高中數(shù)學人教A版第一章空間幾何體學業(yè)分層測評5

學業(yè)分層測評(五)(建議用時：45分鐘)[達標必做]一、選擇題1．圓臺OO′的母線長為6，兩底面半徑分別為2,7，則圓臺OO′的側(cè)面積是()A．54π B．8πC．4π D．16π【解析】S圓臺側(cè)＝π(r＋r′)l＝π(7＋2)×6＝54π.【答案】A2．(2023·煙臺高一檢測)如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于()A．π B．2πC．4π D．8π【解析】設(shè)軸截面正方形的邊長為a，由題意知S側(cè)＝πa·a＝πa2.又∵S側(cè)＝4π，∴a＝2.∴V圓柱＝π×2＝2π.【答案】B3．如圖1-3-7，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為eq\f(1,2)，則該幾何體的俯視圖可以是()圖1-3-7【解析】由三視圖的概念可知，此幾何體高為1，其體積V＝Sh＝S＝eq\f(1,2)，即底面積S＝eq\f(1,2)，結(jié)合選項可知，俯視圖為三角形．【答案】C4．(2023·天津高一檢測)一個四棱錐的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，其正(主)視圖如圖1-3-8所示，該四棱錐的側(cè)面積和體積分別是()圖1-3-8A．4eq\r(5)，8 B．4eq\r(5)，eq\f(8,3)C．4(eq\r(5)＋1)，eq\f(8,3) D．8,8【解析】由題圖知，此棱錐高為2，底面正方形的邊長為2，V＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3)，側(cè)面三角形的高h＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，S側(cè)＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(5)))＝4eq\r(5).【答案】B5．(2023·安徽高考)一個四面體的三視圖如圖1-3-9所示，則該四面體的表面積是()圖1-3-9A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體如圖所示，其中側(cè)面ABD⊥底面BCD，另兩個側(cè)面ABC，ACD為等邊三角形，則有S表面積＝2×eq\f(1,2)×2×1＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3).故選B.【答案】B二、填空題6．一個棱柱的側(cè)面展開圖是三個全等的矩形，矩形的長和寬分別為6cm,4cm，則該棱柱的側(cè)面積為________cm2.【導(dǎo)學號：09960026】【解析】棱柱的側(cè)面積S側(cè)＝3×6×4＝72(cm2)．【答案】727．(2023·天津高考)一個幾何體的三視圖如圖1-3-10所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3.圖1-3-10【解析】由幾何體的三視圖可知該幾何體由兩個圓錐和一個圓柱構(gòu)成，其中圓錐的底面半徑和高均為1，圓柱的底面半徑為1且其高為2，故所求幾何體的體積為V＝eq\f(1,3)π×12×1×2＋π×12×2＝eq\f(8,3)π.【答案】eq\f(8,3)π三、解答題8．一個三棱柱的底面是邊長為3的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖如圖1-3-11所示，AA1＝3.(1)請畫出它的直觀圖；(2)求這個三棱柱的表面積和體積．圖1-3-11【解】(1)直觀圖如圖所示．(2)由題意可知，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4).S側(cè)＝3×AC×AA1＝3×3×3＝27.故這個三棱柱的表面積為27＋2×eq\f(9\r(3),4)＝27＋eq\f(9\r(3),2).這個三棱柱的體積為eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(27\r(3),4).9．已知圓臺的高為3，在軸截面中，母線AA1與底面圓直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對角線垂直于腰，求圓臺的體積.【導(dǎo)學號：09960027】【解】如圖所示，作軸截面A1ABB1，設(shè)圓臺的上、下底面半徑和母線長分別為r、R，l，高為h.作A1D⊥AB于點D，則A1D＝3.又∵∠A1AB＝60°，∴AD＝eq\f(A1D,tan60°)，即R－r＝3×eq\f(\r(3),3)，∴R－r＝eq\r(3).又∵∠BA1A＝90°，∴∠BA1D∴BD＝A1D·tan60°，即R＋r＝3×eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，而h＝3，∴V圓臺＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]＝21π.所以圓臺的體積為21π.[自我挑戰(zhàn)]10．(2023·蚌埠市高二檢測)圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，則圓錐的表面積是________.【導(dǎo)學號：09960028】【解析】因為圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°、半徑為2的扇形，所以圓錐的側(cè)面積等于扇形的面積＝eq\f(120×π×22,360)＝eq\f(4,3)π，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，因為扇形的弧長為eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π，所以2πr＝eq\f(4,3)π，所以r＝eq\f(2,3)，所以底面圓的面積為eq\f(4,9)π.所以圓錐的表面積為eq\f(16,9)π.【答案】eq\f(16,9)π11．若E，F(xiàn)是三棱柱ABC-A1B1C1側(cè)棱BB1和CC1上的點，且B1E＝CF，三棱柱的體積為m，求四棱錐A-BEFC【解】如圖所示，連接AB1，AC1.∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面積等于梯形B1EFC1的面積．又四棱錐A-BEFC的高與四棱錐A-B1EFC1的高相等，∴VA-BEFC＝VA-B1EFC1＝eq\f(1,2)VA-BB1C1C，又VA-A1B1C1＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·h，VABC-A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝∴V