高中數(shù)學(xué)人教A版2本冊總復(fù)習(xí)總復(fù)習(xí) 模塊綜合測評(二)

模塊綜合測評(二)選修2－2(B卷)(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)第Ⅰ卷(選擇題，共50分)一、選擇題：本大題共10小題，共50分．1．觀察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根據(jù)上述規(guī)律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192 B．202C．212 D．222解析：歸納得13＋23＋33＋43＋53＋63＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋2＋…＋6))2＝212.答案：C2．復(fù)數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－i,1＋i)))2＝()A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－i,1＋i)))2＝eq\f(8－6i,2i)＝－3－4i.答案：A3．函數(shù)y＝(sinx2)3的導(dǎo)數(shù)是()A．y′＝3xsinx2·sin2x2B．y′＝3(sinx2)2C．y′＝3(sinx2)2cosx2D．y′＝6sinx2cosx2解析：y′＝[(sinx2)3]′＝3(sinx2)2·(sinx2)′＝3(sinx2)2·cosx2·2x＝3×2sinx2·cosx2·x·sinx2＝3x·sinx2·sin2x2，故選A.答案：A4．設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且f(x)＝x2＋2x·f′(1)．則f′(0)等于()A．0 B．－4C．－2 D．2解析：因?yàn)閒(x)＝x2＋2x·f′(1)，所以f′(x)＝2x＋2f′(1)，f′(0)＝2f′(1)．因?yàn)閒′(1)＝2＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2，故答案：B5．觀察下列各等式：eq\f(5,5－4)＋eq\f(3,3－4)＝2，eq\f(2,2－4)＋eq\f(6,6－4)＝2，eq\f(7,7－4)＋eq\f(1,1－4)＝2，eq\f(10,10－4)＋eq\f(－2,－2－4)＝2，依照以上各式成立的規(guī)律，得到一般性的等式為()\f(n,n－4)＋eq\f(8－n,8－n－4)＝2\f(n＋1,n＋1－4)＋eq\f(n＋1＋5,n＋1－4)＝2\f(n,n－4)＋eq\f(n＋4,n＋4－4)＝2\f(n＋1,n＋1－4)＋eq\f(n＋5,n＋5－4)＝2答案：A6．已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖所示，其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是圖中的()ABCD解析：由y＝xf′(x)的圖象可得當(dāng)x＜－1時(shí)，f′(x)＞0，所以當(dāng)x＜－1時(shí)f(x)為增函數(shù)；當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(－1,0)上為減函數(shù)；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，所以選擇C.答案：C7．若f(x)＝eq\f(lnx,x)，0＜a＜b＜e，則有()A．f(a)＞f(b) B．f(a)＝f(b)C．f(a)＜f(b) D．f(a)·f(b)＞1解析：f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，在(0，e)上，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，e)上為增函數(shù)．∴f(a)＜f(b)．答案：C8．函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖，則函數(shù)y＝ax2＋eq\f(3,2)bx＋eq\f(c,3)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．(－∞，－2] \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C．[－2,3] \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞))解析：由題圖可知d＝0.不妨取a＝1，∵f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由圖可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0，∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0，∴b＝－，c＝－18.∴y＝x2－eq\f(9,4)x－6，y′＝2x－eq\f(9,4).當(dāng)x＞eq\f(9,8)時(shí)，y′＞0，∴y＝x2－eq\f(9,4)x－6的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,8)，＋∞)).故選D.答案：D9．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸相切于點(diǎn)(1,0)，則f(x)的()A．極大值為eq\f(4,27)，極小值為0B．極大值為0，極小值為－eq\f(4,27)C．極小值為－eq\f(5,27)，極大值為0D．極小值為0，極大值為eq\f(5,27)解析：由題設(shè)條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝0，,f1＝0.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0，,1－p－q＝0.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1.))所以f(x)＝x3－2x2＋x，進(jìn)而可求得f(1)是極小值，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))是極大值．答案：A10．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinθ,3)x3＋eq\f(\r(3)cosθ,2)x2＋tanθ，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍是()A．[－2,2] B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C．[eq\r(3)，2] D．[eq\r(2)，2]解析：∵f′(x)＝sinθx2＋eq\r(3)cosθx，f′(1)＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，∵θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))，∴θ＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(3π,4))).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))∈[eq\r(2)，2]．答案：D第Ⅱ卷(非選擇題，共70分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．11．設(shè)f(z)＝eq\x\to(z)，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，則f(eq\x\to(z1－z2))的值是__________．解析：∵z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i，∴eq\x\to(z1－z2)＝4－3i.∵f(z)＝eq\x\to(z)，∴f(4－3i)＝eq\x\to(4－3i)＝4＋3i.答案：4＋3i12．設(shè)函數(shù)y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0處取得極值，且曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線x＋2y＋1＝0，則a＋b的值為__________．解析：函數(shù)y＝ax2＋bx＋k(k＞0)在x＝0處取得極值，得x＝0是導(dǎo)函數(shù)2ax＋b＝0的解，則b＝0，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線垂直于直線x＋2y＋1＝0，得2a＋b＝2，所以a＝1，a＋b答案：113．由曲線y＝(x－2)2＋1，橫坐標(biāo)軸及直線x＝3，x＝5圍成的圖形的面積等于__________．解析：S＝eq\i\in(3,5,)[(x－2)2＋1]dx＝eq\i\in(3,5,)(x2－4x＋5)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x3,3)－2x2＋5x))eq\a\vs4\al\co1(|)eq\o\al(5,3)＝eq\f(32,3).答案：eq\f(32,3)14．觀察下列等式：1＝1 13＝11＋2＝3 13＋23＝91＋2＋3＝6 13＋23＋33＝361＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝1001＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225…可以推測：13＋23＋33＋…＋n3＝__________.(n∈N*，用含有n的代數(shù)式表示)解析：觀察對比左右數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)右邊是左邊的平方，所以13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2＝eq\f(n2n＋12,4).答案：eq\f(n2n＋12,4)三、解答題：本大題共4小題，滿分50分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m＞0.(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．解：(1)當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，2分故f′(1)＝1.所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為分(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋分因?yàn)閙＞0，所以1＋m＞1－m.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)內(nèi)是減函數(shù)，在(1－m,1＋m)內(nèi)是增函數(shù).10分函數(shù)f(x)在x＝1－m處取得極小值f(1－m)，且f(1－m)＝－eq\f(2,3)m3＋m2－eq\f(1,3).函數(shù)f(x)在x＝1＋m處取得極大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝eq\f(2,3)m3＋m2－eq\f(1,3).12分16.(12分)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是一個(gè)平行四邊形，eq\o(AB,\s\up16(→))＝(2，－1，－4)，eq\o(AD,\s\up16(→))＝(4,2,0)，eq\o(AP,\s\up16(→))＝(－1,2，－1)．(1)求證：PA⊥底面ABCD；(2)求四棱錐P－ABCD的體積；(3)對于向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，c＝(x3，y3，z3)，定義一種運(yùn)算：(a×b)·c＝x1y2z3＋x2y3z1＋x3y1z2－x1y3z2－x2y1z3－x3y2z1.試計(jì)算(eq\o(AB,\s\up16(→))×eq\o(AD,\s\up16(→)))·eq\o(AP,\s\up16(→))的絕對值的值；說明其與四棱錐P－ABCD體積的關(guān)系，并由此猜想向量這一運(yùn)算(eq\o(AB,\s\up16(→))×eq\o(AD,\s\up16(→)))·eq\o(AP,\s\up16(→))的絕對值的幾何意義．解：(1)∵eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(AB,\s\up16(→))＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB.又∵eq\o(AP,\s\up16(→))·eq\o(AD,\s\up16(→))＝－4＋4＋0＝0，∴AP⊥分∵AB、AD是底面ABCD上的兩條相交直線，∴AP⊥底面分(2)設(shè)eq\o(AB,\s\up16(→))與eq\o(AD,\s\up16(→))的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(\o(AB,\s\up16(→))·\o(AD,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|·|\o(AD,\s\up16(→))|)＝eq\f(8－2,\r(4＋1＋16)·\r(16＋4))＝eq\f(3,\r(105)).6分V＝eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up16(→))|·|eq\o(AD,\s\up16(→))|·sinθ·|eq\o(AP,\s\up16(→))|＝eq\f(2,3)eq\r(105)·eq\r(1－\f(9,105))·eq\r(1＋4＋1)＝分(3)|(eq\o(AB,\s\up16(→))×eq\o(AD,\s\up16(→)))·eq\o(AP,\s\up16(→))|＝|－4－32－4－8|＝48，它是四棱錐P－ABCD體積的3倍.10分猜測：|(eq\o(AB,\s\up16(→))×eq\o(AD,\s\up16(→)))·eq\o(AP,\s\up16(→))|在幾何上可表示以AB、AD、AP為棱的平行六面體的體積(或以AB、AD、AP為棱的直四棱柱的體積).12分17.(12分)統(tǒng)計(jì)表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為y＝eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米．(1)當(dāng)汽車以40千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：(1)當(dāng)x＝40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,40)＝小時(shí)，要耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)×403－\f(3,80)×40＋8))×＝(升)．即當(dāng)汽車以40千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升.4分(2)當(dāng)速度為x千米/時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,x)小時(shí)，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得：h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)x3－\f(3,80)x＋8))·eq\f(100,x)＝eq\f(1,1280)x2＋eq\f(800,x)－eq\f(15,4)(0＜x≤120)，7分h′(x)＝eq\f(x,640)－eq\f(800,x2)＝eq\f(x3－803,640x2)(0＜x≤120).8分令h′(x)＝0，得x＝80.當(dāng)x∈(0,80)時(shí)，h′(x)＜0，h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x∈(80,120)時(shí)，h′(x)＞0，h(x)是增函數(shù).10分∴當(dāng)x＝80時(shí)，h(x)取到極小值h(80)＝.∵h(yuǎn)(x)在(0,120]上只有一個(gè)極值，∴它是最小值．即當(dāng)汽車以80千米/時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最