)題號題號123456789101112答案ACDCDCDABBDB二、填空題(每小題5分,共20分)13.3x﹣4y+5=014.015.50π16.5三、解答題（共70分）17解：（Ⅰ）∵，∵15+40+y+10=100，∴y=35…（2分）∴，，頻率分布直方圖如圖所示…（5分）（Ⅱ）在空氣污染指數(shù)為50～100和150～200的監(jiān)測點(diǎn)中分別抽取4個(gè)和1個(gè)監(jiān)測點(diǎn)．設(shè)空氣污染指數(shù)為50～100的4個(gè)監(jiān)測點(diǎn)分別記為a，b，c，d；空氣污染指數(shù)為150～200的1個(gè)監(jiān)測點(diǎn)記為E．從中任取2個(gè)的基本事件分別為（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（b，c），（b，d），（b，E），（c，d），（c，E），（d，E）共10種，…（7分）其中事件A“兩個(gè)都為良”包含的基本事件為（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6種，…（9分）所以事件A“兩個(gè)都為良”發(fā)生的概率是．…（10分）18（Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1正三棱柱，D是BC中點(diǎn)∴BB1⊥AD，BC⊥AD∵BB1∩BC=B，∴AD⊥面BB1D，∴AD⊥B1D（Ⅱ）證明：取C1B1的中點(diǎn)E，連接A1E，ED，則四邊形B1DCE為平行四邊形，于是有B1D∥EC，又A1E∥AD，B1D∩AD=D，A1E∩EC=E，∴平面A1EC∥平面AB1D，A1C?平面A1EC，∴A1C∥平面AB1D．（Ⅲ）解：由圖知，AA1=AB=a∴=S△ADCBB1=．19解：（I）空氣質(zhì)量為超標(biāo)的數(shù)據(jù)有四個(gè)：77，79，84，88平均數(shù)為（2分）方差為（4分）（II）空氣質(zhì)量為二級的數(shù)據(jù)有五個(gè)：47，50，53，57，68任取兩個(gè)有十種可能結(jié)果：{47，50}，{47，53}，{47，57}，{47，68}，{50，53}，{50，57}，{50，68}，{53，57}，{53，68}，{57，68}．兩個(gè)數(shù)據(jù)和小于100的結(jié)果有一種：{47，50}．記“兩個(gè)數(shù)據(jù)和小于100”為事件A，則即從空氣質(zhì)量為二級的數(shù)據(jù)中任取2個(gè)，這2個(gè)數(shù)據(jù)和小于100的概率為（8分）（III）空氣質(zhì)量為一級或二級的數(shù)據(jù)共8個(gè)，所以空氣質(zhì)量為一級或二級的頻率為（10分），所以2023年的366天中空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級的天數(shù)估計(jì)為244天．（12分）20解：（1）由lAB：x﹣3y﹣6=0且AD⊥AB，點(diǎn)（﹣1，1）在邊AD所在的直線上∴AD所在直線的方程是：y﹣1=﹣3（x+1）即3x+y+2=0由得A（0，﹣2）…（3分）∴|AP|==2，∴矩形ABCD的外接圓的方程是：（x﹣2）2+y2=8…（6分）（2）直線l的方程可化為：k（﹣2x+y+4）+x+y﹣5=0l可看作是過直線﹣2x+y+4=0和x+y﹣5=0的交點(diǎn)（3，2）的直線系，即l恒過定點(diǎn)Q（3，2）由于（3﹣2）2+22=5＜8知點(diǎn)在圓內(nèi)，∴直線與圓恒有交點(diǎn)，設(shè)PQ與l的夾角為θ，則d=|PQ|sinθ=sinθ，當(dāng)θ=90°時(shí)，d最大，|MN|最短，此時(shí)l的斜率為PQ斜率的負(fù)倒數(shù)﹣，∴l(xiāng)：y﹣2=﹣（x﹣3），即x+2y﹣7=021.證明：（1）取AB中點(diǎn)E，連接EF，DE∵E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)，∴EF∥AP，∴AP和DF所成的角即為EF和DF所成的角，即∠DFE或其補(bǔ)角；由已知四邊形ABCD是正方形，假設(shè)PD=DC=a，則有∴cos∠DFE==0，∴DF⊥EF，∴DF⊥AP．（2）解：G是AD的中點(diǎn)時(shí)，GF⊥平面PCB．證明如下：取PC中點(diǎn)H，連接DH，HF．∵PD=DC，∴DH⊥PC．又∵BC⊥平面PDC，∴DH⊥BC，∵DH⊥PC，DH⊥BC，PC∩BC=C，PC，BC?平面PBC∴DH⊥平面PCB．∵，∴HFGD，∴四邊形DGFH為平行四邊形，DH∥GF，∴GF⊥平面PCB．22.解：（I）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，|AB|=4，不滿足條件．故可設(shè)所求直線l的方