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文檔簡介
一、填空題1.已知a,b都是正數(shù),如果ab=1,那么a+b的最小值為__________.2.設(shè)a,b是實數(shù),且a+b=3,則2a+2b的最小值是__________.3.函數(shù)f(x)=eq\f(\r(x),x+1)的最大值為__________.4.函數(shù)y=eq\f(x2+7x+10,x+1)(x>-1)的最小值是__________.5.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2+x+1),x>0,,ex-\f(3,4),x≤0,))則f(x)的值域為__________.6.已知x>0,y>0,且eq\f(2,x)+eq\f(1,y)=4,則x+2y的最小值是__________.7.已知兩個正實數(shù)x,y使x+y=4,則使不等式eq\f(1,x)+eq\f(4,y)≥m恒成立的實數(shù)m的取值范圍是____________.8.設(shè)a,b,c都是正數(shù),且ab-4a-b=0,則使a+b-c≥0恒成立的c的取值范圍是__________.9.已知函數(shù)f(x)=eq\f(x2+ax+11,x+1)(a∈R),若對于任意x∈N+,f(x)≥3恒成立,則a的最小值是__________.10.已知正數(shù)a,b,c滿足3a-b+2c=0,則eq\f(\r(ac),b)的最大值為________.二、解答題11.(1)若x>1,求x+eq\f(4,x-1)的最小值;(2)若x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求xy的最小值.函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點A.(1)求點A的坐標;(2)若點A在直線mx+ny+1=0上,其中m,n都是正數(shù),求eq\f(1,m)+eq\f(2,n)的最小值.
13.某地政府決定建造一批保障房供給社會,緩解貧困人口的住房問題,計劃用1600萬元購得一塊土地,在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū),每幢樓的樓層數(shù)相同,且每層建筑面積均為1000平方米,每平方米的建筑費用與樓層有關(guān),第x層樓房每平方米的建筑費用為(kx+800)元(其中k為常數(shù)).經(jīng)測算,若每幢樓為5層,則該小區(qū)每平方米的平均綜合費用為1270元.注:每平方米平均綜合費用=eq\f(購地費用+所有建筑費用,所有建筑面積).(1)求k的值;(2)問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費用最低,應(yīng)將這10幢樓房建成多少層?此時每平方米的平均綜合費用為多少元?1.2解析:∵a,b都是正數(shù),∴eq\f(a+b,2)≥eq\r(ab),∴a+b≥2eq\r(ab)=2,等號僅當a=b=1時成立.2.4eq\r(2)解析:2a+2b≥2eq\r(2a·2b)=2eq\r(2a+b)=2eq\r(23)=4eq\r(2),等號僅當2a=2b,即a=b=eq\f(3,2)時成立.3.eq\f(1,2)解析:當x=0時,f(0)=0;當x>0時,x+1≥2eq\r(x)>0,∴f(x)≤eq\f(\r(x),2\r(x))=eq\f(1,2),等號僅當x=1時成立.4.9解析:∵x>-1,∴x+1>0.∴y=eq\f(x2+7x+10,x+1)=(x+1)+eq\f(4,x+1)+5≥2eq\r((x+1)·\f(4,x+1))+5=9,等號僅當x+1=eq\f(4,x+1),即x=1時成立.∴當x=1時,函數(shù)y=eq\f(x2+7x+10,x+1)(x>-1)取得最小值為9.5.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(3,4),\f(1,3)))解析:當x≤0時,f(x)=ex-eq\f(3,4)≤e0-eq\f(3,4)=eq\f(1,4),且f(x)>-eq\f(3,4),即x≤0時,-eq\f(3,4)<f(x)≤eq\f(1,4);當x>0時,f(x)=eq\f(x,x2+x+1)=eq\f(1,x+\f(1,x)+1)≤eq\f(1,3),且f(x)>0,即當x>0時,0<f(x)≤eq\f(1,3).所以f(x)的值域為(-eq\f(3,4),eq\f(1,4)]∪(0,eq\f(1,3)]=(-eq\f(3,4),eq\f(1,3)].6.2解析:x+2y=eq\f(1,4)(x+2y)(eq\f(2,x)+eq\f(1,y))=eq\f(1,4)(eq\f(4y,x)+eq\f(x,y)+4)≥eq\f(1,4)(4+4)=2,等號僅當eq\f(4y,x)=eq\f(x,y),即x=1,y=eq\f(1,2)時成立.7.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(9,4)))解析:∵eq\f(1,x)+eq\f(4,y)=eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)+\f(4,y)))(x+y)=eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)+\f(4x,y)+5))≥eq\f(1,4)(4+5)=eq\f(9,4),等號僅當eq\f(y,x)=eq\f(4x,y),即x=eq\f(4,3),y=eq\f(8,3)時成立,∴m≤eq\f(9,4).8.(0,9]解析:∵ab-4a-b=0,∴eq\f(1,a)+eq\f(4,b)=1,a+b=(a+b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(4,b)))=eq\f(b,a)+eq\f(4a,b)+5≥4+5=9,等號僅當eq\f(b,a)=eq\f(4a,b),即a=3,b=6時成立.又c≤a+b恒成立,∴c≤9.9.-eq\f(8,3)解析:對任意x∈N+,f(x)≥3恒成立,即eq\f(x2+ax+11,x+1)≥3恒成立,即a≥-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(8,x)))+3.設(shè)g(x)=x+eq\f(8,x),x∈N+,則g(2)=6,g(3)=eq\f(17,3).∵g(2)>g(3),∴g(x)min=eq\f(17,3).∴-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(8,x)))+3≤-eq\f(8,3),∴a≥-eq\f(8,3),故a的最小值是-eq\f(8,3).10.eq\f(\r(6),12)解析:eq\f(\r(ac),b)=eq\f(\r(ac),3a+2c)≤eq\f(\r(ac),2\r(3a·2c))=eq\f(\r(6),12),僅當3a=2c=eq\f(b,2)時取等號,故eq\f(\r(ac),b)的最大值為eq\f(\r(6),12).11.解:(1)∵x+eq\f(4,x-1)=x-1+eq\f(4,x-1)+1≥2eq\r((x-1)·\f(4,x-1))+1=5,等號當且僅當x-1=eq\f(4,x-1),即x=3時成立,∴當x=3時,x+eq\f(4,x-1)取最小值5.(2)∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,∴xy=2x+8y≥2eq\r(16xy),∴eq\r(xy)≥8,xy≥64,等號當且僅當2x=8y即x=4y時成立.將x=4y代入2x+8y-xy=0得正數(shù)y=4,于是x=16.故y=4,x=16時,xy取最小值64.12.解:(1)∵僅當x=-2時,函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的函數(shù)值與a無關(guān),且此時y=-1,∴定點A的坐標是(-2,-1).(2)將點A(-2,-1)的坐標代入mx+ny+1=0,得(-2)·m+(-1)·n+1=0,2m+n=1,∵m,n>0,∴eq\f(1,m)+eq\f(2,n)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)+\f(2,n)))(2m+n)=4+eq\f(n,m)+eq\f(4m,n)≥4+2eq\r(\f(n,m)·\f(4m,n))=8.等號當且僅當eq\f(n,m)=eq\f(4m,n),即m=eq\f(1,4),n=eq\f(1,2)時成立.故當m=eq\f(1,4),n=eq\f(1,2)時,eq\f(1,m)+eq\f(2,n)取最小值為8.13.解:(1)如果每幢樓為5層,那么所有建筑面積為10×1000×5平方米,所有建筑費用為[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10,所以1270={16000000+[(k+800)+(2k+800)+(3k+800)+(4k+800)+(5k+800)]×1000×10}÷(10×1000×5),解得k=50.(2)設(shè)小區(qū)每幢為n(n∈N*)層時,每平方米平均綜合費用為f(n),由題設(shè)可知f
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