高中數(shù)學北師大版第四章函數(shù)應用函數(shù)與方程 第4章

第四章§1A級基礎鞏固1．函數(shù)y＝x2－5x＋6的零點是eq\x(導學號00814925)(A)A．2,3 B．－2，－3C．1,6 D．－1，－6[解析]由x2－5x＋6＝0得x＝2或3，所以y＝x2－5x＋6的零點是2,3，故選A．2．函數(shù)f(x)＝x3＋x－1的零點所在的區(qū)間是eq\x(導學號00814926)(C)A．(eq\f(3,2)，2) B．(1，eq\f(3,2))C．(eq\f(1,2)，1) D．(0，eq\f(1,2))[解析]因為f(eq\f(1,2))·f(1)＝－eq\f(3,8)×1＝－eq\f(3,8)<0，且函數(shù)f(x)在R上連續(xù)，所以函數(shù)f(x)＝x3＋x－1的零點所在區(qū)間是(eq\f(1,2)，1)．3．若方程2ax2－x－1＝0在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一解，則a的取值范圍是eq\x(導學號00814927)(D)A．a(chǎn)<－1 B．－1<a<1C．0≤a<1 D．a(chǎn)>1[解析]令f(x)＝2ax2－x－1，因為方程f(x)＝0在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一解，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一個零點．所以f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)所以a>1.故選D．4．函數(shù)f(x)＝x3－2x2＋2x的零點個數(shù)為eq\x(導學號00814928)(B)A．0 B．1C．2 D．3[解析]∵f(x)＝x3－2x2＋2x＝x(x2－2x＋2)，又x2－2x＋2＝0，Δ＝4－8<0，∴x2－2x＋2≠0，∴f(x)的零點只有1個，故選B．5．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋x2，x>0))的零點個數(shù)為eq\x(導學號00814929)(B)A．3 B．2C．1 D．0[解析]令f(x)＝0，則x2＋2x－3＝0(x≤0)或x2－2＝0(x>0)，解得：x＝－3或x＝eq\r(2)符合題意，故選B．6．下列函數(shù)在區(qū)間[1,2]上一定有零點的是eq\x(導學號00814930)(D)A．f(x)＝3x2－4x＋5 B．f(x)＝x3－5x－5C．f(x)＝lnx－3x＋6 D．f(x)＝ex＋3x－6[解析]對于A：f(1)＝4，f(2)＝9，f(1)·f(2)>0，無法判斷f(x)在[1,2]上是否有零點；對于B：f(1)＝－9，f(2)＝－7，f(1)·f(2)>0，同選項A一樣，無法判斷；對于C：f(1)＝3，f(2)＝ln2，f(1)·f(2)>0，同選項A、B一樣，無法判斷；對于D：f(1)＝e－3，f(2)＝e2，f(1)·f(2)<0，所以f(x)在[1,2]上有零點．7．已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關于x的方程f(x)＝c(c∈R)有兩個實根m，m＋6，則實數(shù)c的值為\x(導學號00814931)[解析]由函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b的值域為[0，＋∞)知方程x2＋ax＋b＝0有兩相等實根，從而Δ＝a2－4b＝0，①，方程f(x)＝c可化為x2＋ax＋b－c＝0，由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋m＋6＝－a,mm－6＝b－c))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2m－6,b＝m2－6m＋c))代入①，得(－2m－6)2－4(m2－6m＋c整理，得c＝9.8．設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋cx≤0,2x>0))，若f(－4)＝2，f(－2)＝－2，則關于x的方程f(x)＝x的解的個數(shù)是\x(導學號00814932)[解析]由已知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(16－4b＋c＝2,4－2b＋c＝－2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝4,c＝2))，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＋2x≤0,2x>0))，作圖像如圖所示．由圖像可知f(x)＝x的解的個數(shù)為3.9．若函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個零點是2和3，求函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點.eq\x(導學號00814933)[解析]由已知方程得x2－ax－b＝0的兩根為2和3.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝－b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－6.))∴g(x)＝－6x2－5x－1.令－6x2－5x－1＝0得6x2＋5x＋1＝0，∴x＝－eq\f(1,2)或x＝－eq\f(1,3).∴函數(shù)g(x)＝－6x2－5x－1的零點是－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3).10．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋\x(導學號00814934)(1)當函數(shù)f(x)有兩個不同零點時，求k的取值范圍；(2)若－1和－3是函數(shù)的兩個零點，求k的值．[解析](1)令f(x)＝0，得x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0.由Δ＝(k－2)2－4(k2＋3k＋5)＝－3k2－16k－16>0，知3k2＋16k＋16<0，即(3k＋4)(k＋4)<0，∴－4<k<－eq\f(4,3).∴當函數(shù)有兩個不同零點時，k的取值范圍為(－4，－eq\f(4,3))．(2)∵－1和－3是函數(shù)f(x)的兩個零點，∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的兩根．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1－3＝k－2，,－1×－3＝k2＋3k＋5.))解之得k＝－2.B級素養(yǎng)提升1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(6,x)－log2x.在下列區(qū)間中，包含f(x)零點的區(qū)間是eq\x(導學號00814935)(C)A．(0,1) B．(1,2)C．(2,4) D．(4，＋∞)[解析]因為f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝eq\f(3,2)－log24＝－eq\f(1,2)<0，所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間為(2,4)，故選C．2．若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有兩個零點，則實數(shù)a的范圍是eq\x(導學號00814936)(A)A．(1，＋∞) B．(0,1)C．(2，＋∞) D．(0,1)∪(1,2)[解析]令y1＝ax，y2＝x＋a，則f(x)＝ax－x－a有兩個零點，即函數(shù)y1＝ax與y2＝x＋a有兩個交點．(1)當a>1時，y1＝ax過(0,1)點，而y2＝x＋a過(0，a)點，而(0，a)點在(0,1)點上方，∴一定有兩個交點．(2)當0<a<1時，(0，a)點在(0,1)點下方，由圖像知只有一個交點．∴a的取值范圍為a>1.3．關于x的方程mx2＋2x＋1＝0至少有一個負根，則m的范圍為_m≤\x(導學號00814937)[解析]①m＝0時，x＝－eq\f(1,2)適合題意．②m≠0時，應有m<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0,－\f(2,2m)<0，,Δ≥0))解得m<0或0<m≤1.綜合①②可得，m≤1.4．方程lgx＋x＝0的實數(shù)解的存在區(qū)間為(eq\f(1,10)，1).eq\x(導學號00814938)[解析]令f(x)＝lgx＋x，則f(eq\f(1,10))＝lgeq\f(1,10)＋eq\f(1,10)＝－eq\f(9,10)<0，f(1)＝lg1＋1＝1>0.∴f(eq\f(1,10))f(1)<0.而f(x)＝lgx＋x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．∴f(x)僅有一個零點，且在(eq\f(1,10)，1)內(nèi)．5．設函數(shù)f(x)＝ax＋2a＋1(a≠0)在[－1,1]上存在一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.eq\x(導學號00814939)[解析]因為函數(shù)f(x)在[－1,1]上存在零點，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≥0,f1≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0,f1≥0)).即f(－1)·f(1)≤0.所以(－a＋2a＋1)·(a＋2a＋1)即(a＋1)(3a＋1)≤0.解得－1≤a≤－eq\f(1,3).6．討論方程4x3＋x－15＝0在[1,2]內(nèi)實數(shù)解的存在性，并說明理由.eq\x(導學號00814940)[解析]令f(x)＝4x3＋x－15，∵y＝4x3和y＝x－15在[1,2]上都為增函數(shù)．∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上為增函數(shù)，∵f(1)＝4＋1－15＝－10<0，f(2)＝4×8＋2－15＝19>0，∴f(x)＝4x3＋x－15在[1,2]上存在一個零點，∴方程4x3＋x－15＝0在[1,2]內(nèi)有一個實數(shù)解．C級能力拔高求函數(shù)y＝(ax－1)(x＋2)的零點.eq\x(導